Implisitt område

implisitt torus (R = 40, a = 15)

implisitt område av kjønn 2

implisitt ikke-algebraisk overflate ( vinglass )

En implisitt overflate i matematikk er en overflate i det euklidiske rommet som er representert av en ligning av formen

${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$

er beskrevet. Et implisitt område består av totaliteten av nullene til en funksjon av tre variabler. Implisitt betyr at ligningen til området ikke løses for x eller y eller z.

Funksjonsgrafer er vanligvis beskrevet av en ligning og er derfor eksplisitt representerte områder. Den tredje viktige beskrivelse av overflater er den parameter representasjon: . Koordinatene x, y og z til overflatepunktene er beskrevet av tre funksjoner som er avhengige av to vanlige parametere . Overgangen fra en representasjon til en annen er vanligvis bare enkel hvis det er en eksplisitt representasjon : (implisitt), (parameterisert). ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ displaystyle (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$${\ displaystyle x (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$${\ displaystyle z = f (x, y)}$${\ displaystyle zf (x, y) = 0}$${\ displaystyle (s, t, f (s, t))}$

Eksempler på implisitte overflater:

1. ett nivå ,${\ displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0}$
2. en kule ,${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0}$
3. en torus ,${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$
4. Område for kjønn 2: (se bilde),${\ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
5. Rotasjonsoverflate (se bildet vinglass ).${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3.2)) ^ {2} -0.02 = 0}$

Mens man enkelt kan spesifisere parametriske representasjoner for plan, sfære og torus, er dette ikke lenger lett for den fjerde overflaten.

Som i tilfellet med implisitte kurver , kan setningen om implisitte funksjoner under visse forhold også brukes til å lokalt bevise en eksplisitt representasjon for implisitte overflater. I praksis er slike oppløsninger bare mulig i enkle tilfeller (plan, sfære, ...). Men den teoretiske muligheten for en oppløsning er nøkkelen til å beregne tangentplan og krumninger i et overflatepunkt (se nedenfor).

Hvis det er et polynom i x, y og z, kalles det tilknyttede området algebraisk .${\ displaystyle F (x, y, z)}$

Eksempel 5. er ikke algebraisk.

Implisitte områder har ulempen at de er vanskelige å visualisere. Imidlertid tilbyr de et bredt spekter av teoretisk interessante overflater (f.eks. Steiner-overflater ), og i CAD-området er det relativt enkelt å generere overflater med forutsigbare former og egenskaper (se nedenfor).

Formler

For de følgende formlene blir det implisitte området alltid beskrevet av en ligning , der funksjonen oppfyller de nødvendige differensierbarhetskravene. De partielle deriverte av er betegnet med videre ${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F_ {x}, ..., F_ {xx}, ...}$

Tangentplan og normalvektor

Et overflatepunkt kalles vanlig, hvis ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}$er, ellers kalles poenget entall .

Ligningen til tangentplanet i et vanlig overflatepunkt er ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0}$, og

${\ displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}}$er en normal vektor .

Normal krumning

For å holde formelen klar har argumentene blitt utelatt her : ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle \ kappa _ {n} = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}$er overflatens normale krumning ved et regelmessig punkt i retning av enhetens tangensvektor .${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle H_ {F}}$er den hessiske matrisen til (matrise til de andre derivatene). ${\ displaystyle F}$

Beviset på disse formlene resulterer, som i tilfellet med den implisitte kurven, fra setningen om oppløsningen av implisitte funksjoner og formelen for normal krumning av en parameterisert overflate.

Anvendelser av implisitte overflater

Implisitte overflater, som implisitte kurver, kan genereres relativt enkelt ved algebraiske operasjoner (tillegg, multiplikasjon) av enkle implisitte overflater / funksjoner.

Ekvipotensielt område med 4-punkts ladninger

Ekvipotensielle områder med poengladninger

Den potensialet i et punkt ladning i det punkt , målt i det punkt , kan føres gjennom, med unntak av konstanter ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}}$ beskrive.

Det ekvipotensielle området til potensialet er det implisitte området . Dette er en sentrert sfære . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Potensialet med (f.eks.) Poengladninger kan overføres ${\ displaystyle 4}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}}$ beskrive.

I figuren er de fire ladningene lik 1 og ligger i punktene . Området som vises er potensialet (implisitt område) . ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0)}$${\ displaystyle F (x, y, z) -2.8 = 0}$

Produktområder med konstant avstand

Akkurat som en Cassini-kurve kan defineres som settet med punkter der produktet av avstandene til to gitte punkter er konstant (med en ellips er summen av avstandene til to punkter konstant!), Områder kan også defineres hvis avstand produktene gjør at de gitte poengene er konstante.

Overflaten vist på bildet Metamorphoses øverst til venstre er laget etter dette prinsippet: With

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}}}$

resulterer i området . ${\ displaystyle F (x, y, z) -1.1 = 0}$

Metamorfose mellom to implisitte overflater (torus og avstandsproduktoverflate)

Metamorfoser av implisitte overflater

En annen enkel konstruksjon av nye implisitte overflater er metamorfosen av implisitte overflater. Ved å gjøre dette antar man to implisitte overflater (i eksemplet: en avstandsproduktflate og en torus) og bruker arrayparameteren for å generere arrayet av overflater ${\ displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle \ mu \ in [0,1]}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}$

Områder for ble vist på bildet. ${\ displaystyle \ mu = 0, \, 0.33, \, 0.66, \, 1}$

Tilnærming til tre tori (parallell projeksjon)

PovRay-bilde av en tilnærming til tre tori (sentral projeksjon)

Jevne tilnærminger av flere implisitte overflater

Analogt med metoden for jevn tilnærming av flere implisitte kurver gir

${\ displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - c = 0}$

for passende parametere, jevne tilnærminger av tre kryssende tori med ligningene ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( y ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$.

(Parameteren til ansiktet i bildet er :) ${\ displaystyle R = 1, \, a = 0.2, \, c = 0.01}$

PovRay- bilde: metamorfose mellom en kule og en 6-punkts produktoverflate

Visualisering av implisitte områder

Implisitte områder kan bare visualiseres med betydelig innsats. Det er i hovedsak to ideer for å representere en implisitt overflate. En metode er basert på generering av polygoner som dekker området som skal vises. Disse polygonene kan brukes direkte til å visualisere området eller polygonene, og deres fremstilling kan behandles videre med et passende program. Informasjon om dette finner du i Triangulation of a Area. En annen metode er basert på strålesporing . Her blir mange individuelle synslinjer undersøkt for deres skjæringspunkt med overflaten.

I de to siste bildene ble de triangulerte overflatene etterbehandlet med PovRay- programmet . Når du sammenligner bildene med 3 Tori, må du være oppmerksom på at PovRay-bildet er en sentral projeksjon.

weblenker

• Sultanov: Implisitte områder
• Hartmann: Geometri og algoritmer for DESIGN STØTTET
• GEOMVIEW
• K3Dsurf: 3d overflategenerator
• SURF: visualisering av algebraiske overflater

litteratur

• John A. Thorpe: Elementære emner i differensiell geometri. Springer-Verlag, New York 1979, ISBN 0-387-90357-7 .