Implicit yta - Implicit surface

Implicit yta torus (R = 40, a = 15).

Implicit yta av släktet 2.

Implicit icke-algebraisk yta ( vinglas ).

I matematik är en implicit yta en yta i euklidiskt utrymme definierad av en ekvation

{\ displaystyle F (x, y, z) = 0.}

En implicit yta är en uppsättning nollor för en funktion av tre variabler. Implicit betyder att ekvationen inte löses för x eller y eller z .

Grafen för en funktion beskrivs vanligtvis med en ekvation och kallas en uttrycklig representation. Den tredje väsentliga beskrivningen av en yta är den parametriska : där x -, y - och z- koordinaterna för ytpunkterna representeras av tre funktioner beroende på vanliga parametrar . Generellt är förändringen av representationer enkel endast när den uttryckliga representationen ges: (implicit), (parametrisk). ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ displaystyle (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$ ${\ displaystyle x (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$ ${\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ displaystyle zf (x, y) = 0}$ ${\ displaystyle (s, t, f (s, t))}$

Exempel :

plan ${\ displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0.}$
sfär ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0.}$
torus ${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0.}$
Ytan på släktet 2: (se diagram). ${\ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
Revolutionens yta (se diagram vinglas ). ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3.2)) ^ {2} -0.02 = 0}$

För ett plan, en sfär och en torus finns det enkla parametriska representationer. Detta är inte sant för det fjärde exemplet.

The implicit function theorem beskriver förhållanden under vilka en ekvation kan lösas (åtminstone implicit) för x , y eller z . Men i allmänhet kanske lösningen inte görs uttrycklig. Denna sats är nyckeln till beräkning av väsentliga geometriska egenskaper hos en yta: tangentplan , ytnormaler , krökningar (se nedan). Men de har en väsentlig nackdel: deras visualisering är svår. ${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$

Om är polynom i x , y och z , kallas ytan algebraisk . Exempel 5 är icke- algebraiskt. ${\ displaystyle F (x, y, z)}$

Trots visualiseringssvårigheterna ger implicita ytor relativt enkla tekniker för att generera teoretiskt (t.ex. Steiner-yta ) och praktiskt taget (se nedan) intressanta ytor.

Formler

Under de följande övervägandena representeras den implicita ytan av en ekvation där funktion uppfyller de nödvändiga förutsättningarna för differentierbarhet. De partiella derivatorna av är . ${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F_ {x}, F_ {y}, F_ {z}, F_ {xx}, \ ldots}$

Tangentplan och normal vektor

En yta punkt kallas regelbundet om och endast om den lutning av vid inte nollvektorn , mening ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\ displaystyle (0,0,0)}$

{\ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}

.

Om ytan punkten är inte vanliga, det kallas singular . ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

Tangentplanets ekvation vid en vanlig punkt är ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

{\ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0,}

och en normal vektor är

{\ displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}.}

Normal krökning

För att hålla formeln enkel är argumenten utelämnade: ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

{\ displaystyle \ kappa _ {n} = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}

är ytans normala krökning vid en regelbunden punkt för enhetens tangentriktning . är den hessiska matrisen av (matrisen för de andra derivaten). ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle H_ {F}}$ ${\ displaystyle F}$

Beviset på denna formel förlitar sig (som i fallet med en implicit kurva) på den implicita funktionssatsen och formeln för den normala krökningen av en parametrisk yta .

Tillämpningar av implicita ytor

Som i fallet med implicita kurvor är det en enkel uppgift att generera implicita ytor med önskade former genom att använda algebraiska operationer (addition, multiplikation) på enkla primitiva.

Equipotential yta med 4 punkts laddningar

Ekvipotential yta för punktladdningar

Den elektriska potentialen hos en punktladdning vid punkten genererar vid punkten potentialen (utelämnar fysiska konstanter) ${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

{\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}.}

Den ekvipotentiella ytan för det potentiella värdet är den implicita ytan som är en sfär med centrum vid punkten . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Potentialen för punktavgifter representeras av ${\ displaystyle 4}$

{\ displaystyle F (x, y, z) = {\ frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}.}

För bilden är de fyra laddningarna lika med 1 och ligger på punkterna . Den visade ytan är den ekvipotentiella ytan (implicit yta) . ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0)}$ ${\ displaystyle F (x, y, z) -2.8 = 0}$

Produktyta för konstant avstånd

En Cassini-oval kan definieras som den punktuppsättning för vilken produkten av avstånden till två givna punkter är konstant (däremot är summan konstant för en ellips ). På liknande sätt kan implicita ytor definieras av en produkt med konstant avstånd till flera fasta punkter.

I diagrammet metamorfoser genereras den övre vänstra ytan av denna regel: With

{\ displaystyle {\ begin {align} F (x, y, z) = {} & {\ Big (} {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2 }}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\ & \ qquad \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + ( y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}} {\ Big)} \ end {align}}}

produktytan för konstant avstånd visas. ${\ displaystyle F (x, y, z) -1.1 = 0}$

Metamorfoser mellan två implicita ytor: en torus och en produktyta med ett konstant avstånd.

Metamorfoser av implicita ytor

En ytterligare enkel metod för att generera nya implicita ytor kallas metamorfos av implicita ytor:

För två implicita ytor (i diagrammet: en produktyta med konstant avstånd och en torus) definierar man nya ytor med hjälp av designparametern : ${\ displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu \ in [0,1]}$

{\ displaystyle F (x, y, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}

I diagrammet är designparametern successivt . ${\ displaystyle \ mu = 0, \, 0.33, \, 0.66, \, 1}$

Ungefärlig uppskattning av tre tori ( parallell projektion )

POV-Ray- bild (central projektion) av en approximation av tre tori.

Smidiga approximationer av flera implicita ytor

${\ displaystyle \ Pi}$ -ytor kan användas för att approximera ett givet slätt och avgränsat föremål i vars yta definieras av ett enda polynom som en produkt av underordnade polynom. Med andra ord kan vi designa alla släta föremål med en enda algebraisk yta. Låt oss beteckna de definierande polynomerna som . Därefter definieras det ungefärliga objektet av polynomet ${\ displaystyle R ^ {3}}$ ${\ displaystyle f_ {i} \ in \ mathbb {R} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] (i = 1, \ ldots, k)}$

{\ displaystyle F (x, y, z) = \ prod _ {i} f_ {i} (x, y, z) -r}

där står för blandningsparametern som styr det ungefärliga felet. ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$

Analogt med den jämna approximationen med implicita kurvor, ekvationen

{\ displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - r = 0}

representerar för lämpliga parametrar jämna approximationer av tre korsande tori med ekvationer ${\ displaystyle c}$

{\ displaystyle {\ begin {align} F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} - 4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0, \\ [3pt] F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + z ^ {2}) = 0, \\ [3pt] F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (y ^ {2} + z ^ {2 }) = 0. \ slut {align}}}

(I diagrammet är parametrarna ) ${\ displaystyle R = 1, \, a = 0.2, \, r = 0.01.}$

POV-Ray-bild: metamorfoser mellan en sfär och en produktyta med konstant avstånd (6 poäng).

Visualisering av implicita ytor

Det finns olika algoritmer för att rendera implicita ytor, inklusive marschkubalgoritmen . I huvudsak finns det två idéer för att visualisera en implicit yta: Den ena genererar ett nät av polygoner som visualiseras (se yttriangulering ) och den andra förlitar sig på strålspårning som bestämmer strålningens skärningspunkter med ytan. Korsningspunkterna kan approximeras genom sfärspårning , med hjälp av en signerad avståndsfunktion för att hitta avståndet till ytan.

Se även

Implicit kurva

Referenser

^ ^a ^b Adriano N. Raposo; Abel JP Gomes (2019). "Pi-ytor: produkter av implicita ytor mot konstruktiv sammansättning av 3D-objekt". WSCG 2019 27. Internationell konferens i Centraleuropa om datorgrafik, visualisering och datorvision. arXiv : 1906.06751 .
^ Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 augusti 1997). Introduktion till implicita ytor . Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5 .
^ Ian Stephenson (1 december 2004). Produktionsrendering: Design och implementering . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3 .
^ Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2
^ Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). Matematiska verktyg i datorgrafik med C # -implementeringar . World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3 .

Vidare läsning

Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C .: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882 -405-8
Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry , Springer-Verlag, New York, 1979, ISBN 0-387-90357-7

externa länkar

[RaposoGomes2019-1] Adriano N. Raposo; Abel JP Gomes (2019). "Pi-ytor: produkter av implicita ytor mot konstruktiv sammansättning av 3D-objekt". WSCG 2019 27. Internationell konferens i Centraleuropa om datorgrafik, visualisering och datorvision. arXiv : 1906.06751 .

[BloomenthalBajaj1997-2] Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 augusti 1997). Introduktion till implicita ytor . Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5 .

[Stephenson2004-3] Ian Stephenson (1 december 2004). Produktionsrendering: Design och implementering . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3 .

[4] Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2

[5] Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). Matematiska verktyg i datorgrafik med C # -implementeringar . World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3 .

Languages

In other projects