Implicit område

implicit areal torus (R = 40, a = 15)

implicit område af køn 2

implicit ikke-algebraisk overflade ( vinglas )

En implicit overflade i matematik er en overflade i det euklidiske rum, der er repræsenteret af en ligning af formen

${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$

er beskrevet. Et implicit område består af totaliteten af ​​nuller til en funktion af tre variabler. Implicit betyder, at ligningen af ​​området ikke løses for x eller y eller z.

Funktionsgrafer er normalt beskrevet af en ligning og er derfor eksplicit repræsenterede områder. Det tredje vigtige beskrivelse af overflader er parameterrepræsentation: . X-, y- og z-koordinaterne for overfladepunkter er beskrevet af tre funktioner, der er afhængige af to fælles parametre . Overgangen fra en repræsentation til en anden er normalt kun let, hvis der er en eksplicit repræsentation : (implicit), (parameteriseret). ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ ${\ displaystyle (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$${\ displaystyle x (s, t) \ ,, y (s, t) \ ,, z (s, t)}$${\ displaystyle z = f (x, y)}$${\ displaystyle zf (x, y) = 0}$${\ displaystyle (s, t, f (s, t))}$

Eksempler på implicitte overflader:

1. et niveau ,${\ displaystyle x + 2y-3z + 1 = 0}$
2. en kugle ,${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -4 = 0}$
3. en torus ,${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$
4. Område af køn 2: (se billede),${\ displaystyle 2y (y ^ {2} -3x ^ {2}) (1-z ^ {2}) + (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} - (9z ^ {2 } -1) (1-z ^ {2}) = 0}$
5. Rotationsoverflade (se billede vinglas ).${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3.2)) ^ {2} -0.02 = 0}$

Mens man let kan specificere parametriske repræsentationer for plan, sfære og torus, er dette ikke længere let for den fjerde overflade.

Som i tilfælde af implicitte kurver kan sætningen om implicitte funktioner under visse betingelser også bruges til lokalt at bevise en eksplicit repræsentation for implicitte overflader. I praksis er sådanne opløsninger kun mulige i enkle tilfælde (plan, sfære, ...). Men den teoretiske mulighed for en opløsning er nøglen til at beregne tangentplaner og krumninger i et overfladepunkt (se nedenfor).

Hvis der er et polynom i x, y og z, kaldes det tilknyttede område algebraisk .${\ displaystyle F (x, y, z)}$

Eksempel 5. er ikke algebraisk.

Implicitte områder har den ulempe, at de er vanskelige at visualisere. De tilbyder dog en bred vifte af teoretisk interessante overflader (fx Steiner-overflader ), og i CAD-området er det relativt let at generere overflader med forudsigelige former og egenskaber (se nedenfor).

Formler

For de følgende formler er det implicitte område altid beskrevet af en ligning , hvorved funktionen opfylder de nødvendige differentieringskrav. De partielle afledede af er betegnet ved etc. ${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F_ {x}, ..., F_ {xx}, ...}$

Tangentplan og normal vektor

Et overfladepunkt kaldes regelmæssigt, hvis ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) \ neq (0,0,0)}$er, ellers kaldes punktet ental .

Ligningen af tangentplanet i et regelmæssigt overfladepunkt er ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0 }) (y-y_ {0}) + F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0}$og

${\ displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})) ^ {T}}$er en normal vektor .

Normal krumning

For at holde formlen klar er argumenterne udeladt her : ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

• ${\ displaystyle \ kappa _ {n} = {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ top} H_ {F} \ mathbf {v}} {\ | \ operatorname {grad} F \ |}}}$er overfladens normale krumning ved et regelmæssigt punkt i retning af enhedens tangensvektor .${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle H_ {F}}$er den hessiske matrix af (matrix for de andet derivater). ${\ displaystyle F}$

Beviset for disse formler resulterer, som i tilfældet med den implicitte kurve, fra sætningen om opløsningen af ​​implicitte funktioner og formlen for den normale krumning af en parametreret overflade.

Anvendelser af implicitte overflader

Implicitte overflader, som implicitte kurver, kan genereres relativt let ved algebraiske operationer (tilføjelse, multiplikation) af enkle implicitte overflader / funktioner.

Udligningspotentiale med 4 punkts afgifter

De potentielt mulige områder for punktafgifter

Den potentialet i et punkt ladning i det punkt , målt i det punkt , kan føres gennem, undtagen konstanter ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ frac {q_ {i}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {i} \ |}}}$ beskrive.

Det ækvipotentiale område til potentialet er det implicitte område . Dette er en centreret sfære . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle F_ {i} (x, y, z) -c = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$

Potentialet for (f.eks.) Punktafgifter kan overføres ${\ displaystyle 4}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ frac {q_ {1}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \ |}} + {\ frac {q_ { 2}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {2} \ |}} + {\ frac {q_ {3}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {3} \ |}} + {\ frac {q_ {4}} {\ | \ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {4} \ |}}}$ beskrive.

I figuren er de fire ladninger lig med 1 og er placeret i punkterne . Det viste område er det potentielle potentiale (implicit område) . ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0)}$${\ displaystyle F (x, y, z) -2.8 = 0}$

Produktområder med konstant afstand

Ligesom en Cassini-kurve kan defineres som det sæt af punkter, for hvilket produktet af afstande til to givne punkter er konstant (med en ellipse er summen af afstande til to punkter konstant!), Områder kan også defineres, hvis afstand produkter giver dem givne point er konstante.

Overfladen vist på billedet Metamorfoser øverst til venstre er skabt efter dette princip: Med

${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {(x + 1) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {x ^ {2} + (y-1) ^ {2} + z ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {x ^ {2} + (y + 1) ^ {2} + z ^ {2}}}}$

resultater i området . ${\ displaystyle F (x, y, z) -1.1 = 0}$

Metamorfose mellem to implicitte overflader (torus og afstandsproduktoverflade)

Metamorfoser af implicitte overflader

En anden simpel konstruktion af nye implicitte overflader er metamorfosen af ​​implicitte overflader. Dermed antager man to implicitte overflader (i eksemplet: en afstandsproduktoverflade og en torus) og bruger arrayparameteren til at generere arrayet af overflader ${\ displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle \ mu \ in [0,1]}$

${\ displaystyle F (x, y, z) = \ mu F_ {1} (x, y, z) + (1- \ mu) F_ {2} (x, y, z) = 0}$

Områder til blev vist på billedet. ${\ displaystyle \ mu = 0, \, 0.33, \, 0.66, \, 1}$

Tilnærmelse af tre tori (parallel projektion)

PovRay-billede af en tilnærmelse af tre tori (central projektion)

Glatte tilnærmelser til flere implicitte overflader

Analogt med metoden til glat tilnærmelse af flere implicitte kurver giver

${\ displaystyle F (x, y, z) = F_ {1} (x, y, z) \ cdot F_ {2} (x, y, z) \ cdot F_ {3} (x, y, z) - c = 0}$

for passende parametre, glatte tilnærmelser af tre skærende tori med ligningerne ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + y ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( x ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$,

${\ displaystyle F_ {3} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} -4R ^ {2} ( y ^ {2} + z ^ {2}) = 0}$.

(Parameteren for ansigtet i billedet er :) ${\ displaystyle R = 1, \, a = 0.2, \, c = 0.01}$

PovRay- billede: metamorfose mellem en kugle og en 6-punkts produktoverflade

Visualisering af implicitte områder

Implicitte områder kan kun visualiseres med betydelig indsats. Der er i det væsentlige to ideer til at repræsentere en implicit overflade. En metode er baseret på genereringen af ​​polygoner, der dækker det område, der skal vises. Disse polygoner kan bruges direkte til at visualisere området eller polygonerne, og deres repræsentation kan behandles yderligere med et passende program. Oplysninger om dette kan findes i Triangulation of a Area. En anden metode er baseret på strålesporing . Her undersøges mange individuelle synslinjer for deres skæringspunkt med overfladen.

I de sidste to billeder blev de trekantede overflader efterbehandlet med PovRay- programmet . Når du sammenligner billederne med 3 Tori, skal du være opmærksom på, at PovRay-billedet er en central projektion.

Weblinks

• Sultanov: Implicit områder
• Hartmann: Geometri og algoritmer til COMPUTER AIDED DESIGN
• GEOMVIEW
• K3Dsurf: 3d overfladegenerator
• SURF: visualisering af algebraiske overflader

litteratur

• John A. Thorpe: Elementære emner i differentiel geometri. Springer-Verlag, New York 1979, ISBN 0-387-90357-7 .