Aşırı kategori - Overcategory

Matematikte, özellikle kategori teorisinde , bir aşırı kategori (ve alt kategori ), örtme uzayları (espace etale) gibi çoklu bağlamlarda kullanılan ayırt edici bir kategori sınıfıdır . Bazı kategorilerde sabit bir nesneyi çevreleyen verilerin kaydını tutmak için bir mekanizma olarak tanıtıldılar . Benzer şekilde tanımlanan ikili bir alt kategori kavramı vardır. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Tanım

Izin vermek bir kategori ve sabit bir nesne ^{sayfa 59 olsun} . Overcategory (aynı zamanda adı verilen dilim kategorisi ) olan nesnelerdir çiftleri ilişkili bir kategoridir a, morfizmanın içinde . Ardından, kategorideki bir morfizm tarafından nesneler arasındaki bir morfizm verilir, öyle ki aşağıdaki diyagram değişir.${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / X}$${\ displaystyle (\ pi, A)}$${\ displaystyle \ pi: A \ ile X arası}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle f: (\ pi, A) \ - (\ pi ', A')}$${\ displaystyle f: A \ - A '}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} A & \ xrightarrow {f} & A '\\\ pi \ downarrow {\ text {}} & {\ text {}} & {\ text {}} \ downarrow \ pi' \\ X & = & X \ end {matris}}}$

Denilen bir çift kavram yoktur undercategory (aynı zamanda coslice kategorisi denir) olan nesnelerdir çiftleri bir morfizmanın olduğunu . Daha sonra, morfizma içinde Morfizm tarafından verilmektedir de diyagram çok önemli bir ulaşım aşağıdaki şekildedir${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle (\ psi, B)}$${\ displaystyle \ psi: X \ - B}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle g: B \ - B '}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} X & = & X \\\ psi \ downarrow {\ text {}} & {\ text {}} & {\ text {}} \ downarrow \ psi '\\ B & \ xrightarrow {g } & B '\ end {matris}}}$

Bu iki kavram, benzer ya da esasen aynı tanımlarla 2 kategorili teori ve daha yüksek kategori teorisi ^{s. 43'te} genelleştirmelere sahiptir .

Özellikleri

Öğesinin birçok kategorik özelliği, bir nesnenin üst ve alt kategorileri tarafından miras alınır . Örneğin , sonlu ürünlere ve ortak ürünlere sahipse , kategoriler dolaysızdır ve bu özelliklere sahiptir, çünkü ürün ve ortak ürün evrensel özellikler içinde ve evrensel özellikler aracılığıyla inşa edilebilir , ya da buradan benzersiz bir morfizm vardır . Ek olarak, bu sınırlar ve eş limitler için de geçerlidir . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / X}$${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Örnekler

Bir sitedeki aşırı kategoriler

Bir sitenin , ilk olarak Grothendieck tarafından tanıtılan bir topolojik uzayın kategorik bir genellemesi olduğunu hatırlayın . Kanonik örneklerden biri doğrudan topolojiden gelir, burada nesneleri bazı topolojik uzayların açık alt kümeleri olan kategori ve morfizmler dahil etme haritaları ile verilir. Daha sonra, sabit bir açık alt küme için , aşırı kategori , üzerinde indüklenen topoloji kategorisine kanonik olarak eşdeğerdir . Her nesne Bunun nedeni açık alt kümesidir içerdiği . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ text {Aç}} (X)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ text {Aç}} (X) / U}$${\ displaystyle {\ text {Aç}} (U)}$${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle {\ text {Aç}} (X) / U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$

Alt kategori olarak cebir kategorisi

Değişmeli - cebirler kategorisi, değişmeli halkalar kategorisinin alt kategorisine eşdeğerdir . Bunun nedeni, değişmeli bir halka üzerindeki bir- cebirin yapısının doğrudan bir halka morfizmi tarafından kodlanmasıdır . Zıt kategoriyi ele alırsak, afin şemaların aşırı kategorisidir veya sadece . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A / {\ text {CRing}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ ila B}$${\ displaystyle {\ text {Aff}} / {\ text {Spec}} (A)}$${\ displaystyle {\ text {Aff}} _ {A}}$

Aşırı boşluk kategorileri

Literatürde ele alınan diğer bir yaygın aşırı kategori, şemalar, pürüzsüz manifoldlar veya topolojik uzaylar gibi uzayların aşırı kategorileridir. Bu kategoriler kodlayan bu tür üzerinde şemaları kategori olarak, sabit bir nesneye göre nesneleri , . Bu kategorilerdeki fiber ürünler , nesnelerin sabit nesnenin alt nesneleri olduğu düşünüldüğünde, kesişimler olarak düşünülebilir. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ text {Sch}} / S}$

Ayrıca bakınız

• Virgül kategorisi

Referanslar