Multiplikativ funksjon - Multiplicative function

I tallteori er en multiplikativ funksjon en aritmetisk funksjon f ( n ) av et positivt heltall n med egenskapen at f (1) = 1 og

{\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}

når a og b er coprime .

En aritmetisk funksjon f ( n ) sies å være fullstendig multiplikativ (eller totalt multiplikativ ) hvis f (1) = 1 og f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) holder for alle positive heltall a og b , selv når de er ikke coprime.

Eksempler

Noen multiplikative funksjoner er definert for å gjøre formler lettere å skrive:

1 ( n ): den konstante funksjonen, definert av 1 ( n ) = 1 (fullstendig multiplikativ)
Id ( n ): identitetsfunksjon , definert av Id ( n ) = n (fullstendig multiplikativ)
Id _k ( n ): effektfunksjonene, definert av Id _k ( n ) = n ^k for et komplekst tall k (fullstendig multiplikativt). Som spesielle tilfeller har vi
- Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) og
- Id ₁ ( n ) = Id ( n ).
ε ( n ): funksjonen definert av ε ( n ) = 1 hvis n = 1 og 0 ellers, noen ganger kalt multiplikasjonsenhet for Dirichlet -konvolusjon eller ganske enkelt enhetsfunksjonen (fullstendig multiplikativ). Noen ganger skrevet som u ( n ), men ikke å forveksle med μ ( n ).
1 _C ( N ), idet indikatoren funksjon av settet C ⊂ Z , for visse sett C . Indikatoren funksjon 1 _C ( n ) er multiplikativ nettopp når den innstilte C har følgende egenskapen for eventuelle coprime tall en og b : produktet ab er i C, hvis og bare hvis tallene a og b begge er i seg selv C . Dette er tilfellet hvis C er settet med firkanter, terninger eller k -th -potens, eller hvis C er settet med kvadratfrie tall.

Andre eksempler på multiplikative funksjoner inkluderer mange funksjoner av betydning i tallteori, for eksempel:

gcd ( n , k ): den største fellesdeleren til n og k , som en funksjon av n , hvor k er et fast heltall.
${\ displaystyle \ varphi (n)}$ : Eulers totientfunksjon , som teller de positive heltallene coprime til (men ikke større enn) n ${\ displaystyle \ varphi}$
μ ( n ): Möbius-funksjonen , pariteten (-1 for oddetall, +1 for partall) av antall primfaktorer for kvadratfrie tall; 0 hvis n ikke er firkantet
σ _k ( n ): divisorfunksjonen , som er summen av k -th -effektene til alle de positive divisorene til n (hvor k kan være et hvilket som helst komplekst tall ). Spesielle saker vi har
- σ ₀ ( n ) = d ( n ) antall positive divisorer av n ,
- σ ₁ ( n ) = σ ( n ), summen av alle de positive delerne av n .
a ( n ): antall ikke-isomorfe abelske grupper av orden n .
λ ( n ): Liouville -funksjonen , λ ( n ) = (−1) ^{Ω ( n )} hvor Ω ( n ) er det totale antallet primtal (telt med multiplisitet) som deler n . (fullstendig multiplikativ).
γ ( n ), definert av γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , der additivfunksjonen ω ( n ) er antallet distinkte primtal som deler n .
τ ( n ): Ramanujan tau -funksjonen .
Alle Dirichlet -tegn er fullstendig multiplikative funksjoner. For eksempel
- ( n / p ), Legendre -symbolet , betraktet som en funksjon av n der p er et fast primtall .

Et eksempel på en ikke -multiplikativ funksjon er den aritmetiske funksjonen r ₂ ( n ) - antall representasjoner av n som summen av kvadrater på to heltall, positive , negative eller null , hvor man ved å telle antall måter, reversering av bestilling er tillatt. For eksempel:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

og derfor r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Dette viser at funksjonen ikke er multiplikativ. Imidlertid er r ₂ ( n )/4 multiplikativ.

I On-Line Encyclopedia of Integer Sequences har sekvenser av verdier for en multiplikativ funksjon søkeordet "mult".

Se aritmetisk funksjon for noen andre eksempler på ikke-multiplikative funksjoner.

Egenskaper

En multiplikativ funksjon er fullstendig bestemt av dens verdier ved kraften til primtall , en konsekvens av aritmetikkens grunnleggende teorem . Således, hvis n er et produkt av krefter av forskjellige primtal, si n = p ^a q ^b ..., så f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Denne egenskapen til multiplikative funksjoner reduserer behovet for beregning betydelig, som i følgende eksempler for n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

d (144) = σ ₀ (144) = σ ₀ (2 ⁴ ) σ ₀ (3 ² ) = (1 ⁰ + 2 ⁰ + 4 ⁰ + 8 ⁰ + 16 ⁰ ) (1 ⁰ + 3 ⁰ + 9 ⁰ ) = 5 · 3 = 15,

σ (144) = σ ₁ (144) = σ ₁ (2 ⁴ ) σ ₁ (3 ² ) = (1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 8 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 3 ¹ + 9 ¹ ) = 31 · 13 = 403,

σ ^* (144) = σ ^* (2 ⁴ ) σ ^* (3 ² ) = (1 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 9 ¹ ) = 17 · 10 = 170.

På samme måte har vi:

{\ displaystyle \ varphi (144) = \ varphi (2^{4}) \, \ varphi (3^{2}) = 8 \ cdot 6 = 48}

Generelt, hvis f ( n ) er en multiplikativ funksjon og a , b er to positive heltall, da

f ( a ) · f ( b ) = f ( gcd ( a , b )) · f ( lcm ( a , b )).

Hver fullstendig multiplikative funksjon er en homomorfisme av monoider og er fullstendig bestemt av dens begrensning til primtallene.

Konvolusjon

Hvis f og g er to multiplikative funksjoner, definerer en en ny multiplikativ funksjon f * g , Dirichlet -konvolusjon av f og g , ved

{\ displaystyle (f \,*\, g) (n) = \ sum _ {d | n} f (d) \, g \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}

hvor summen strekker seg over alle positive divisorer d av n . Med denne operasjonen blir settet med alle multiplikative funksjoner til en abelsk gruppe ; den identitet element er ε . Konvolusjon er kommutativ, assosiativ og distribuerende over tillegg.

Forholdet mellom multiplikative funksjoner diskutert ovenfor inkluderer:

μ * 1 = ε ( Möbius inversjonsformelen )
( μ Id _k ) * Id _k = ε (generalisert Möbius inversjon)
${\ displaystyle \ varphi}$ * 1 = Id
d = 1 * 1
σ = Id * 1 = * d ${\ displaystyle \ varphi}$
σ _k = Id _k * 1
Id = * 1 = σ * μ ${\ displaystyle \ varphi}$
Id _k = σ _k * μ

Dirichlet -konvolusjonen kan defineres for generelle aritmetiske funksjoner, og gir en ringstruktur, Dirichlet -ringen .

Den Dirichlet convolution av to multiplikator funksjoner er igjen multiplikativ. Et bevis på dette er gitt av følgende utvidelse for relativt prime : ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} ^{+}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} (f \ ast g) (ab) & = \ sum _ {d | ab} f (d) g \ left ({\ frac {ab} {d}} \ right) \ \ & = \ sum _ {d_ {1} | a} \ sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {1} d_ {2}) g \ venstre ({\ frac {ab} {d_ {1 } d_ {2}}} \ høyre) \\ & = \ sum _ {d_ {1} | a} f (d_ {1}) g \ venstre ({\ frac {a} {d_ {1}}} \ \ høyre) \ ganger \ sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {2}) g \ venstre ({\ frac {b} {d_ {2}}} \ høyre) \\ & = (f \ ast g) (a) \ cdot (f \ ast g) (b). \ ende {justert}}}

Dirichlet -serien for noen multiplikative funksjoner

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n^{s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ varphi (n)} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)} }}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {d (n)^{2}} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s)^{4}} {\ zeta (2s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {2^{\ omega (n)}} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s)^{2}} { \ zeta (2s)}}}$

Flere eksempler er vist i artikkelen om Dirichlet -serien .

Multiplikativ funksjon over $F q [X]$

La $A = F q [X]$ , polynomet ringe over det endelige feltet med q elementer. A er et prinsipielt ideelt domene og derfor er A et unikt faktoriseringsdomene .

En kompleks-verdsatt funksjon på A kalles multiplikativ om når f og g er relativt prime . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda (fg) = \ lambda (f) \ lambda (g)}$

Zeta -funksjon og Dirichlet -serien i $F q [X]$

La h være en polynomisk aritmetisk funksjon (dvs. en funksjon på sett med moniske polynomer over A ). Den tilsvarende Dirichlet -serien er definert som

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ sum _ {f {\ text {monic}}} h (f) | f |^{-s},}

hvor for sett hvis og ellers. ${\ displaystyle g \ i A,}$ ${\ displaystyle | g | = q^{\ deg (g)}}$ ${\ displaystyle g \ neq 0,}$ ${\ displaystyle | g | = 0}$

Den polynomiske zeta -funksjonen er da

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ sum _ {f {\ text {monic}}} | f |^{-s}.}

I likhet med situasjonen i $N$ har hver Dirichlet -serie av en multiplikativ funksjon h en produktrepresentasjon (Euler -produkt):

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ prod _ {P} \ left (\ sum _ {n \ mathop {=} 0}^{\ infty} h (P^{n}) | P |^{ -sn} \ høyre),}

hvor produktet går over hele monic ureduserbare polynomer P . For eksempel er produktrepresentasjonen av zeta -funksjonen som for heltallene:

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ prod _ {P} (1- | P |^{-s})^{-1}.}

I motsetning til den klassiske zeta -funksjonen , er en enkel rasjonell funksjon: ${\ displaystyle \ zeta _ {A} (r)}$

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ sum _ {f} | f |^{-s} = \ sum _ {n} \ sum _ {\ deg (f) = n} q^{- sn} = \ sum _ {n} (q^{n-sn}) = (1-q^{1-s})^{-1}.}

På lignende måte, hvis f og g er to polynomiske aritmetiske funksjoner, definerer en f * g , Dirichlet -konvolusjonen av f og g , ved

{\ displaystyle {\ begin {align} (f*g) (m) & = \ sum _ {d \ mid m} f (d) g \ left ({\ frac {m} {d}} \ right) \ \ & = \ sum _ {ab = m} f (a) g (b), \ ende {justert}}}

hvor summen er over alle moniske divisorer d av m , eller ekvivalent over alle par ( a , b ) av moniske polynomer hvis produkt er m . Identiteten holder fortsatt. ${\ displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h*g}}$

Se også

Referanser

Se kapittel 2 i Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic tall theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001

Eksterne linker

Planet Math

Languages

In other projects

Multiplikativ funksjon - Multiplicative function

Innhold

Eksempler

Egenskaper

Konvolusjon

Dirichlet -serien for noen multiplikative funksjoner

Multiplikativ funksjon over $F q [X]$

Zeta -funksjon og Dirichlet -serien i $F q [X]$

Se også

Referanser

Eksterne linker

Languages

In other projects

Multiplikativ funksjon - Multiplicative function

Eksempler

Egenskaper

Konvolusjon

Dirichlet -serien for noen multiplikative funksjoner

Multiplikativ funksjon over F q [ X ]

Zeta -funksjon og Dirichlet -serien i F q [ X ]

Se også

Referanser

Eksterne linker

Multiplikativ funksjon over $F q [X]$

Zeta -funksjon og Dirichlet -serien i $F q [X]$