Skiftmatrix - Shift matrix

I matematik , et skift matrix er en binær matrix med dem kun på superdiagonal eller subdiagonal og nuller andetsteds. En skiftmatrix U med dem på superdiagonalen er en øvre skiftmatrix . Den alternative subdiagonale matrix L er overraskende kendt som en matrix med lavere skift . Den ( i , j ): th komponent af U og L er

{\ displaystyle U_ {ij} = \ delta _ {i + 1, j}, \ quad L_ {ij} = \ delta _ {i, j + 1},}

hvor er Kronecker delta- symbolet. ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

For eksempel er 5 × 5 skiftmatricer

{\ displaystyle U_ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ quad L_ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Det er klart, at transponeringen af en nedre skiftmatrix er en øvre skiftmatrix og omvendt.

Som en lineær transformation skifter en lavere skiftmatrix komponenterne i en søjlevektor en position nedad, hvor nul vises i den første position. En øvre skiftmatrix skifter komponenterne i en søjlevektor en position opad, hvor nul vises i den sidste position.

For multiplikation af en matrix A med en lavere shift-matrix resulterer i, at elementerne i A forskydes nedad med en position, med nuller vises i den øverste række. Postmultiplikation med en lavere skiftmatrix resulterer i et skift til venstre. Lignende operationer, der involverer en øvre skiftmatrix, resulterer i det modsatte skift.

Det er klart, at alle endelige dimensionelle skiftmatricer er nulpotente ; en n for n forskydningsmatrix S bliver nulmatrixen, når den hæves til kraften i dens dimension n .

Skiftmatricer virker på skiftrum . De uendelige dimensionelle skiftematricer er særlig vigtige for undersøgelsen af ergodiske systemer . Vigtige eksempler på uendelige dimensionelle skift er Bernoulli-skiftet , der fungerer som et skift på Cantor-rummet , og Gauss-kortet , der fungerer som et skift på rummet med fortsatte fraktioner (det vil sige på Baire-rummet .)

Ejendomme

Lad L og U være henholdsvis n og n nedre og øvre forskydningsmatricer. Følgende egenskaber hold for både U og L . Lad os derfor kun angive egenskaberne for U :

det ( U ) = 0
spor ( U ) = 0
rang ( U ) = n - 1
De karakteristiske polynomer af U er
${\ displaystyle p_ {U} (\ lambda) = (- 1) ^ {n} \ lambda ^ {n}.}$
U ⁿ = 0. Dette følger af den tidligere ejendom af Cayley – Hamilton-sætningen .
Den permanente af U er 0 .

Følgende egenskaber viser, hvordan U og L er relateret:

L ^T = U ; U ^T = L.
De null rum af U og L er

${\ displaystyle N (U) = \ operatorname {span} \ left \ {(1,0, \ ldots, 0) ^ {\ mathsf {T}} \ right \},}$

${\ displaystyle N (L) = \ operatorname {span} \ left \ {(0, \ ldots, 0,1) ^ {\ mathsf {T}} \ right \}.}$
Den spektret af U og L er . Den algebraiske mangfoldighed på 0 er n , og dens geometriske mangfoldighed er 1 . Fra udtrykkene for de null rum, følger det, at (op til en skalering) den eneste egenvektoren for U er , og den eneste egenvektoren for L er . ${\ displaystyle \ {0 \}}$ ${\ displaystyle (1,0, \ ldots, 0) ^ {\ mathsf {T}}}$ ${\ displaystyle (0, \ ldots, 0,1) ^ {\ mathsf {T}}}$
For LU og UL har vi
${\ displaystyle UL = I- \ operatorname {diag} (0, \ ldots, 0,1),}$

${\ displaystyle LU = I- \ operatorname {diag} (1,0, \ ldots, 0).}$
Disse matricer er begge idempotente, symmetriske og har samme rang som U og L
L ^{n − a} U ^{n − a} + L ^a U ^a = U ^{n − a} L ^{n − a} + U ^a L ^a = I ( identitetsmatrixen ) for ethvert heltal a mellem 0 og n inklusive.

Hvis N er nogen nilpotent matrix , derpå N er lig med en blok diagonal matrix af formen

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} S_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & S_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & S_ {r} \ slut {pmatrix}}}

hvor hver af blokkene S ₁ , S ₂ , ..., S _r er et skift matrix (muligvis af forskellige størrelser).

Eksempler

{\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}; \ quad A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Derefter,

{\ displaystyle SA = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \ end {pmatrix}}; \ quad AS = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Der er tydeligvis mange mulige permutationer . For eksempel er lig matrixen A forskudt op og venstre langs hoveddiagonalen. ${\ displaystyle S ^ {\ mathsf {T}} AS}$