Multiplikativ funktion - Multiplicative function

I talteori er en multiplikativ funktion en aritmetisk funktion f ( n ) for et positivt heltal n med den egenskab, at f (1) = 1 og

{\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}

når a og b er coprime .

En aritmetisk funktion f ( n ) siges at være fuldstændig multiplikativ (eller totalt multiplikativ ), hvis f (1) = 1 og f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) holder for alle positive heltal a og b , selv når de er ikke coprime.

Eksempler

Nogle multiplikative funktioner er defineret for at gøre formler lettere at skrive:

1 ( n ): den konstante funktion, defineret af 1 ( n ) = 1 (fuldstændig multiplikativ)
Id ( n ): identitetsfunktion , defineret af Id ( n ) = n (fuldstændig multiplikativ)
Id _k ( n ): effektfunktionerne, defineret af Id _k ( n ) = n ^k for ethvert komplekst tal k (fuldstændigt multiplikativt). Som særlige tilfælde har vi
- Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) og
- Id ₁ ( n ) = Id ( n ).
ε ( n ): den funktion defineret ved ε ( n ) = 1, hvis n = 1 og 0 ellers, undertiden kaldet multiplikationsenhed for Dirichlet foldning eller blot enhed funktionen (helt multiplikativ). Nogle gange skrevet som u ( n ), men ikke at forveksle med μ ( n ).
1 _C ( n ), den indikatorfunktion af sættet C ⊂ Z for visse sæt C . Indikatorfunktionen 1 _C ( n ) er multiplikativ netop når den indstillede C har følgende egenskab for eventuelle Indbyrdes primisk numre a og b : produktet ab er i C , hvis og kun hvis tallene a og b begge selv er i C . Dette er tilfældet, hvis C er mængden af firkanter, terninger eller k -th -power, eller hvis C er mængden af kvadratfrie tal.

Andre eksempler på multiplikative funktioner inkluderer mange funktioner af betydning i talteori, såsom:

gcd ( n , k ): den største fælles divisor af n og k , som funktion af n , hvor k er et fast heltal.
${\ displaystyle \ varphi (n)}$ : Eulers totientfunktion , der tæller de positive heltal coprime til (men ikke større end) n ${\ displaystyle \ varphi}$
μ ( n ): Möbius-funktionen , pariteten (-1 for ulige, +1 for lige) af antallet af primfaktorer for kvadratfrie tal; 0 hvis n ikke er firkantet
σ _k ( n ): divisorfunktionen , som er summen af k -th -magterne for alle de positive divisorer af n (hvor k kan være et hvilket som helst komplekst tal ). Særlige tilfælde har vi
- σ ₀ ( n ) = d ( n ) antallet af positive delere af n ,
- σ ₁ ( n ) = σ ( n ), summen af alle de positive divisorer af n .
a ( n ): antallet af ikke-isomorfe abelske grupper af orden n .
λ ( n ): Liouville -funktionen , λ ( n ) = (−1) ^{Ω ( n )} hvor Ω ( n ) er det samlede antal primtal (talt med multiplicitet), der deler n . (fuldstændig multiplikativ).
γ ( n ), defineret af γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , hvor additivfunktionen ω ( n ) er antallet af forskellige primtal, der deler n .
τ ( n ): Ramanujan tau -funktionen .
Alle Dirichlet -tegn er fuldstændigt multiplikative funktioner. For eksempel
- ( n / p ), Legendre -symbolet , betragtes som en funktion af n, hvor p er et fast primtal .

Et eksempel på en ikke -multiplikativ funktion er den aritmetiske funktion r ₂ ( n ) - antallet af repræsentationer af n som summen af firkanter på to heltal, positive , negative eller nul , hvor man ved optælling af antallet af måder, vending af ordre er tilladt. For eksempel:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

og derfor r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Dette viser, at funktionen ikke er multiplikativ. Imidlertid r ₂ ( n ) / 4 er multiplikativ.

I On-Line Encyclopedia of Integer Sequences har værdisekvenser for en multiplikativ funktion nøgleordet "mult".

Se aritmetisk funktion for nogle andre eksempler på ikke-multiplikative funktioner.

Ejendomme

En multiplikativ funktion er helt bestemt af sine værdier på beføjelser primtal , en konsekvens af den Aritmetikkens Fundamentalsætning . Såfremt n er et produkt af kræfter af forskellige primtal, sig n = p ^a q ^b ..., så f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Denne egenskab ved multiplikative funktioner reducerer betydeligt behovet for beregning, som i følgende eksempler for n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

d (144) = σ ₀ (144) = σ ₀ (2 ⁴ ) σ ₀ (3 ² ) = (1 ⁰ + 2 ⁰ + 4 ⁰ + 8 ⁰ + 16 ⁰ ) (1 ⁰ + 3 ⁰ + 9 ⁰ ) = 5 · 3 = 15,

σ (144) = σ ₁ (144) = σ ₁ (2 ⁴ ) σ ₁ (3 ² ) = (1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 8 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 3 ¹ + 9 ¹ ) = 31 · 13 = 403,

σ ^* (144) = σ ^* (2 ⁴ ) σ ^* (3 ² ) = (1 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 9 ¹ ) = 17 · 10 = 170.

Tilsvarende har vi:

{\ displaystyle \ varphi (144) = \ varphi (2^{4}) \, \ varphi (3^{2}) = 8 \ cdot 6 = 48}

Generelt, hvis f ( n ) er en multiplikativ funktion og a , b er et hvilket som helst to positive heltal, så

f ( a ) · f ( b ) = f ( gcd ( a , b )) · f ( lcm ( a , b )).

Hver fuldstændig multiplikativ funktion er en homomorfisme af monoider og er fuldstændig bestemt af dens begrænsning til primtalene.

Konvolution

Hvis f og g er to multiplikative funktioner, definerer den ene en ny multiplikativ funktion f * g , Dirichlet -konvolutionen af f og g , ved

{\ displaystyle (f \,*\, g) (n) = \ sum _ {d | n} f (d) \, g \ venstre ({\ frac {n} {d}} \ right)}

hvor summen strækker sig over alle positive delere d af n . Med denne operation bliver sættet af alle multiplikative funktioner til en abelsk gruppe ; den identitet element er ε . Konvolution er kommutativ, associativ og distributiv i forhold til tilføjelse.

Forholdet mellem de multiplikative funktioner, der er diskuteret ovenfor, omfatter:

μ * 1 = ε ( Möbius inversionsformlen )
( μ Id _k ) * Id _k = ε (generaliseret Möbius inversion)
${\ displaystyle \ varphi}$ * 1 = Id
d = 1 * 1
σ = Id * 1 = * d ${\ displaystyle \ varphi}$
σ _k = Id _k * 1
Id = * 1 = σ * μ ${\ displaystyle \ varphi}$
Id _k = σ _k * μ

Dirichlet -konvolutionen kan defineres for generelle aritmetiske funktioner og giver en ringstruktur, Dirichlet -ringen .

Den Dirichlet foldning af to multiplikative funktioner er igen multiplikativ. Et bevis på dette faktum er givet ved følgende ekspansion for relativt prime : ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} ^{+}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} (f \ ast g) (ab) & = \ sum _ {d | ab} f (d) g \ left ({\ frac {ab} {d}} \ right) \ \ & = \ sum _ {d_ {1} | a} \ sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {1} d_ {2}) g \ venstre ({\ frac {ab} {d_ {1 } d_ {2}}} \ højre) \\ & = \ sum _ {d_ {1} | a} f (d_ {1}) g \ venstre ({\ frac {a} {d_ {1}}} \ \ højre) \ gange \ sum _ {d_ {2} | b} f (d_ {2}) g \ venstre ({\ frac {b} {d_ {2}}} \ højre) \\ & = (f \ ast g) (a) \ cdot (f \ ast g) (b). \ end {justeret}}}

Dirichlet -serien til nogle multiplikative funktioner

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n^{s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ varphi (n)} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)} }}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {d (n)^{2}} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s)^{4}} {\ zeta (2s)}}}$
${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {2^{\ omega (n)}} {n^{s}}} = {\ frac {\ zeta (s)^{2}} { \ zeta (2s)}}}$

Flere eksempler er vist i artiklen om Dirichlet -serien .

Multiplikativ funktion over $F q [X]$

Lad $A = F q [X]$ , polynomet ringe over det endelige felt med q elementer. A er et principielt ideelt domæne og derfor er A et unikt faktoriseringsdomæne .

En komplekse værdier funktion på A kaldes multiplikativ hvis når f og g er relativt prime . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda (fg) = \ lambda (f) \ lambda (g)}$

Zeta -funktion og Dirichlet -serien i $F q [X]$

Lad h være en polynomisk aritmetisk funktion (dvs. en funktion på et sæt moniske polynomer over A ). Den tilsvarende Dirichlet -serie er defineret til at være

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ sum _ {f {\ text {monic}}} h (f) | f |^{-s},}

hvor for sæt hvis og på anden måde. ${\ displaystyle g \ i A,}$ ${\ displaystyle | g | = q^{\ deg (g)}}$ ${\ displaystyle g \ neq 0,}$ ${\ displaystyle | g | = 0}$

Den polynomiske zeta -funktion er derefter

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ sum _ {f {\ text {monic}}} | f |^{-s}.}

Ligesom situationen i $N$ har hver Dirichlet -serie af en multiplikativ funktion h en produktrepræsentation (Euler -produkt):

{\ displaystyle D_ {h} (s) = \ prod _ {P} \ left (\ sum _ {n \ mathop {=} 0}^{\ infty} h (P^{n}) | P |^{ -sn} \ højre),}

hvor produktet løber over alle monic irreducible polynomier P . For eksempel er produktrepræsentationen af zeta -funktionen som for heltalene:

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ prod _ {P} (1- | P |^{-s})^{-1}.}

I modsætning til den klassiske zetafunktion , er en simpel rationel funktion: ${\ displaystyle \ zeta _ {A} (r)}$

{\ displaystyle \ zeta _ {A} (s) = \ sum _ {f} | f |^{-s} = \ sum _ {n} \ sum _ {\ deg (f) = n} q^{- sn} = \ sum _ {n} (q^{n-sn}) = (1-q^{1-s})^{-1}.}

På lignende måde, hvis f og g er to polynomiske aritmetiske funktioner, definerer man f * g , Dirichlet -konvolutionen af f og g , ved

{\ displaystyle {\ begin {justeret} (f*g) (m) & = \ sum _ {d \ mid m} f (d) g \ venstre ({\ frac {m} {d}} \ højre) \ \ & = \ sum _ {ab = m} f (a) g (b), \ slut {justeret}}}

hvor summen er over alle moniske delere d af m eller ækvivalent over alle par ( a , b ) af moniske polynomer, hvis produkt er m . Identiteten holder stadig. ${\ displaystyle D_ {h} D_ {g} = D_ {h*g}}$

Se også

Referencer

Se kapitel 2 i Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001

eksterne links

Planet matematik

Languages

In other projects

Multiplikativ funktion - Multiplicative function

Indhold

Eksempler

Ejendomme

Konvolution

Dirichlet -serien til nogle multiplikative funktioner

Multiplikativ funktion over $F q [X]$

Zeta -funktion og Dirichlet -serien i $F q [X]$

Se også

Referencer

eksterne links

Languages

In other projects

Multiplikativ funktion - Multiplicative function

Eksempler

Ejendomme

Konvolution

Dirichlet -serien til nogle multiplikative funktioner

Multiplikativ funktion over F q [ X ]

Zeta -funktion og Dirichlet -serien i F q [ X ]

Se også

Referencer

eksterne links

Multiplikativ funktion over $F q [X]$

Zeta -funktion og Dirichlet -serien i $F q [X]$