Kübik yüzey - Cubic surface

Gelen matematik , bir küp yüzeyi bir tarafından tanımlanan 3-boyutlu uzayda bir yüzeydir polinom temel örnekler derecesi 3. Kübik yüzeylerin denklemi olan cebirsel geometri . Teori, afin uzaydan ziyade yansıtmalı uzayda çalışarak basitleştirilir ve bu nedenle kübik yüzeyler genellikle yansıtmalı 3-uzayda düşünülür . Teori ayrıca gerçek sayılar yerine karmaşık sayılar üzerindeki yüzeylere odaklanarak daha tekdüze hale gelir ; Karmaşık bir yüzeyin gerçek boyuta sahip olduğuna dikkat edin. Basit bir örnek Fermat kübik yüzeydir.${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0}$

içinde . Kübik yüzeylerin birçok özelliği daha genel olarak del Pezzo yüzeyleri için geçerlidir . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Kübik yüzeylerin rasyonelliği

Cebirsel olarak kapalı bir alan üzerindeki düz kübik yüzeylerin X'in merkezi bir özelliği, 1866'da Alfred Clebsch tarafından gösterildiği gibi , hepsinin rasyonel olmasıdır. Yani, yansıtmalı düzlem eksi a arasında rasyonel fonksiyonlarla tanımlanan bire bir karşılık vardır. daha düşük boyutlu alt küme ve X eksi daha düşük boyutlu bir alt küme. Daha genel olarak, cebirsel olarak kapalı bir alan üzerindeki her indirgenemez kübik yüzey (muhtemelen tekil), kübik bir eğri üzerindeki yansıtmalı koni olmadığı sürece rasyoneldir . Bu bakımdan, kübik yüzeyler , hiçbir zaman rasyonel olmayan, en az 4 inçlik derecedeki pürüzsüz yüzeylerden çok daha basittir . Gelen karakteristik sıfır, içinde derece yüzeyleri en az 4 düzgün da değildir uniruled . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Daha güçlü, Clebsch her pürüzsüz kübik yüzey gösterdi bir cebirsel olarak kapalı alanın üzerine izomorftur darbe-up içinde 6 noktalarında. Bunun bir sonucu olarak, karmaşık sayılar üzerindeki her düz kübik yüzeydir diffeomorphic için bağlı toplamı eksi işareti bir değişiklik anlamına gelir, yönlendirme . Tersine, 6 noktada patlama, ancak ve ancak noktalar genel konumdaysa kübik bir yüzeye izomorfiktir, yani üç nokta bir çizgi üzerinde yer almaz ve 6 noktanın tümü bir konik üzerinde yer almaz . Bir şekilde karmaşık bir çoklu (veya bir cebirsel çeşitli ), yüzey o 6 puan düzenine bağlıdır. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

Kübik bir yüzeyde 27 satır

Kübik yüzeyler için rasyonellik kanıtlarının çoğu, yüzeyde bir çizgi bulmakla başlar. (Projektif geometri bağlamında, bir çizgi, ile izomorfiktir .) Daha doğrusu, Arthur Cayley ve George Salmon 1849'da cebirsel olarak kapalı bir alan üzerindeki her düzgün kübik yüzeyin tam olarak 27 çizgi içerdiğini gösterdi. Bu, kübiklerin ayırt edici bir özelliğidir: pürüzsüz bir dörtgen (derece 2) yüzey sürekli bir çizgi ailesiyle kaplanırken, en az 4 inçlik çoğu yüzey çizgi içermez. 27 hatları bulmak için bir başka yararlı bir teknik gerektirir Schubert taşı kesişme teorisi kullanılarak satır sayısını hesaplar Grassmannian çizgilerin . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Düz bir karmaşık kübik yüzeyin katsayıları değiştikçe, 27 çizgi sürekli hareket eder. Sonuç olarak, pürüzsüz kübik yüzeyler ailesindeki kapalı bir döngü , 27 çizginin bir permütasyonunu belirler . Grubu , bu şekilde ortaya çıkan 27 satır permütasyon denir monodromy grubu kübik yüzeylerin ailesinin. 19. yüzyılda dikkat çekici bir keşif, monodromi grubunun ne önemsiz ne de tüm simetrik grup olduğuydu ; 51840 mertebesinde bir gruptur ve doğrular kümesi üzerinde geçişli hareket eder. Bu grup, yavaş yavaş (tanındı Elie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-1917) ve Patrick du Val olarak (1936)) Weyl grubu Çeşidi , 6 boyutlu gerçek vektör uzayı yansımaları ile oluşturulan bir grup, 78 boyutundaki Lie grubuyla ilgili . ${\ Displaystyle S_{27}}$${\ Displaystyle E_{6}}$${\ Displaystyle E_{6}}$

İçin 51.840 aynı grup olarak, birleştirici olarak tarif edilebilir otomorfizmalarını ait grafik her satırı için bir tepe noktası ve iki hat araya her bir kenarı ile, 27 hatları. Bu grafik, 19. yüzyılda Schläfli çift altı konfigürasyonu gibi alt grafikler kullanılarak analiz edildi . Tamamlayıcı grafik (iki çizgi ayrık olduğunda bir kenarı olan) Schläfli grafiği olarak bilinir .

Kübik yüzeylerle ilgili birçok problem kök sisteminin kombinatoriği kullanılarak çözülebilir . Örneğin, 27 satır , Lie grubunun temel temsilinin ağırlıkları ile tanımlanabilir . Kübik bir yüzeyde meydana gelebilecek olası tekillikler, kök sisteminin alt sistemleri olarak tanımlanabilir . Bu bağlantı için bir açıklama olduğunu kafes ortogonal tamamlayıcı olarak ortaya çıkar anticanonical sınıf içinde Picard grubu (gelen kesişim formu, kesişme teorisi bir yüzey üzerine eğrileri). Pürüzsüz bir karmaşık kübik yüzey için, Picard kafesi kohomoloji grubuyla da tanımlanabilir . ${\ Displaystyle E_{6}}$ ${\ Displaystyle E_{6}}$${\ Displaystyle E_{6}}$${\ Displaystyle E_{6}}$${\görüntüleme stili -K_{X}}$ ${\displaystyle \operatöradı {Resim} (X)\cong \mathbf {Z} ^{7}}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbf {Z} )}$

Bir Eckardt noktası 27 satır 3 araya bir noktadır. Çoğu kübik yüzeyin Eckardt noktası yoktur, ancak bu tür noktalar , tüm düz kübik yüzeyler ailesinin bir eş-boyutu -1 alt kümesinde meydana gelir .

Bir küp yüzeyi arasında bir kimlik verilen X ve fışkırma genel pozisyonda 6 noktada, 27 hatları X olarak görüntülenebilir: üfleme tarafından oluşturulan 6 istisnai eğrileri, 15 hatları birational dönüşümler çiftleriyle 6 noktadan biri hariç hepsini içeren 6 koniğin çift yönlü dönüşümleri. Belirli bir kübik yüzey, birden fazla şekilde (aslında 72 farklı şekilde) bir patlama olarak görülebilir ve bu nedenle bir patlama olarak bir açıklama, 27 çizginin tümü arasındaki simetriyi ortaya çıkarmaz. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$

Kübik yüzeyler ve kök sistemi arasındaki ilişki, tüm del Pezzo yüzeyleri ve kök sistemleri arasındaki ilişkiye genellenir. Bu, matematikteki birçok ADE sınıflandırmasından biridir. Bu benzetmeleri takip ederek, Vera Serganova ve Alexei Skorobogatov , kübik yüzeyler ve Lie grubu arasında doğrudan bir geometrik ilişki verdiler . ${\ Displaystyle E_{6}}$${\ Displaystyle E_{6}}$

Fizikte, 27 hatlar 27 olası masraf ile tespit edilebilir M-teori altı boyutlu üzerinde torus (, 15 6 momentumları membranlar , 6 fivebranes ) ve grup E ₆ , daha sonra doğal olarak hareket U ikilik grubu. Arasındaki bu harita del Pezzo yüzeyleri ve M-teorisi Tori üzerinde olarak bilinir gizemli ikiliği .

Özel kübik yüzeyler

En büyük otomorfizma grubuna sahip pürüzsüz karmaşık kübik yüzey , Fermat kübik yüzeydir. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0.}$

Otomorfizm grubu, 648 mertebesinin bir uzantısıdır . ${\ Displaystyle 3^{3}:S_{4}}$

Bir sonraki en simetrik pürüzsüz kübik yüzey, iki denklemle tanımlanabilen Clebsch yüzeyidir.${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2} ^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

Otomorfizm grubu, 120 mertebesinde simetrik gruptur . Karmaşık bir doğrusal koordinat değişikliğinden sonra, Clebsch yüzeyi denklemle de tanımlanabilir. ${\ Displaystyle S_{5}}$

${\displaystyle x^{2}y+y^{2}z+z^{2}w+w^{2}x=0}$

içinde . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Tekil karmaşık kübik yüzeyler arasında, Cayley'nin düğümlü kübik yüzeyi , maksimum düğüm sayısı 4 olan benzersiz yüzeydir :

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0.}$

Otomorfizm grubu, 24. derecedendir. ${\ Displaystyle S_{4}}$

Gerçek kübik yüzeyler

Karmaşık durumun aksine, gerçek sayılar üzerinde düz kübik yüzeylerin alanı değildir bağlı klasik olarak topoloji (topolojisine göre R ). Bağlı bileşenleri (diğer bir deyişle, izotopiye kadar düzgün gerçek kübik yüzeylerin sınıflandırılması ) Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) ve HG Zeuthen (1875) tarafından belirlendi. Yani, gerçek noktaların uzayının topolojisi ile ayırt edilen, X in 'deki pürüzsüz gerçek kübik yüzeylerin 5 izotopi sınıfı vardır . Gerçek noktaların uzayı , gerçek yansıtmalı düzlemin r kopyalarının bağlı toplamını ifade ettiği 2 kürenin ayrık birleşimine veya iki küreye difeomorfiktir . Buna uygun olarak, X'in içerdiği gerçek doğruların sayısı 27, 15, 7, 3 veya 3'tür. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X(\mathbf {R} )}$${\displaystyle W_{7},W_{5},W_{3},W_{1}}$${\görüntüleme stili W_{1}}$${\görüntüleme stili W_{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$

Pürüzsüz bir gerçek kübik yüzey, ancak ve ancak gerçek noktalarının uzayı bağlantılıysa, yani önceki beş durumun ilk dördünde R üzerinde rasyoneldir .

Gerçek çizgiler ortalama sayısı X olduğu için belirleyici polinom zaman X ile uyarılan Gauss topluluğu rastgele örneklenir Bombieri iç ürün . ${\displaystyle 6{\sqrt {2}}-3}$

Kübik yüzeylerin modül uzayı

İki düz kübik yüzey, ancak ve ancak . Geometrik değişmez teori , düzgün kübik yüzeylerin her izomorfizm sınıfı için bir nokta ile kübik yüzeylerin modül uzayını verir . Bu modül uzayı 4 boyuta sahiptir. Daha doğrusu, Salmon ve Clebsch (1860) tarafından hazırlanan P(12345) ağırlıklı projektif uzayın açık bir alt kümesidir . Özellikle, rasyonel 4 katlıdır. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Eğrilerin konisi

Cebirsel olarak kapalı bir alan üzerindeki kübik bir yüzey X üzerindeki çizgiler, X'in içine gömülmesine atıfta bulunulmadan, özünde tanımlanabilir : bunlar tam olarak X üzerindeki (-1)-eğrileridir , yani öz-kesişime sahip olan eşbiçimli eğrilerdir - 1. Ayrıca, X'in Picard kafesindeki doğruların sınıfları (veya eşdeğer olarak bölen sınıf grubu ), Pic( X )' in tam olarak u öğeleridir , öyle ki ve . (Kısıtlama bu kullanım bu hiper hattı demeti O on (1) için X anticanonical hattı demetidir ile, birleşim, formül ). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle u^{2}=-1}$${\displaystyle -K_{X}\cdot u=1}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\görüntüleme stili -K_{X}}$

Herhangi bir yansıtmalı X çeşidi için , eğrilerin konisi , X'teki tüm eğriler tarafından kapsanan dışbükey koni anlamına gelir (1 çevrimlik modülo sayısal denkliğin gerçek vektör uzayında veya temel alan karmaşık sayılarsa homoloji grubunda ). Kübik bir yüzey için, eğrilerin konisi 27 çizgi tarafından yayılır. Özellikle, Weyl grubu olan büyük bir simetri grubuna sahip rasyonel bir çokyüzlü konidir . Herhangi bir del Pezzo yüzeyi için eğri konisinin benzer bir açıklaması vardır. ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbf {R} )}$${\displaystyle N_{1}(X)\cong \mathbf {R} ^{7}}$${\ Displaystyle E_{6}}$

Bir alan üzerinde kübik yüzeyler

Pürüzsüz kübik yüzey X bir saha üzerinde k cebirsel üzerinde rasyonel olmayabilir kapalı bir ihtiyaç değil k . Uç bir durum olarak, Q rasyonel sayıları (veya p-adic sayıları ) üzerinde hiçbir rasyonel noktası olmayan düzgün kübik yüzeyler vardır, bu durumda X kesinlikle rasyonel değildir. Eğer X ( k ) boş olmayan, o zaman X en az olduğu unirational üzerinde k tarafından, Beniamino Segre ve János Kollar . İçin k sonsuzun, unirationality kümesi ima k -rational noktaları olan Zariski yoğun içinde X . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$

Mutlak Galois'in grubu arasında k 27 hatları permütasyona X cebirsel kapağın üzerine bir k (Weyl grubunun bazı alt grubu yoluyla ). Bu eylemin bir yörüngesi ayrık çizgilerden oluşuyorsa, X, "daha basit" bir del Pezzo yüzeyinin k üzerinde kapalı bir noktada patlamasıdır . Aksi takdirde, X'in Picard sayısı 1'dir. ( X'in Picard grubu, geometrik Picard grubunun bir alt grubudur .) İkinci durumda, Segre X'in asla rasyonel olmadığını gösterdi . Daha güçlü, Yuri Manin aşkın Picard 1 numara ile iki pürüzsüz kübik yüzeyler: Bir birational katılık deyimi kanıtladı mükemmel saha k olan birational eğer onlar izomorf olmasıyla mümkün olabilir. Örneğin, bu sonuçlar Q üzerinde irrasyonel olmayan ancak rasyonel olmayan birçok kübik yüzey verir . ${\displaystyle {\overline {k}}}$${\ Displaystyle E_{6}}$${\displaystyle \operatöradı {Pic} (X_{\overline {k}})\cong \mathbf {Z} ^{7}}$

Tekil kübik yüzeyler

27 çizgi içeren düz kübik yüzeylerin aksine , tekil kübik yüzeyler daha az çizgi içerir. Ayrıca, normal formlarında ortaya çıkan tekillik türüne göre sınıflandırılabilirler. Bu tekillikler Dynkin diyagramları kullanılarak sınıflandırılır .

sınıflandırma

Yerel koordinatlara sahip normal bir tekil kübik yüzey , ile verilirse normal formda olduğu söylenir . Tekilliğin içerdiği türe bağlı olarak, aşağıdaki tabloda olduğu gibi nerede olduğu ile verilen yansıtmalı yüzeye izomorfiktir . Bu, tüm tekil kübik yüzeylerin bir sınıflandırmasını elde edebileceğimiz anlamına gelir. Aşağıdaki tablonun parametreleri aşağıdaki gibidir: ' nin üç farklı öğesidir , parametreler içindedir ve ' nin bir öğesidir . Tekilliğe sahip iki farklı tekil kübik yüzey olduğuna dikkat edin . ${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle {\textbf {P}}_{\mathbb {C} }^{3}}$${\displaystyle [x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}]}$${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2}) =0}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$${\displaystyle F=x_{3}f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})-f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2}) =0}$${\displaystyle f_{2},f_{3}}$${\görüntüleme stili a,b,c}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$${\görüntüleme stili d,e}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1\}}$${\görüntüleme stili u}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\görüntüleme stili D_{4}}$

Tekillik türüne göre tekil kübik yüzeylerin sınıflandırılması

tekillik	${\displaystyle f_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})}$	${\displaystyle f_{3}(x_{0},x_{1},x_{2})}$
${\görüntüleme stili A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-ax_{1})(-x_{0}+(b+1)x_{1}-bx_{2})(x_{1}-cx_{2})}$
${\ Displaystyle 2A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-2x_{1}+x_{2})(x_{0}-ax_{1})(x_{1}-bx_{2})}$
${\displaystyle A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})}$
${\ Displaystyle 3A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}(x_{0}-(a+1)x_{1}+ax_{2})}$
${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(-x_{1}+x_{2})(x_{0}-2x_{1}+x_{2})}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{2}(x_{0}-x_{2})}$
${\displaystyle 4A_{1}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle (x_{0}-x_{1})(x_{1}-x_{2})x_{1}}$
${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}x_{1}}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}^{2}}$
${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}}$
${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}-x_{1}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}^{3}}$
${\ Displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(dx_{0}+ex_{1}+dex_{2})}$
${\ Displaystyle 2A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{1}+x_{2})(-x_{1}+dx_{2})}$
${\ Displaystyle 3A_{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}^{3}}$
${\ Displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}(x_{0}+x_{1}+x_{2})(x_{0}-ux_{1})}$
${\ Displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}x_{2}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}}$
${\ Displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle x_{0}x_{1}}$	${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}-x_{1}x_{2}^{2}}$
${\ Displaystyle D_{4}(1)}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}}$
${\görüntüleme stili D_{4}(2)}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}}$
${\görüntüleme stili D_{5}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}}$
${\ Displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle x_{0}^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}+x_{1}^{3}}$
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	${\görüntüleme stili 0}$	${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{0}(x_{0}-x_{2})(x_{0}-ax_{2})}$

Normal formda, bir kübik yüzey en az bir tekillik içerdiğinde, ' de bir tekilliğe sahip olacaktır . ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili A_{1}}$${\görüntüleme stili A_{1}}$${\görüntüleme stili [0:0:0:1]}$

Tekil kübik yüzeylerdeki çizgiler

Tekil kübik yüzeylerin sınıflandırılmasına göre, aşağıdaki tablo her yüzeyin içerdiği çizgi sayısını göstermektedir .

Tekil kübik yüzeylerde çizgiler

tekillik	${\görüntüleme stili A_{1}}$	${\ Displaystyle 2A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{2}}$	${\ Displaystyle 3A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle 4A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\ Displaystyle A_{2}}$	${\ Displaystyle 2A_{2}}$	${\ Displaystyle 3A_{2}}$	${\ Displaystyle A_{3}}$	${\ Displaystyle A_{4}}$	${\ Displaystyle A_{5}}$	${\görüntüleme stili D_{4}}$	${\görüntüleme stili D_{5}}$	${\ Displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
Hat sayısı	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\görüntüleme stili \infty }$

Parametresiz tekil kübik yüzeylerin otomorfizm grupları

Bir otomorfizma normal tekil küp yüzeyi olan kısıtlama bir otomorfizma ait yansıtmalı alanı için . Bu tür otomorfizmalar tekil noktaları korur. Ayrıca, farklı türlerdeki tekillikleri değiştirmezler. Yüzey aynı tipte iki tekillik içeriyorsa, otomorfizm bunları değiştirebilir. Kübik bir yüzey üzerinde otomorfizmlerin toplanması, otomorfizm grubu olarak adlandırılan bir grup oluşturur . Aşağıdaki tablo, parametresiz tekil kübik yüzeylerin tüm otomorfizm gruplarını göstermektedir. ${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle {\textbf {P}}^{3}}$${\görüntüleme stili X}$

Parametresiz tekil kübik yüzeylerin otomorfizm grupları

tekillik	otomorfizm grubu ${\görüntüleme stili X}$
${\displaystyle A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle 2A_{1}A_{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle 4A_{1}}$	${\görüntüleme stili \Sigma _{4}}$, simetrik düzen grubu${\görüntüleme stili 4!}$
${\displaystyle A_{1}A_{4}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$
${\displaystyle 2A_{1}A_{3}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{1}2A_{2}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\displaystyle A_{1}A_{5}}$	${\displaystyle \mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }}$
${\ Displaystyle 3A_{2}}$	${\displaystyle (\mathbb {C} )^{2}\rtimes \Sigma _{3}}$
${\ Displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$
${\ Displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle (\mathbb {C} \rtimes \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )\rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
${\ Displaystyle D_{4}(1)}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\rtimes \Sigma _{3}}$
${\görüntüleme stili D_{4}(2)}$	${\görüntüleme stili \Sigma _{3}}$
${\görüntüleme stili D_{5}}$	${\displaystyle \mathbb {C} ^{\kez }}$
${\ Displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathbb {C} \rtimes \mathbb {C} ^{\times }}$

Ayrıca bakınız

• cebirsel yüzey
• Enriques-Kodaira sınıflandırması
• Fano çeşidi
• Schubert hesabı

Notlar

Referanslar

• Bruce, JW; Wall, CTC (1979), "Kübik yüzeylerin sınıflandırılması üzerine", Journal of the London Mathematical Society , 19 (2): 245–256, doi : 10.1112/jlms/s2-19.2.245 , ISSN  0024-6107 , MR  0533323
• Cayley, Arthur (1849), "Üçüncü dereceden yüzeylerin üçlü teğet düzlemleri üzerinde" , Cambridge ve Dublin Math. J. , 4 : 118-138
• Cayley, Arthur (1869), "Küp yüzeylerde bir anı", Londra Kraliyet Cemiyeti'nin Felsefi İşlemleri , Kraliyet Cemiyeti, 159 : 231–326, doi : 10.1098/rstl.1869.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108997
• Degtyarev, AI; Kharlamov, VM (2000), "Gerçek cebirsel çeşitlerin topolojik özellikleri: Rokhlin's way.", Russian Mathematical Surveys , 55 (4): 735–814, arXiv : math/0004134 , doi : 10.1070/RM2000v055n04ABEH000315 , MR  1786731
• Dolgachev, Igor (2012), Klasik cebirsel geometri: modern bir görünüm , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139084437 , ISBN 9781139084437, MR  2964027
• Robin Hartshorne (1997) [1977]. Cebirsel geometri . Springer-Verlag. ISBN'si 978-0-387-90244-9. MR  0463157 .
• Henderson, Archibald (2015) [1911], Kübik yüzey üzerinde yirmi yedi çizgi , Matematikte Cambridge Yolları , Cambridge University Press , ISBN 978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Holzer, Stephan; Labs, Oliver (2006), "Gerçek kübik yüzeylerin sınıflandırılmasını gösterme" (PDF) , Cebirsel geometri ve geometrik modelleme , Springer, pp. 119–134, MR  2279847
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Kübik hiperyüzey" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Kollar, János ; Smith, Karen E. ; Corti, Alessio (2004), Rasyonel ve neredeyse rasyonel çeşitler , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, MR  2062787 , S2CID  117569533
• Manin, Yuri Ivanovich (1986), Kübik formlar , North-Holland Mathematical Library, 4 (2. baskı), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6, MR  0833513
• Reid, Miles (1988). Lisans cebirsel geometri . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-521-35662-6. MR  0982494 .
• Schläfli, Ludwig (1863), "Tekil noktaların yokluğuna veya varlığına ve çizgilerinin gerçekliğine göre üçüncü dereceden yüzeylerin türlere dağılımı üzerine", Londra Kraliyet Cemiyeti'nin Felsefi İşlemleri , Kraliyet Toplum, 153 : 193–241, doi : 10.1098/rstl.1863.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108795
• Segre, Beniamino (1942), Tekil olmayan kübik yüzeyler , Oxford University Press , MR  0008171
• Serganova, Vera ; Skorobogatov, Alexei (2007), "Del Pezzo yüzeyler ve temsil teorisi", Cebir ve Sayı Teorisi , 1 (4): 393–419, doi : 10.2140/ant.2007.1.393 , MR  2368955
• Silhol, Robert (1989), Gerçek cebirsel yüzeyler , Matematikte Ders Notları, 1392 , Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0088815 , ISBN 3-540-51563-1, MR  1015720

Dış bağlantılar

• O'Connor, John J .; Robertson Edmund F. , "Kübik yüzey" , Matematik MacTutor Tarih arşiv , University of St Andrews
• Bir Kübik Yüzey Üzerinde Çizgiler Ryan Hoban (Maryland Üniversitesi'ndeki Deneysel Geometri Laboratuvarı), William Goldman'ın Wolfram Gösterileri Projesi adlı çalışmasına dayanmaktadır .
• Kübik Yüzeyler DVD (kübik yüzeylerin 54 animasyonlar, ayrı ayrı indirilebilir veya bir DVD gibi)