Kavşak teorisi - Intersection theory

Gelen matematik , kesişme teorisi ana dallarından biri cebirsel geometri dair bilgi verir, kesişme iki alttürlere belirli bir çeşitli. Çeşit teorisi daha eskidir ve kökleri Bézout'un eğriler ve eleme teorisi üzerine teoremindedir . Öte yandan, topolojik teori daha hızlı bir şekilde kesin bir forma ulaştı.

Henüz kesişim teorisinin devam eden bir gelişimi var. Şu ana odak açıktır: Sanal temel döngüleri, kuantum kesişme yüzük, Gromov-Witten teorisi ve gelen kesişme teorisinin uzatma planları için yığınlar .

Topolojik kesişim formu

Bir için bağlı yönlendirilmiş manifoldu $M$ arasında boyut $2 N$ kesişme şeklinde tanımlanır $, n$ -inci cohomoloji grubu değerlendirilmesi ile (genellikle 'orta boyut' olarak adlandırılan) kap ürün üzerinde temel sınıf $[M]$ olarak $, H 2 n (M, \partial M)$ . Kesin olarak ifade edildiğinde, bilinear bir form var

\lambda _{M}\kolon H^{n}(M,\kısmi M)\times H^{n}(M,\kısmi M)\to \mathbf {Z}

tarafından verilen

\lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z}

ile birlikte

\lambda _{M}(a,b)=(-1)^{n}\lambda _{M}(b,a)\in \mathbf {Z} .

Bu bir simetrik bir şekilde için $n$ da (çok $2, n = 4 k$ iki kat daha , bu durumda) imza arasında $M$ formunun imza olarak tanımlanır, ve bir alternatif formu için $, n$ , birbirinden (böylece $2, n = 4, k + 2$ olduğu da tek başına ). Bu şekilde homojen bir ifade edilebilir ε-simetrik formlarda , burada $ε = (1), n = \pm 1$ simetrik ve ters simetrik formlarda sırasıyla. Bu, teğet demetinin çerçevelenmesi gibi ek veriler gerektirse de, bazı durumlarda bu formu $ε - ikinci$ dereceden bir forma dönüştürmek mümkündür . Yönlendirilebilirlik koşulunu bırakıp bunun yerine $Z$ $/2$ $Z$ katsayıları ile çalışmak mümkündür .

Bu formlar önemli topolojik değişmezlerdir . Örneğin, Michael Freedman'ın bir teoremi, basitçe bağlı kompakt 4-manifoldların (neredeyse) kesişim biçimleri tarafından homeomorfizme kadar belirlendiğini belirtir .

By Poincaré ikiliği , bu geometrik olarak düşünmek için bir yol var olduğu ortaya çıktı. Mümkünse, $a$ ve $b'nin$ Poincare dualleri için temsili $n$ -boyutlu alt manifoldlar $A$ , $B'yi$ seçin . Daha sonra $λ$ $M$ $($ $bir$ $,$ $b$ $)$ bir yönlendirilmiş kesişme sayısı arasında $A$ ve $B$ olan, iyi tanımlanmış, çünkü boyutları itibaren $A$ ve $B$ toplam boyuta toplamı $M$ bunlar genel olarak kesiştiği izole noktalarda. Bu, terminoloji kesişim formunu açıklar .

Cebirsel geometride kesişim teorisi

William Fulton içinde Kesişme Teorisi (1984) yazıyor

... ise $bir$ ve $B$ bir tekil olmayan çeşitli ait alt varyetelerinden olan $X$ , kesişme ürün $bir \cdot B$ yakından nasıl geometrisine ilişkin cebirsel döngülerinin bir denklik sınıfı olmalıdır $bir \cap B$ , $A$ ve $B$ yer almaktadır $X$ . İki aşırı durum en tanıdık olmuştur. Eğer kesişim uygunsa , yani $dim(A \cap B) = dim A + dim B - dim X$ , o zaman $A \cdot B$ , $A \cap B'nin$ indirgenemez bileşenlerinin katsayılarla kesişim çokluklarının doğrusal bir birleşimidir . Diğer yandan, eğer, $bir = B$ olmayan tekil altcins, kendini kesişme formül söylüyor $bir \cdot B$ üst temsil edilir Chern sınıfı arasında , normal demeti arasında $A$ içinde $X$ .

Genel durumda, kesişim çokluğunun bir tanımını vermek , André Weil'in 1946 tarihli Cebirsel Geometrinin Temelleri kitabının ana kaygısıydı . BL van der Waerden'in 1920'lerdeki çalışmaları bu soruyu zaten ele almıştı; içinde cebirsel geometrinin İtalyan okul fikirleri iyi bilinen, ancak temel sorular aynı ruhla ele alınmamıştır.

Hareketli döngüler

Kesişen cebirsel döngüler $V$ ve $W'nin$ iyi çalışan bir mekanizması, söz konusu döngülerin yalnızca $V \cap W$ küme-teorik kesişimini almaktan fazlasını gerektirir . Eğer iki çevrim "iyi konumda" ise, o zaman $V$ $\cdot$ $W$ ile gösterilen kesişim çarpımı , iki alt türün küme-teorik kesişiminden oluşmalıdır. Bununla birlikte, döngüler kötü konumda olabilir, örneğin düzlemde iki paralel çizgi veya bir çizgi içeren bir düzlem (3-uzayda kesişen). Her iki durumda da kavşak bir nokta olmalıdır, çünkü yine, bir çevrim hareket ettirilirse, bu kavşak olacaktır. İki döngü kesişme $V$ ve $W$ adlandırılan uygun ise keyfi dik boyutlu (resim-teorik) kesişimi $V$ $\cap$ $B$ arasında dik boyutlu toplamıdır $V$ ve $W$ , yani "beklenen" değeri, sırasıyla,.

Bu nedenle cebirsel çevrimler üzerinde uygun denklik bağıntıları kullanılarak hareketli çevrimler kavramı kullanılmaktadır. Eşdeğerlik, herhangi iki $V$ ve $W$ döngüsü verildiğinde, $V'$ $\cap$ $W'$ kesişimi uygun olacak şekilde eşdeğer $V'$ ve $W'$ döngüleri olacak kadar geniş olmalıdır . Elbette, diğer yandan, ikinci bir eşdeğer $V''$ ve $W'' için$ , $V'$ $\cap$ $W'$ , $V''$ $\cap$ $W''$ ile eşdeğer olmalıdır .

Kesişim teorisinin amaçları için rasyonel eşdeğerlik en önemlisidir. Kısaca, bir $X$ çeşidi üzerindeki iki $r$ -boyutlu döngü, eğer a $($ $r$ $+ 1)$ boyutlu alt değişken $Y$ üzerinde rasyonel bir $f$ fonksiyonu varsa , yani $k$ $($ $Y$ $)$ fonksiyon alanının bir elemanı veya eşdeğer olarak bir $f$ fonksiyonu varsa rasyonel olarak eşdeğerdir $:$ $Y$ $\to$ $P$ $1$ , öyle ki $V$ $-$ $W$ $=$ $f$ $-1$ $(0) -$ $f$ $-1$ $(\infty)$ , burada $f$ $-1$ $(\cdot)$ çokluklarla sayılır. Rasyonel denklik, yukarıda özetlenen ihtiyaçları karşılar.

Kavşak çoklukları

Doğruların ve parabolün kesişimi

Döngülerin kesişim çokluklarının tanımlanmasında yol gösterici ilke bir anlamda sürekliliktir. Aşağıdaki temel örneği ele alalım: parabol kesişimini $y = x 2$ ve bir eksen $y = 0$ olması gerekir $2 \cdot (0, 0)$ , (henüz tanımlanmamış bir anlamda) döngüleri hamle çünkü eğer biri, tam olarak iki vardır döngüler gösterilen konuma yaklaştığında her ikisinin de $(0, 0)'a$ yakınsadığı kesişme noktaları . (Parabol ve $y = -3$ doğrusunun boş görünen kesişimi boş olduğu için resim yanıltıcıdır , çünkü denklemlerin yalnızca gerçek çözümleri tasvir edilmiştir).

Kesişme çokluklarının ilk tam olarak tatmin edici tanımı Serre tarafından verilmiştir : $X$ ortam çeşitliliğinin düzgün olmasına izin verin (veya tüm yerel halkalar düzenli olsun ). Ayrıca $V$ ve $W'nin$ kesişimleri uygun olacak şekilde iki (indirgenemez indirgenmiş kapalı) alt tür olmasına izin verin . Yapı yereldir, bu nedenle çeşitler $X$ koordinat halkasında iki ideal $I$ ve $J$ ile temsil edilebilir . Let $, Z$ grubu-teorik kesişme indirgenemez bileşeni $V$ $\cap$ $W$ ve $z$ de genel noktası . $V$ $\cdot$ $W$ kesişim ürünündeki $Z'nin$ çokluğu şu şekilde tanımlanır:

\mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{uzunluk}}_{{\mathcal {O} }_{X,z}}{\text{Tor}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}^{i}({\mathcal {O}}_{X,z}/ Ben,{\matematiksel {O}}_{X,z}/J),

üzerinde değişen toplam uzunluğu lokal halka üzerinde $X$ içinde $z$ ve burulma alttürlere tekabül eden bir faktör halkaların grupları. Bu ifadeye bazen Serre'nin Tor formülü denir .

Uyarılar:

İlk toplama, uzunluğu

$\left({\mathcal {O}}_{X,z}/I\right)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}\left({\mathcal {O }}_{X,z}/J\sağ)={\matematiksel {O}}_{Z,z}$

çokluğun "naif" tahminidir; ancak, Serre'nin gösterdiği gibi, yeterli değildir.
Düzenli yerel halka sonlu Tor boyutuna sahip olduğundan, toplam sonludur. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}_{X,z}}$
$V$ ve $W'nin$ kesişimi uygun değilse, yukarıdaki çokluk sıfır olacaktır. Eğer uygunsa, kesinlikle olumludur. (Her iki ifade de tanımdan açık değildir).
Bir spektral dizi argümanı kullanılarak, $μ (Z; V, W) = μ (Z; W, V) olduğu gösterilebilir$ .

Chow yüzüğü

Chow halka cebirsel döngüleri grubu modulo olan rasyonel eşdeğerlik aşağıdaki değişmeli birlikte kesişme ürün :

V\cdot W:=\sum _{i}\mu (Z_{i};V,W)Z_{i}

her V ve W, bir araya enine, burada indirgenemez bileşenlerine grubu-teorik kesişme ayrışmasıdır. $V\cap W=\cup _{i}Z_{i}$

Kendi kendine kesişme

İki alt varyete $V$ ve $W$ verildiğinde , $V \cap W$ kesişimleri alınabilir, ancak daha incelikli olmakla birlikte, tek bir alt varyetenin kendi kesişimini tanımlamak da mümkündür .

Örneğin, bir $S$ yüzeyi üzerindeki bir $C$ eğrisi verildiğinde, kendisiyle kesişimi (kümeler olarak) sadece kendisidir: $C$ $\cap$ $C$ $=$ $C$ . Bu açıkça doğrudur, ancak diğer yandan tatmin edici değildir: bir yüzey üzerinde (ortak hiçbir bileşeni olmayan) herhangi iki farklı eğri verildiğinde , bunlar örneğin sayılabilecek bazı noktalarda kesişirler ve bir kesişme numarası elde ederiz. Aynısını belirli bir eğri için yapmak isteyebilir: analoji, farklı eğrileri kesiştirmenin iki sayıyı çarpmaya benzer: $xy$ , kendi kendine kesişme ise tek bir sayının karesini almak gibidir: $x$ $2$ . Biçimsel olarak, analoji simetrik bir çift doğrusal biçim (çarpma) ve ikinci dereceden bir biçim (kare alma) olarak ifade edilir.

Bunun geometrik bir çözümü, $C$ eğrisini kendisiyle değil, kendisinin hafifçe itilmiş bir versiyonuyla kesiştirmektir . Düzlem eğri çeviri bu sadece aracı $C$ bir yönde, fakat, bir eğri alma konusunda genel bir görüşmeler $C '$ olan doğrusal eşdeğer için $C$ ve kesişme sayım $C \cdot C'$ , böylece bir kesişme sayısı elde edilmesi, belirtilen $C \cdot Ç$ . O Not aksine farklı eğriler için $C$ ve $D$ , kesişme gerçek noktalar bunlar bir seçim bağlıdır, çünkü tanımlanmamış $C '$ ki, ama “kendini kesişme noktaları $' C '$ olarak yorumlanabilir $k$ jenerik noktalarda üzerinde $C$ , $k = C \cdot C$ . Daha düzgün, öz kesişme noktası $C$ olduğu jenerik noktası $C$ çokluğu ile alınan $C$ $\cdot$ $C$ .

Alternatif olarak, bu problemi ikili hale getirerek ve $[C] \cup [C]$ sınıfına bakarak cebirsel olarak “çözebilir” (veya motive edebilir) – bu hem bir sayı verir hem de geometrik bir yorum sorusunu gündeme getirir. Kohomoloji sınıflarına geçmenin, bir eğriyi doğrusal bir sistemle değiştirmeye benzer olduğunu unutmayın .

Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, kendi kendine kesişme sayısının negatif olabileceğini unutmayın.

Örnekler

Bir satır göz önünde $L$ olarak yansıtmalı düzlem $P 2$ diğer tüm hatlar kez çapraz çünkü öz kesişim numarası 1: Bir itme $L$ kapalı $L '$ ve $L \cdot L' = 1$ (herhangi bir seçim için) ve $L '$ , dolayısıyla $L \cdot L = 1$ . Kesişme biçimleri açısından, düzlemin $x 2$ türünden birine sahip olduğunu söyleriz (yalnızca bir doğru sınıfı vardır ve hepsi birbiriyle kesişir).

O Not afin düzlemi , bir itme olabilir $L$ kesişme noktalarının sayısı itme kapalı seçimine bağlıdır, böylece (geometrik düşünme), bir paralel çizgiye. Biri “afin düzlemin iyi bir kesişme teorisine sahip olmadığını” söylüyor ve yansıtmalı olmayan çeşitler üzerindeki kesişme teorisi çok daha zor.

Bir ile bir çizgi $P 1 x P 1$ (aynı zamanda tekil olmayan olarak yorumlanabilir kuadratik $Q$ olarak $P 3$ ) kendi kendine bir arakesite $0$ satır başına kapalı hareket edebilir, çünkü. (Bu bir regüle edilmiş yüzeydir .) Kesişme biçimleri açısından, $P 1 \times P 1'in$ $xy$ türünden birine sahip olduğunu söylüyoruz – bir noktada ( $xy$ ) kesişen , ancak kendine sıfır olan iki temel çizgi sınıfı vardır. -kesişim ( $x 2$ veya $y 2$ terim yok).

patlamalar

Kendiliğinden kesişen sayıların önemli bir örneği, çift yönlü geometride merkezi bir işlem olan olağanüstü bir patlama eğrisidir . Bir verilen cebirsel yüzey $S$ , üfleme noktasında bir eğri oluşturur $C$ . Bu $C$ eğrisi , $0$ olan cinsi ve $-1$ olan kendi kesişme sayısı ile tanınabilir . (Bu belirgin değildir.) Not bir sonucu olarak, bu $p 2$ ve $P 1 x P 1$ olan minimal yüzeyler negatif kendini kesişme herhangi eğrileri olmadığı için, (bunlar-up darbe değildir). Aslında, Castelnuovo sitesindeki büzülme teoremi tersini belirtir: Her $(1)$ -curve (bu ‘istim boşaltma’ olabilir) bir darbe makyaj olağanüstü bir eğridir.

Ayrıca bakınız

alıntılar

Referanslar

Gathman, Andreas, Cebirsel Geometri , orijinalinden 2016-05-21 tarihinde arşivlendi , alındı 2018-05-11
Tian, Yichao, Kavşak Teorisinde Ders Notları (PDF)

bibliyografya

Eisenbud, David; Harris, Joe (2016). 3264 ve Hepsi: Cebirsel Geometride İkinci Bir Kurs . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-1-107-01708-5.
Fulton, William (1998), Kesişme teorisi , Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete . 3. Folge. Matematikte Bir Dizi Modern Araştırma [Matematik ve İlgili Alanlarda Sonuçlar. 3. Seri. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 2 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, ISBN 978-0-387-98549-7 MR 1644323
Fulton, William; Serge, Lang, Riemann-Roch Cebiri , ISBN 978-1-4419-3073-6
Serre, Jean-Pierre (1965), Algèbre yerel ayarı. Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957-1958, Pierre Gabriel'in adı. İkinci basım, 1965. Matematik Ders Notları, 11 , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0201468

Languages

In other projects