Krychlový povrch - Cubic surface

V matematice je kubický povrch povrchem v trojrozměrném prostoru definovaném jednou polynomickou rovnicí stupně 3. Kubické povrchy jsou základními příklady v algebraické geometrii . Teorie je zjednodušena prací v projektivním prostoru spíše než v afinním prostoru , a tak jsou krychlové povrchy obecně uvažovány v projektivním 3-prostoru . Teorie se také stává jednotnější zaměřením se na povrchy nad komplexními čísly než na reálná čísla ; všimněte si, že složitý povrch má skutečný rozměr 4. Jednoduchým příkladem je kubický povrch Fermat${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

${\ Displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3} = 0}$

v . Mnoho vlastností krychlových povrchů platí obecněji pro del Pezzo povrchy . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Racionalita kubických povrchů

Ústředním rysem hladkých kubických povrchů X nad algebraicky uzavřeným polem je, že jsou všechny racionální , jak ukázal Alfred Clebsch v roce 1866. To znamená, že mezi projektivní rovinou minus a existuje korespondence jedna k jedné definovaná racionálními funkcemi. nižší dimenzionální podmnožina a X mínus nižší dimenzionální podmnožina. Obecněji řečeno, každá neredukovatelná krychlová plocha (možná singulární) nad algebraicky uzavřeným polem je racionální, pokud nejde o projektivní kužel nad krychlovou křivkou. V tomto ohledu jsou kubické povrchy mnohem jednodušší než hladké povrchy se stupněm alespoň 4 palce , které nikdy nejsou racionální. V charakteristické nule nejsou hladké povrchy se stupněm nejméně 4 palce ani neřízené . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Silněji, Clebsch ukázal, že každý hladký krychlový povrch přes algebraicky uzavřené pole je isomorphic k ráně-up of na 6 bodů. Výsledkem je, že každý hladký kubický povrch přes komplexní čísla je odlišný od připojeného součtu , kde znaménko minus odkazuje na změnu orientace . Naopak vyhození v 6 bodech je izomorfní na krychlový povrch právě tehdy, když jsou body v obecné poloze, což znamená, že žádné tři body neleží na přímce a všech 6 neleží na kuželu . Jako komplexní potrubí (nebo algebraická odrůda ) závisí povrch na uspořádání těchto 6 bodů. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {CP} ^{2} \#6 (-\ mathbf {CP} ^{2})}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$

27 řádků na krychlové ploše

Většina důkazů racionality pro krychlové povrchy začíná nalezením čáry na povrchu. (V kontextu projektivní geometrie je čára v izomorfní .) Přesněji Arthur Cayley a George Salmon v roce 1849 ukázali, že každý hladký kubický povrch nad algebraicky uzavřeným polem obsahuje přesně 27 čar. Toto je charakteristický rys krychlových: hladký kvadrický (stupeň 2) povrch je pokryt souvislou rodinou čar, zatímco většina povrchů stupně alespoň 4 palce neobsahuje žádné čáry. Další užitečná technika pro nalezení 27 řádků zahrnuje Schubertův kalkul, který vypočítá počet řádků pomocí teorie průniku Grassmannova řádku na . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Jak se mění koeficienty hladkého komplexního krychlového povrchu, pohybuje se 27 linek nepřetržitě. Výsledkem je, že uzavřená smyčka v rodině hladkých kubických povrchů určuje permutaci 27 řádků. Skupina permutací z 27 linií vzniklých tímto způsobem se nazývá monodromy skupina rodiny kubických ploch. Pozoruhodným objevem 19. století bylo, že monodromní skupina není ani triviální, ani celá symetrická skupina ; je to skupina řádu 51840 , působící přechodně na množinu čar. Tato skupina byla postupně rozpoznána ( Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) a Patrick du Val (1936)) jako Weylova skupina typu , skupina generovaná odrazy na 6-dimenzionálním reálném vektorovém prostoru, související se Lieovou skupinou dimenze 78. ${\ displaystyle S_ {27}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Stejná skupina řádu 51840 může být popsán v kombinačních podmínek, jako automorphism skupina na grafu z 27 linií, s vrcholem pro každý řádek a okraj, když dva řádky setkat. Tento graf byl analyzován v 19. století pomocí subgrafů, jako je Schläfliho konfigurace dvojitých šesti . Doplňkový graf (s hranou vždy, když jsou dva řádky disjunktní) je známý jako Schläfliho graf .

Mnoho problémů s kubickými povrchy lze vyřešit pomocí kombinatoriky kořenového systému . Například 27 řádků lze ztotožnit s váhami základní reprezentace skupiny Lie . Možné sady singularit, které se mohou vyskytovat na krychlovém povrchu, lze popsat pomocí subsystémů kořenového systému. Jedním z vysvětlení tohoto spojení je, že mříž vzniká jako ortogonální doplněk antikanonické třídy ve skupině Picardů s její průsečíkovou formou (pocházející z teorie průniku křivek na povrchu). Pro hladký komplexní krychlový povrch lze Picardovu mřížku také identifikovat se skupinou cohomologie . ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^{7}}$${\ Displaystyle H^{2} (X, \ mathbf {Z})}$

Eckardt bod je bod, ve kterém 3 z 27 linek setkat. Většina kubických povrchů nemá Eckardtův bod, ale takové body se vyskytují na kodimenzionální -1 podmnožině rodiny všech hladkých kubických povrchů.

Vzhledem k identifikaci mezi krychlovým povrchem na X a vyhozením v 6 bodech v obecné poloze lze 27 čar na X považovat za: 6 výjimečných křivek vytvořených vyfukováním, birational transformace 15 linií přes páry 6 bodů v , a birational transformace 6 kužely obsahující všechny kromě jednoho ze 6 bodů. Na daný kubický povrch lze pohlížet jako na vyhození více než jedním způsobem (ve skutečnosti 72 různými způsoby), a tak popis jako nafukování neodhalí symetrii mezi všemi 27 řádky. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$

Vztah mezi kubickými povrchy a kořenovým systémem zobecňuje na vztah mezi všemi del Pezzo povrchy a kořenovými systémy. Toto je jedna z mnoha klasifikací ADE v matematice. Na základě těchto analogií poskytly Věra Serganova a Alexej Skorobogatov přímý geometrický vztah mezi kubickými povrchy a Lieovou skupinou . ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Ve fyzice lze 27 linií identifikovat s 27 možnými náboji M-teorie na šestidimenzionálním torusu (6 momentů; 15 membrán ; 6 pětibranů ) a skupina E ₆ pak přirozeně funguje jako skupina U-duality . Tato mapa mezi del Pezzo povrchy a M-teorie na tori je známá jako tajemná dualita .

Speciální krychlové povrchy

Hladký komplexní krychlový povrch s největší skupinou automorfismu je krychlový povrch Fermat, definovaný ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

${\ Displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3} = 0.}$

Jeho skupina automorfismu je rozšířením řádu 648. ${\ displaystyle 3^{3}: S_ {4}}$

Další nejsymetrickější hladkou krychlovou plochou je Clebschova plocha , kterou lze definovat dvěma rovnicemi ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{4}}$

${\ displaystyle x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}+x_ {3}+x_ {4} = x_ {0}^{3}+x_ {1}^{3}+x_ {2} ^{3}+x_ {3}^{3}+x_ {4}^{3} = 0.}$

Jeho skupina automorfismu je symetrická skupina řádu 120. Po komplexní lineární změně souřadnic lze Clebschovu plochu definovat také rovnicí ${\ displaystyle S_ {5}}$

${\ Displaystyle x^{2} y+y^{2} z+z^{2} w+w^{2} x = 0}$

v . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Mezi singulárními komplexními kubickými povrchy je Cayleyův uzlový kubický povrch jedinečným povrchem s maximálním počtem uzlů , 4:

${\ Displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx = 0.}$

Jeho skupina automorfismu je řádově 24. ${\ displaystyle S_ {4}}$

Skutečné krychlové povrchy

Na rozdíl od složitého případu není prostor hladkých krychlových ploch nad reálnými čísly spojen v klasické topologii (na základě topologie R ). Jeho spojené součásti (jinými slovy klasifikace hladkých skutečných kubických povrchů až do izotopie ) určili Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) a HG Zeuthen (1875). Jmenovitě existuje 5 tříd izotopů hladkých skutečných krychlových ploch X v , odlišených topologií prostoru reálných bodů . Prostor skutečných bodů je odlišný od obou , nebo od disjunktního spojení 2sféry, kde označuje spojený součet r kopií skutečné projektivní roviny . Odpovídajícím způsobem je počet reálných řádků obsažených v X 27, 15, 7, 3 nebo 3. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {R})}$${\ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^{2}}$

Hladký skutečný kubický povrch je racionální vůči R právě tehdy, pokud je jeho prostor skutečných bodů spojen, tedy v prvních čtyřech z předchozích pěti případů.

Průměrný počet reálných čar na X je, když je definující polynom pro X náhodně odebrán z Gaussova souboru indukovaného Bombieriho vnitřním produktem . ${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}}-3}$

Modulový prostor krychlových ploch

Dva hladké kubické povrchy jsou izomorfní jako algebraické odrůdy právě tehdy, jsou -li ekvivalentní nějakým lineárním automorfismem . Geometrická invariantní teorie dává modulům prostor krychlových ploch s jedním bodem pro každou třídu izomorfismu hladkých kubických povrchů. Tento modulový prostor má rozměr 4. Přesněji je to otevřená podmnožina váženého projektivního prostoru P (12345) od Salmona a Clebsche (1860). Zejména je to racionální 4násobek. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Kužel křivek

Čáry na krychlové ploše X přes algebraicky uzavřené pole lze popsat vnitřně, bez odkazu na vložení X do : jsou to přesně (-1) křivky na X , což znamená, že křivky jsou izomorfní a mají vlastní průnik- 1. Také třídy čar v Picardově mřížce X (nebo ekvivalentně skupina tříd dělitelů ) jsou přesně prvky u Pic ( X ) takové, že a . (Toto použití, že omezení nadrovina linky svazku O (1), na k X je anticanonical linie svazek , u adjunkce vzorce ). ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$${\ displaystyle u^{2} =-1}$${\ displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$

Pro každý projektivní variety X je kužel křivky znamená, že konvexní kužel rozložený všech křivek v X (v reálném vektorového prostoru 1-cyklů modulo numerickou rovnocennost, nebo ve skupině homologie , pokud je pole báze je komplexní čísla). Pro krychlový povrch je kužel křivek překlenut 27 čarami. Zejména je to racionální polyedrický kužel s velkou skupinou symetrie, Weylovou skupinou . Podobný popis kužele křivek existuje pro jakýkoli povrch del Pezzo. ${\ displaystyle N_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbf {R})}$${\ Displaystyle N_ {1} (X) \ cong \ mathbf {R} ^{7}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Kubické povrchy nad polem

Hladký krychlový povrch X nad polem k, který není algebraicky uzavřený, nemusí být racionální nad k . V extrémním případě existují hladké kubické povrchy nad racionálními čísly Q (nebo p-adickými čísly ) bez racionálních bodů , v takovém případě X rozhodně není racionální. Pokud X ( k ) je neprázdné, pak je X přinejmenším iracionální nad k , Beniamino Segre a János Kollár . Pro K nekonečný, unirationality znamená, že množina k- -rational bodů Zariski hustá v X . ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {p}}$

Absolutní Galois skupina z k permutuje 27 linie X přes algebraické uzavření části k (prostřednictvím nějakého podskupiny skupiny Weyl, z ). Pokud se nějaká oběžná dráha této akce skládá z disjunktních přímek, pak X je vyhození „jednodušší“ del Pezzo plochy přes k v uzavřeném bodě. Jinak má X Picardovo číslo 1. (Picardova skupina X je podskupina geometrické Picardovy skupiny .) V druhém případě Segre ukázal, že X není nikdy racionální. Silněji, Yuri Manin se ukázal jako birational prohlášení tuhosti: dva hladké kubické povrchy Picard číslo 1 přes perfektní pole k jsou birational tehdy a jen tehdy, jsou izomorfní. Tyto výsledky například poskytují mnoho kubických povrchů nad Q, které jsou iracionální, ale ne racionální. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X _ {\ overline {k}}) \ cong \ mathbf {Z} ^{7}}$

Jedinečné kubické povrchy

Na rozdíl od hladkých kubických povrchů, které obsahují 27 řádků, singulární kubické povrchy obsahují méně čar. Navíc je lze klasifikovat podle typu singularity, která vzniká v jejich normální formě. Tyto singularity jsou klasifikovány pomocí Dynkinových diagramů .

Klasifikace

Normální singulární krychlový povrch v místních souřadnic se říká, že je v normální formě , je-li dán . V závislosti na typu singularity, která obsahuje, je izomorfní k projektivnímu povrchu podle toho, kde jsou stejné jako v níže uvedené tabulce. To znamená, že můžeme získat klasifikaci všech singulárních kubických povrchů. Parametry následující tabulky jsou následující: jsou tři odlišné prvky , parametry jsou a jsou prvkem . Všimněte si, že existují dva různé singulární krychlové povrchy se singularitou . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {\ mathbb {C}}^{3}}$${\ displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}]}$${\ Displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})-f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}}^{3}}$${\ Displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})-f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle f_ {2}, f_ {3}}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle d, e}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1 \}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle D_ {4}}$

Klasifikace singulárních kubických povrchů podle typu singularity

Jedinečnost	${\ displaystyle f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$	${\ displaystyle f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -ax_ {1}) (-x_ {0}+(b+1) x_ {1} -bx_ {2}) (x_ {1} -cx_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ Displaystyle (x_ {0} -2x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {1}) (x_ {1} -bx_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ Displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0}-(a+1) x_ {1}+ax_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} (x_ {0}-(a+1) x_ {1}+ax_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -2x_ {1}+x_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{2} (x_ {0} -x_ {2})}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {2}) x_ {1}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2} x_ {1}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}^{2}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}) (dx_ {0}+ex_ {1}+dex_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {1}+x_ {2}) (-x_ {1}+dx_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -ux_ {1})}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {0}^{2} x_ {2}+x_ {1}^{3} -x_ {1} x_ {2}^{2}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ Displaystyle x_ {0}^{3}+x_ {1}^{3} -x_ {1} x_ {2}^{2}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}+x_ {2}^{3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}+x_ {2}^{3}+x_ {0} x_ {1} x_ {2}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2}^{2}+x_ {1}^{2} x_ {2}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2}^{2}+x_ {1}^{3}}$
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle x_ {1}^{2} x_ {2} -x_ {0} (x_ {0} -x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {2})}$

V normální formě, kdykoli krychlový povrch obsahuje alespoň jednu singularitu, bude mít singularitu at . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ Displaystyle [0: 0: 0: 1]}$

Čáry na singulárních kubických plochách

Podle klasifikace singulárních krychlových ploch následující tabulka ukazuje počet řádků, které každá plocha obsahuje.

Čáry na singulárních kubických plochách

Jedinečnost	${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle D_ {4}}$	${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$
Počet řádků	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\ displaystyle \ infty}$

Skupiny automorfismu singulárních krychlových ploch bez parametrů

Automorphism normální singulární krychlový povrch je omezení z automorfismus o projektivní prostoru do . Takové automorfismy zachovávají singulární body. Navíc nepropouštějí singularity různých typů. Pokud povrch obsahuje dvě singularity stejného typu, může je automorfismus permutovat. Sbírka automorfismů na krychlové ploše tvoří skupinu , takzvanou skupinu automorfismu . Následující tabulka ukazuje všechny skupiny automorfismu singulárních krychlových ploch bez parametrů. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ textbf {P}}^{3}}$${\ displaystyle X}$

Skupiny automorfismu singulárních krychlových ploch bez parametrů

Jedinečnost	Automorphism skupina ${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {4}}$, symetrická skupina řádu${\ displaystyle 4!}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^{\ times}}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ Displaystyle (\ mathbb {C})^{2} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ Displaystyle (\ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {Z} /3 \ mathbb {Z}) \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^{\ times}}$

Viz také

• Algebraický povrch
• Klasifikace Enriques – Kodaira
• Odrůda Fano
• Schubertův kalkul

Poznámky

Reference

• Bruce, JW; Wall, CTC (1979), „O klasifikaci krychlových povrchů“, Journal of the London Mathematical Society , 19 (2): 245–256, doi : 10,1112/jlms/s2-19.2.245 , ISSN  0024-6107 , MR  0533323
• Cayley, Arthur (1849), „O trojitých tečných plochách povrchů třetího řádu“ , Cambridge a Dublin Math. J. , 4 : 118–138
• Cayley, Arthur (1869), „Monografie na krychlových plochách“, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Society, 159 : 231–326, doi : 10,1098/rstl.1869.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108997
• Degtyarev, AI; Kharlamov, VM (2000), „Topologické vlastnosti skutečných algebraických odrůd: Rokhlinova cesta.“, Russian Mathematical Surveys , 55 (4): 735–814, arXiv : math/0004134 , doi : 10,1070/RM2000v055n04ABEH000315 , MR  1786731
• Dolgachev, Igor (2012), Classical algebraic geometry: a modern view , Cambridge University Press , doi : 10,1017/CBO9781139084437 , ISBN 9781139084437, MR  2964027
• Robin Hartshorne (1997) [1977]. Algebraická geometrie . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157 .
• Henderson, Archibald (2015) [1911], Dvacet sedm řádků na krychlové ploše , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Holzer, Stephan; Labs, Oliver (2006), „Ilustrující klasifikaci skutečných kubických povrchů“ (PDF) , Algebraická geometrie a geometrické modelování , Springer, s. 119–134, MR  2279847
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], „Cubic hypersurface“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kollár, János ; Smith, Karen E .; Corti, Alessio (2004), Racionální a téměř racionální odrůdy , Cambridge University Press , doi : 10,1017/CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, MR  2062787 , S2CID  117569533
• Manin, Yuri Ivanovich (1986), Cubic forms , North-Holland Mathematical Library, 4 (2nd ed.), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6, MR  0833513
• Reid, Miles (1988). Vysokoškolská algebraická geometrie . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-35662-6. MR  0982494 .
• Schläfli, Ludwig (1863), „O distribuci povrchů třetího řádu do druhů, s odkazem na nepřítomnost nebo přítomnost singulárních bodů a realitu jejich linií“, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Společnost, 153 : 193–241, doi : 10,1098/rstl.1863.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108795
• Segre, Beniamino (1942), Non-singular cubic povrchy , Oxford University Press , MR  0008171
• Serganová, Věra ; Skorobogatov, Alexej (2007), „Del Pezzo povrchy a teorie reprezentace“, Algebra a teorie čísel , 1 (4): 393–419, doi : 10,2140/ant.2007.1.393 , MR  2368955
• Silhol, Robert (1989), Real algebraické povrchy , Přednášky z matematiky, 1392 , Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0088815 , ISBN 3-540-51563-1, MR  1015720

externí odkazy

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Cubic surface“ , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews
• Lines on a Cubic Surface od Ryana Hobana (The Experimental Geometry Lab at the University of Maryland), based on work of William Goldman, The Wolfram Demonstrations Project .
• Cubic Povrchy DVD (54 animace kubických ploch, lze stáhnout samostatně nebo jako DVD)