ADE sınıflandırması - ADE classification

In matematik , ADE sınıflandırma (aslen ADE sınıflandırmalar ) nesnelerin belirli türdeki uygunluk durumunda bir durumdur basitçe bağcıklı Dynkin diyagramları . Paralelliğin a posteriori doğrulanması yerine bu sınıflandırmalara ortak bir köken verme sorunu ortaya atıldı ( Arnold 1976 ). Basitçe bağlanmış Dynkin diyagramlarının tam listesi şunları içerir:

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}.}$

Burada "basit bir şekilde bağcıklı", kök sistemindeki tüm basit köklere karşılık gelen ve (köşeler arasında kenar yok) veya (köşeler arasında tek kenar ) açıları oluşturan çoklu kenarlar olmadığı anlamına gelir . Bunlar, Dynkin diyagramlarının dört ailesinden ikisi (atlama ve ) ve beş istisnai Dynkin diyagramından üçü (atlama ve ). ${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$${\ Displaystyle B_{n}}$${\ Displaystyle C_{n}}$${\ Displaystyle F_{4}}$${\ Displaystyle G_{2}}$

Biri sürerse bu liste dışı gereksiz olduğu için bir gereksiz terimleri içerecek şekilde ailelere uzanıyorsa biri alır, istisnai izomorfizmler${\displaystyle n\geq 4}$${\görüntüleme stili D_{n}.}$

${\displaystyle D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},}$

ve sınıflandırılmış nesnelerin karşılık gelen izomorfizmleri.

Bir , D , E terminolojisi ayrıca basit görüşlü verir sonlu Coxeter- grupları herhangi bir sayıda kenarlar gibi Dynkin, Coxeter- diyagramları ile tam olarak çakışır diyagramları, bu durumda: Aynı diyagramları ile.

yalan cebirleri

Karmaşık yarı basit Lie cebirleri açısından:

• ${\ Displaystyle A_{n}}$karşılık gelir , özel lineer Lie cebir arasında Traceless operatörleri${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),}$
• ${\görüntüleme stili D_{n}}$çift ​​boyutlu eğri simetrik operatörlerin bile özel ortogonal Lie cebirine karşılık gelir ve${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$ beş istisnai Lie cebirinden üçü.

Açısından kompakt Lie cebirleri ve ilgili sadece bağcıklı Lie gruplarına :

• ${\ Displaystyle A_{n}}$özel üniter grubun cebirine karşılık gelir${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ ${\displaystyle SU(n+1);}$
• ${\görüntüleme stili D_{n}}$hatta projektif özel ortogonal grubun cebirine karşılık gelirken${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$ ${\görüntüleme stili PSO(2n)}$
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$beş istisnai kompakt Lie cebirinden üçüdür .

İkili çokyüzlü gruplar

Aynı sınıflandırma , ikili çokyüzlü grupların ayrık alt grupları için de geçerlidir ; doğru bir şekilde, ikili çokyüzlü gruplar basit bağcıklı afin Dynkin diyagramlarına karşılık gelir ve bu grupların temsilleri bu diyagramlar açısından anlaşılabilir. Bu bağlantı olarak bilinir${\görüntüleme stili SU(2)}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k},}$ John McKay'densonra McKay yazışmaları . Platonik katılarabağlantı(Dickson 1959)'de anlatılmıştır. Yazışma,McKay grafiğininyapısını kullanır.

ADE denkliğinin , Platonik katıların simetrilerinin yansıma grubuna denkliği olmadığına dikkat edin : örneğin, ADE denkliğinde tetrahedron , küp / oktahedron ve dodekahedron / ikosahedron karşılık gelirken tetrahedron, küp/oktahedron yansıma grupları , ve dodecahedron/icosahedron bunun yerine Coxeter gruplarının temsilleridir ve${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},}$ ${\ Displaystyle A_{3},BC_{3},}$${\görüntüleme stili H_{3}.}$

Orbifold ait kökenli bir ADE tipi tekillik her bir ayrı alt grup potansiyel kullanılarak imal edilmiş olarak adlandırılan du Val tekilliği . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

McKay yazışmaları, bir çift ikili çokyüzlü grup kullanılarak bağcıklı Dynkin diyagramlarını çoğaltmak için genişletilebilir . Bu, Peter Slodowy'nin adını taşıyan Slodowy yazışması olarak bilinir – bkz. ( Stekolshchik 2008 ).

etiketli grafikler

ADE grafikleri ve genişletilmiş (afin) ADE grafikleri, ayrı Laplace operatörleri veya Cartan matrisleri cinsinden ifade edilebilen belirli özelliklere sahip etiketleme açısından da karakterize edilebilir . Cartan matrisleri açısından kanıtlar bulunabilir ( Kac 1990 , s. 47–54).

Afin ADE grafikleri, aşağıdaki özelliğe sahip bir pozitif etiketlemeyi (pozitif gerçek sayılarla düğümlerin etiketlenmesi) kabul eden tek grafiklerdir:

Herhangi bir etiketin iki katı, bitişik köşelerdeki etiketlerin toplamıdır.

Yani, ayrı Laplacian (komşu köşelerin toplamı eksi tepe değeri) için özdeğeri 1 olan tek pozitif fonksiyonlardır – homojen denklemin pozitif çözümleri:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi .\ }$

Eşdeğer olarak, çekirdeğindeki pozitif fonksiyonlar Ortaya çıkan numaralandırma ölçeğe kadar benzersizdir ve en küçük sayı 1 olacak şekilde normalleştirilirse, grafiğe bağlı olarak 1'den 6'ya kadar küçük tam sayılardan oluşur. ${\görüntüleme stili \Delta -I.}$

Sıradan ADE grafikleri, aşağıdaki özelliğe sahip bir pozitif etiketlemeyi kabul eden tek grafiklerdir:

Herhangi bir etiketin iki katı eksi iki, bitişik köşelerdeki etiketlerin toplamıdır.

Laplacian açısından, homojen olmayan denklemin pozitif çözümleri:

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2.\ }$

Ortaya çıkan numaralandırma benzersizdir (ölçek "2" ile belirtilir) ve tam sayılardan oluşur; E _{8 için} bunlar 58 ile 270 arasında değişir ve daha erken bir tarihte gözlemlenmiştir ( Bourbaki 1968 ).

Diğer sınıflandırmalar

İlköğretim felaketler de ADE sınıflandırmasına göre sınıflandırılır.

ADE diyagramları, Gabriel'in teoremi aracılığıyla , tam olarak sonlu tipteki titremelerdir .

İle bir bağlantı vardır genelleştirilmiş dörtgenlerin üç olağanüstü kök sistemleri için her satır tekabül üç noktası olan, üç dejenere olmayan GQs olarak, E ₆ , E ₇ ve e ₈ . A ve D sınıfları , satır kümesinin boş olduğu veya sırasıyla sabit bir noktadan geçen tüm satırlara sahip olduğumuz dejenere durumlara karşılık gelir.

Bu nesneler arasında, sınıflandırmanın ima ettiği derin bağlantılar vardır; bu bağlantılardan bazıları sicim teorisi ve kuantum mekaniği yoluyla anlaşılabilir .

Küçük damlacık kümelerinin simetrilerinin bir ADE sınıflandırmasına tabi olabileceği öne sürülmüştür .

Minimal modeller arasında iki boyutlu konformal alan teorisinin bir ADE sınıflandırma var.

Üniter ayar grupları ile dört boyutlu süperkonformal ayar titreme teorileri bir ADE sınıflandırmasına sahiptir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}=2}$

üçlemeler

Arnold daha sonra "matematiksel üçlüler" başlığı altında bu damarda birçok başka bağlantı önerdi ve McKay yazışmalarını paralel ve bazen örtüşen çizgiler boyunca genişletti. Arnold bu " üçlemeleri " dini uyandırmak için adlandırıyor ve (şu anda) bu paralelliklerin kesin kanıtlardan çok inanca dayandığını, ancak bazı paralellikler ayrıntılı olarak ele alındığını öne sürüyor. Diğer yazarlar tarafından başka üçlüler önerilmiştir. Arnold'un üçlemeleri , herkesin bildiğini belirttiği R / C / H (gerçek sayılar, karmaşık sayılar ve kuaterniyonlar) ile başlar ve diğer üçlemeleri klasik (gerçek) matematiğin "karmaşıklaştırmaları" ve "dörtlüleştirmeleri" olarak hayal etmeye devam eder. 1970'lerde daha önce önerdiği klasik Riemann geometrisinin simplektik analoglarını bulmaya benzeterek. Diferansiyel topolojiden ( karakteristik sınıflar gibi) örneklere ek olarak , Arnold üç Platonik simetriyi (tetrahedral, oktahedral, ikosahedral) gerçeklere, komplekslere ve kuaterniyonlara karşılık gelir ve daha sonra McKay'in daha cebirsel karşılıklarıyla bağlantı kurar.

McKay'in yazışmalarını tarif etmek daha kolay. İlk olarak, genişletilmiş Dynkin diyagramları (dört yüzlü, oktahedral ve ikosahedral simetriye karşılık gelir) sırasıyla simetri gruplarına sahiptir ve ilişkili kıvrımlar diyagramlardır (daha az dikkatli yazımda, genişletilmiş (tilde) niteleyicisinin genellikle ihmal edildiğine dikkat edin). Daha da önemlisi, McKay, diyagramın düğümleri ile canavar grubunun belirli eşlenik sınıfları arasında, McKay'in E ₈ gözlemi olarak bilinen bir yazışma önerir ; ayrıca bkz . canavarca moonshine . McKay ayrıca 2. B'deki eşlenik sınıflarıyla ( bebek canavar grubunun 2. sıra uzantısı ) ve düğümleri 3.'deki eşlenik sınıflarıyla ilişkilendirir. Fi ₂₄ ' ( Fischer grubunun 3. sıra uzantısı ) – not bunların en büyük üç sporadik grup olduğu ve genişlemenin sırasının diyagramın simetrilerine karşılık geldiği. ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}$${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1},}$${\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$

Küçük olanlar büyük, basit gruplarından dönerek, karşılık gelen Pluronic grupları ile bağlantısı olan yansıtmalı özel lineer gruplar PSL (2,5), PSL (2,7) ve PSL (2,11) (siparişler 60, 168, ve 660 ), bir "McKay yazışması" olarak kabul edilir. Bu gruplar p için tek (basit) değerlerdir, öyle ki PSL(2, p ) p noktalarında önemsiz bir şekilde hareket eder , bu 1830'larda Évariste Galois'e kadar uzanan bir gerçektir . Aslında gruplar, kümelerin çarpımı olarak (grupların çarpımı olarak değil) şu şekilde ayrışırlar: ve Bu gruplar da 1870'lerde Felix Klein'a tarihlenen çeşitli geometrilerle ilgilidir ; bkz. ikosahedral simetri: tarihsel tartışma için ilgili geometriler ve daha yakın tarihli açıklamalar için ( Kostant 1995 ). p noktalarındaki hareketin görülebildiği ilişkili geometriler ( Riemann yüzeylerindeki döşemeler ) aşağıdaki gibidir: PSL(2,5), 5 elemanlı bir set olarak beş tetrahedranın bileşiği ile ikosahedron (cins 0) simetrileridir. , 7 elemanlı bir set olarak gömülü (tamamlayıcı) bir Fano düzlemine sahip Klein kuartiğinin (cins 3) PSL(2,7) (2. sıra çift düzlemli ) ve PSL(2,11)${\displaystyle A_{4},S_{4},A_{5}}$${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7},}$${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$11 elemanlı bir set olarakgömülüPaley çift kanatlı buckminsterfullerene yüzeyi (cins 70)(sipariş 3çift ​​kanatlı). Bunlardan, ikosahedron antik çağa, Klein kuartiği 1870'lerde Klein'a ve buckyball yüzeyi 2008'de Pablo Martin ve David Singerman'a kadar uzanır.

Algebro-geometrik McKay zamanda E ilişkilendiren ₆ , E ₇ , E ₈ sırasıyla: bir küp yüzeyinde 27 hatları , 28 düzlemsel bir quartic eğrisinin bitangents ve cinsine 4'de bir kanonik sextic eğrisinin 120 tritangent düzlemleri Bunlardan ilki iyi bilinir, ikincisi ise şu şekilde bağlantılıdır: Kübik'i bir çizgi üzerinde olmayan herhangi bir noktadan yansıtmak, 27 çizginin 28 çizginin 27'sine eşlendiği, kuartik bir eğri boyunca dallanmış düzlemin çift kaplamasını verir. bitangents ve 28. satır, patlamanın istisnai eğrisinin görüntüsüdür . Not bu temel temsiller E ₆ , E ₇ , E ₈ boyutları 56, 27 sahiptir (28 · 2) ve 248 (120 + 128), kök sayısı 27 + 45 = 72, 56 + 70 = 126 iken , ve 112+128 = 240. Bu aynı zamanda E _8,7,6'yı Sporadik basit grupların en büyük üçü olan Monster, Baby ve Fischer 24' ile ilişkilendirme şemasına da uymalıdır , cf. Canavar Ay Işığı .

Ayrıca bakınız

• eliptik yüzey

Referanslar

Kaynaklar

Dış bağlantılar

• John Baez , Matematiksel Fizikte Bu Haftanın bulur : Hafta 62 , Hafta 63 , Hafta 64 , Week 65 , 28 Ağustos 1995, 3 Ekim 1995, ve içinden Hafta 230 , 4 Mayıs 2006
• McKay Yazışmaları , Tony Smith
• ADE sınıflandırması, McKay yazışmaları ve sicim teorisi , Luboš Motl , The Reference Frame , 7 Mayıs 2006