Kuutiopinta - Cubic surface

On matematiikka , joka on kuutio pinta on pinta 3-ulotteinen avaruus on määritelty yksi polynomi yhtälö aste 3. kuutiometri pinnat ovat perustavanlaatuisia esimerkkejä algebrallinen geometria . Teoriaa yksinkertaistaa työskentely projektiivisessa tilassa eikä affiniteettitilassa , joten kuutiopinnat otetaan yleensä huomioon projektiivisessa 3-avaruudessa . Teoria muuttuu myös yhtenäisemmäksi keskittymällä pintoihin kompleksilukujen sijaan todellisten lukujen sijasta ; Huomaa, että monimutkaisella pinnalla on todellinen ulottuvuus 4. Yksinkertainen esimerkki on Fermat -kuutiopinta${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

${\ displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3} = 0}$

sisään . Monet kuutiopintojen ominaisuudet koskevat yleisemmin del Pezzo -pintoja . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Kuutiopintojen järkevyys

Keskeinen piirre sileä kuutiometriä pintojen X yli algebrallisesti suljettu kunta on, että ne ovat kaikki järkevä , kuten on esitetty Alfred Clebsch vuonna 1866. Toisin sanoen, on olemassa yksi-yhteen vastaavuus määritellään järkevä toimintoja välillä projektiiviselle tason miinus alemman ulottuvuuden osajoukko ja X miinus alempiulotteinen osajoukko. Yleisemmin sanottuna jokainen redusoitumaton kuutiopinta (mahdollisesti yksikkö) algebrallisesti suljetun kentän päällä on järkevä, ellei se ole projektiivinen kartio kuutiokäyrän yli. Tässä suhteessa kuutiopinnat ovat paljon yksinkertaisempia kuin sileät, vähintään 4 tuuman pinnat , jotka eivät ole koskaan järkeviä. On ominaisuus nolla, sileisiin pintoihin aste vähintään 4 ei edes uniruled . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Voimakkaammin, Clebsch osoitti, että jokainen sileä kuutiometriä pinnan yli algebrallisesti suljettu kenttä on isomorfinen blow-up of 6 pistettä. Seurauksena, joka sileä kuutiometriä pinta yli kompleksiluvut on diffeomorfiset on kytketty summa , missä miinus-merkki tarkoittaa muutosta suunta . Päinvastoin, kuuden pisteen räjäytys on isomorfinen kuutiopintaan nähden ja vain, jos pisteet ovat yleisessä asennossa, mikä tarkoittaa, että kolme pistettä ei ole suoralla ja kaikki 6 eivät ole kartiolla . Koska kompleksin jakoputken (tai algebrallinen lajike ), pinta riippuu järjestely näiden 6 pistettä. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^{2} \#6 (-\ mathbf {CP} ^{2})}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$

27 viivaa kuutiopinnalla

Useimmat todisteet kuutiopintojen järkevyydestä alkavat löytämällä pinnan viivan. (Projektiivisen geometrian yhteydessä viiva on isomorfinen .) Tarkemmin sanottuna Arthur Cayley ja George Salmon osoittivat vuonna 1849, että jokainen sileä kuutiopinta algebrallisesti suljetun kentän päällä sisältää täsmälleen 27 viivaa. Tämä on kuutioiden erottuva piirre: sileä nelikulmainen (asteen 2) pinta on peitetty jatkuvalla viivaperheellä, kun taas useimmat vähintään 4 asteen pinnat eivät sisällä viivoja. Toinen hyödyllinen tekniikka 27 viivan löytämiseksi sisältää Schubertin laskennan, joka laskee rivien määrän käyttämällä Grassmannin linjojen leikkausteoriaa . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Koska sileän, monimutkaisen kuutiopinnan kertoimet vaihtelevat, 27 viivaa liikkuvat jatkuvasti. Tämän seurauksena sileiden kuutiopintojen perheen suljettu silmukka määrittää 27 rivin permutaation . Ryhmä permutaatioiden 27 linjat, jotka aiheutuvat tällä tavalla kutsutaan monodromy ryhmä perheen kuutio pintoja. Merkittävä 1800-luvun havainto oli, että monodromiryhmä ei ole triviaali eikä koko symmetrinen ryhmä ; se on tilausryhmä 51840 , joka toimii väliaikaisesti linjoilla. Tämä ryhmä tunnistettiin vähitellen ( Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) ja Patrick du Val (1936)) Weyl- tyyppiseksi ryhmäksi, ryhmä, joka syntyy heijastuksista 6-ulotteisesta todellisesta vektoriavaruudesta, liittyvät Lien ryhmä ulottuvuus 78. ${\ displaystyle S_ {27}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Samaan järjestyksessä 51840 voidaan kuvata kombinatorisista kannalta, koska automorphism ryhmä on kuvaaja 27 linjat, jonka huippukulma kunkin rivin ja reunan, kun kaksi riviä tavata. Tätä kaaviota analysoitiin 1800 -luvulla käyttämällä alakaavioita, kuten Schläfli double six -konfiguraatiota. Täydentävä kuvaaja (jossa on reuna aina, kun kaksi riviä hajoaa) tunnetaan Schläfli -kuvaajana .

Monet kuutiopintoihin liittyvät ongelmat voidaan ratkaista juurijärjestelmän yhdistelmällä . Esimerkiksi 27 riviä voidaan identifioida Lie -ryhmän perusesityksen painoilla . Mahdolliset singulaarisuudet, joita voi esiintyä kuutiopinnalla, voidaan kuvata juurijärjestelmän osajärjestelmillä . Yksi selitys Tässä yhteydessä on se, että ristikko herää ortogonaaliset täydentää anticanonical luokan on Picard ryhmä , jossa se leikkaa muoto (peräisin risteyksessä teoria käyrät pinnalla). Sileä, monimutkainen kuutiopinta takaa, että Picard -hila voidaan myös tunnistaa cohomology -ryhmän kanssa . ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ displaystyle \ operaattorinimi {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^{7}}$${\ displaystyle H^{2} (X, \ mathbf {Z})}$

Eckardt piste on piste, jossa 3 27 linjat kohtaavat. Useimmilla kuutiopinnoilla ei ole Eckardt -pistettä, mutta tällaisia ​​pisteitä esiintyy kaikkien sileiden kuutiopintojen perheen kodimensio -1 -joukossa .

Kun tunnistetaan kuutiopinta X: llä ja räjäytys 6 pisteessä yleisessä asennossa, X: n 27 viivaa voidaan pitää seuraavana: 6 räjähdyksen luomaa poikkeuksellista käyrää, 15 viivan birationaalimuunnokset pareittain 6 pisteestä ja kuuden kartion birationaalimuunnokset, jotka sisältävät kaikki paitsi 6 pistettä. Tietty kuutiopinta voidaan nähdä räjäytyksenä useammalla kuin yhdellä tavalla (itse asiassa 72 eri tavalla), joten kuvaus räjäytyksenä ei paljasta symmetriaa kaikkien 27 rivin välillä. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$

Suhde kuutio pintojen ja juuristo yleistää välistä suhdetta kaikkien del Pezzo pinnat ja juuriston. Tämä on yksi monista ADE -luokituksista matematiikassa. Näiden analogioiden perusteella Vera Serganova ja Aleksei Skorobogatov antoivat suoran geometrisen suhteen kuutiopintojen ja Lie -ryhmän välillä . ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Fysiikan, 27 linjat voidaan tunnistaa kanssa 27 mahdollisen maksut M-teoria on kuusi-ulotteinen torus (6 liikemäärä, 15 kalvoja , 6 fivebranes ) ja ryhmä E ₆ sitten luonnollisesti toimii U-kaksinaisuus ryhmä. Tämä kartta del Pezzon pintojen ja Torin M-teorian välillä tunnetaan mystisenä kaksinaisuutena .

Erityiset kuutiopinnat

Sileä monimutkainen kuutiopinta, jossa on suurin automorfismin ryhmä, on Fermat -kuutiopinta, jonka määrittelee ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

${\ displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3} = 0.}$

Sen automorfismiryhmä on laajennus , tilaus 648. ${\ displaystyle 3^{3}: S_ {4}}$

Seuraavaksi symmetrisin sileä kuutiopinta on Clebsch -pinta , joka voidaan määritellä kahdella yhtälöllä ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{4}}$

${\ displaystyle x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}+x_ {3}+x_ {4} = x_ {0}^{3}+x_ {1}^{3}+x_ {2} ^{3}+x_ {3}^{3}+x_ {4}^{3} = 0.}$

Sen automorfismiryhmä on symmetrinen ryhmä , luokkaa 120. Monimutkaisen lineaarisen koordinaattimuutoksen jälkeen Clebschin pinta voidaan myös määritellä yhtälöllä ${\ displaystyle S_ {5}}$

${\ displaystyle x^{2} y+y^{2} z+z^{2} w+w^{2} x = 0}$

sisään . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Yksittäisistä monimutkaisista kuutiopinnoista Cayleyn solmun kuutiopinta on ainutlaatuinen pinta, jolla on suurin solmujen määrä , 4:

${\ displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx = 0.}$

Sen automorfismiryhmä on luokkaa 24. ${\ displaystyle S_ {4}}$

Todelliset kuutiopinnat

Toisin kuin monimutkainen tapaus, sileiden kuutiopintojen tila todellisten lukujen päällä ei ole kytketty klassiseen topologiaan (perustuu R : n topologiaan ). Sen kytketyt komponentit (toisin sanoen sileiden todellisten kuutiopintojen luokittelu isotoopiin asti ) määrittivät Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) ja HG Zeuthen (1875). Nimittäin on 5 isotooppiluokkaa sileitä todellisia kuutiopintoja X in , jotka erottuvat todellisten pisteiden tilan topologialla . Todellisten pisteiden avaruus on erilainen kuin jompikumpi tai 2-pallon erottuva liitos , jossa se merkitsee todellisen projektiivisen tason r- kopioiden yhdistettyä summaa . Vastaavasti X: n sisältämien reaaliviivojen määrä on 27, 15, 7, 3 tai 3. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {R})}$${\ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^{2}}$

Sileä todellinen kuutiopinta on järkevä R: n päälle silloin ja vain, jos sen reaalipisteiden tila on kytketty toisiinsa, siis edellisten viiden tapauksen neljässä ensimmäisessä.

Keskimääräinen todellinen rivien X on , kun määrittävä polynomi on X näytteistetään sattumanvaraisesti Gaussin kokonaisuus aiheuttama Bombieri sisätulon . ${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}}-3}$

Kuutiopintojen moduulitila

Kaksi sileää kuutiopintaa ovat isomorfisia algebrallisina lajikkeina silloin ja vain, jos ne vastaavat jonkin lineaarista automorfismia . Geometrinen invarianttiteoria antaa kuutiopintojen moduli -tilan , jossa on yksi piste kutakin sileiden kuutiopintojen isomorfismiluokkaa kohden. Tällä moduulitilalla on ulottuvuus 4. Tarkemmin sanottuna se on Salmonin ja Clebschin (1860) painotetun projektiivisen tilan P (12345) avoin osajoukko . Erityisesti se on järkevä 4-kertainen. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Käyrien kartio

Linjat kuutiomainen pinnalla X yli algebrallisesti suljettu kunta voidaan kuvata olennaisesti ilman viittausta upottamisen X on : ne ovat täsmälleen (-1) -käyriltä on X , joka tarkoittaa käyrien isomorfinen , että on itse risteys - 1. Myös X : n Picard -hilan (tai vastaavasti jakajaluokaryhmän ) viivaluokat ovat täsmälleen Pic ( X ): n elementtejä u siten, että ja . (Tämä käyttötarkoitukset, että rajoittaminen hypertason linjan nippu O (1) ja X on anticanonical linja nippu , jonka adjunction kaava .) ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$${\ displaystyle u^{2} =-1}$${\ displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$

Tahansa projektiiviset lajike X , kartio käyriä tarkoitetaan kupera kartio kesti kaikki käyrät X (todellinen vektoriavaruudessa 1-sykliä modulo numeerinen vastaavuutta, tai homologia ryhmään , jos pohja kenttä on kompleksiluvut). Kuutiopinnalle käyrien kartio ulottuu 27 viivaa. Erityisesti se on järkevä monikulmainen kartio, jossa on suuri symmetriaryhmä, Weyl -ryhmä . Kaikkien del Pezzo -pintojen käyrien kartio on samanlainen kuvaus. ${\ displaystyle N_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle N_ {1} (X) \ cong \ mathbf {R} ^{7}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Kuutiopinnat pellon päällä

Sileän kuutiopinnan X kentän k päällä, joka ei ole algebrallisesti suljettu, ei tarvitse olla järkevä k: n päällä . Äärimmäisenä tapauksena järkevien lukujen Q (tai p-adic-lukujen ) päällä on sileitä kuutiopintoja ilman järkeviä pisteitä , jolloin X ei todellakaan ole järkevä. Jos X ( k ) on tyhjä, X on ainakin ainutlaatuinen k: n yläpuolella , Beniamino Segre ja János Kollár . For k ääretön, unirationality merkitsee sitä, että joukko k -rational pistettä on Zariski tiheä on X . ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {p}}$

Absoluuttinen Galois-ryhmä on k permutoi 27 riviä X yli algebrallinen sulkeminen ja k (läpi joitakin alaryhmä Weyl ryhmä ). Jos jokin tämän toiminnan kiertorata koostuu hajoavista viivoista, X on "yksinkertaisemman" del Pezzon pinnan räjäytys k : n yli suljetussa kohdassa. Muussa tapauksessa X: llä on Picard numero 1. ( X: n Picard -ryhmä on geometrisen Picard -ryhmän alaryhmä .) Jälkimmäisessä tapauksessa Segre osoitti, että X ei ole koskaan järkevä. Voimakkaammin, Yuri Manin osoittautui birational jäykkyys lausuman: kaksi sileää kuutio pinnat Picard numero 1 yli täydellinen kentän k ovat birational jos ja vain jos ne ovat isomorfiset. Esimerkiksi nämä tulokset antavat Q: n yli monia kuutiopintoja, jotka ovat ainutlaatuisia, mutta eivät järkeviä. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {Pic} (X _ {\ overline {k}}) \ cong \ mathbf {Z} ^{7}}$

Yksittäiset kuutiopinnat

Toisin kuin sileät kuutiopinnat, jotka sisältävät 27 viivaa, yksittäiset kuutiopinnat sisältävät vähemmän viivoja. Lisäksi ne voidaan luokitella tavallisessa muodossaan esiintyvän singulaarisuuden mukaan. Nämä singulaarisuudet luokitellaan Dynkin -kaavioiden avulla .

Luokitus

Normaalin yksikkökuutiopinnan , jossa on paikalliset koordinaatit, sanotaan olevan normaalissa muodossa, jos sen antaa . Riippuen yksittäisperiaatteen sisältää, se on isomorfinen , että projektiivisia pinnalle annetaan , jos ovat, kuten alla olevassa taulukossa. Tämä tarkoittaa, että voimme saada luokituksen kaikista yksittäisistä kuutiopinnoista. Seuraavan taulukon parametrit ovat seuraavat: ovat kolme erillistä elementtiä , parametrit ovat ja on elementti . Huomaa, että on kaksi erilaista singulaarista kuutiopintaa . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {\ mathbb {C}}^{3}}$${\ displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}]}$${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})-f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}}^{3}}$${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})-f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle f_ {2}, f_ {3}}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0,1 \}}$${\ displaystyle d, e}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1 \}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle D_ {4}}$

Yksittäisten kuutiopintojen luokittelu singulaarisuustyypin mukaan

Yksinäisyys	${\ displaystyle f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$	${\ displaystyle f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -ax_ {1}) (-x_ {0}+(b+1) x_ {1} -bx_ {2}) (x_ {1} -cx_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -2x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {1}) (x_ {1} -bx_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0}-(a+1) x_ {1}+ax_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} (x_ {0}-(a+1) x_ {1}+ax_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -2x_ {1}+x_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{2} (x_ {0} -x_ {2})}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {2}) x_ {1}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2} x_ {1}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}^{2}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}) (dx_ {0}+ex_ {1}+dex_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {1}+x_ {2}) (-x_ {1}+dx_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -ux_ {1})}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2} x_ {2}+x_ {1}^{3} -x_ {1} x_ {2}^{2}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{3}+x_ {1}^{3} -x_ {1} x_ {2}^{2}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}+x_ {2}^{3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}+x_ {2}^{3}+x_ {0} x_ {1} x_ {2}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2}^{2}+x_ {1}^{2} x_ {2}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2}^{2}+x_ {1}^{3}}$
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle x_ {1}^{2} x_ {2} -x_ {0} (x_ {0} -x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {2})}$

Normaalimuodossa, kun kuutiopinta sisältää vähintään yhden singulaarisuuden, sen singulaarisuus on . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle [0: 0: 0: 1]}$

Viivat yksittäisillä kuutiopinnoilla

Yksittäisten kuutiopintojen luokituksen mukaan seuraavassa taulukossa on esitetty kunkin pinnan sisältämien viivojen määrä .

Viivat yksittäisillä kuutiopinnoilla

Yksinäisyys	${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle D_ {4}}$	${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$
Rivien määrä	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\ displaystyle \ infty}$

Yksittäisten kuutiopintojen automorfismiryhmät ilman parametreja

Automorphism normaali yksikkö kuutio pinta on rajoitus , joka automorphism että projektiivisen tilaa on . Tällaiset automorfismit säilyttävät yksittäisiä pisteitä. Lisäksi ne eivät säilytä erityyppisiä singulaarisuuksia. Jos pinta sisältää kaksi samantyyppistä singulaarisuutta, automorfismi voi muuttaa ne. Automorfismien kokoelma kuutiopinnalla muodostaa ryhmän , ns. Automorfismin ryhmän . Seuraava taulukko näyttää kaikki yksittäisten kuutiopintojen automorfismiryhmät ilman parametreja. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ textbf {P}}^{3}}$${\ displaystyle X}$

Yksittäisten kuutiopintojen automorfismiryhmät ilman parametreja

Yksinäisyys	Automorfismin ryhmä ${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {4}}$The symmetrinen ryhmä tilauksen${\ displaystyle 4!}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^{\ times}}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C})^{2} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {Z} /3 \ mathbb {Z}) \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^{\ times}}$

Katso myös

• Algebrallinen pinta
• Enriques – Kodaira -luokitus
• Fano -lajike
• Schubertin laskenta

Huomautuksia

Viitteet

• Bruce, JW; Wall, CTC (1979), " Kuutiopintojen luokittelusta", Journal of the London Mathematical Society , 19 (2) : 245–256 , doi : 10.1112/jlms/s2-19.2.245 , ISSN  0024-6107 , MR  0533323
• Cayley, Arthur (1849), "Kolmannen asteen pintojen kolminkertaisilla tangenttitasoilla" , Cambridge ja Dublin Math. J. , 4 : 118–138
• Cayley, Arthur (1869), "Muistio kuutiopinnoilla ", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Society, 159 : 231–326, doi : 10.1098/rstl.1869.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108997
• Degtyarev, AI; Kharlamov, VM (2000), "Todellisten algebrallisten lajikkeiden topologiset ominaisuudet: Rokhlinin tapa.", Russian Mathematical Surveys , 55 (4): 735–814, arXiv : math/0004134 , doi : 10.1070/RM2000v055n04ABEH000315 , MR  1786731
• Dolgachev, Igor (2012), Klassinen algebrallinen geometria: moderni näkymä , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139084437 , ISBN 9781139084437, MR  2964027
• Robin Hartshorne (1997) [1977]. Algebrallinen geometria . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157 .
• Henderson, Archibald (2015) [1911], Kaksikymmentäseitsemän viivaa kuutiopinnalla, Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Holzer, Stephan; Labs, Oliver (2006), "Todellisten kuutiopintojen luokittelun havainnollistaminen" (PDF) , Algebrallinen geometria ja geometrinen mallinnus , Springer, s. 119-134, MR  2279847
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Cubic hypersurface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kollár, János ; Smith, Karen E .; Corti, Alessio (2004), Rationaaliset ja lähes järkevät lajikkeet , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, MR  2062787 , S2CID  117569533
• Manin, Yuri Ivanovich (1986), Kuutiomuodot , Pohjois-Hollannin matemaattinen kirjasto, 4 (2. painos), Amsterdam: Pohjois-Hollanti, ISBN 978-0-444-87823-6, MR  0833513
• Reid, Miles (1988). Ylioppilasalgebrallinen geometria . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-35662-6. MR  0982494 .
• Schläfli, Ludwig (1863), "Kolmannen kertaluvun pintojen jakautumisesta lajeihin, viitaten yksittäisten pisteiden puuttumiseen tai läsnäoloon ja niiden viivojen todellisuuteen", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Yhteiskunta, 153 : 193–241, doi : 10.1098/rstl.1863.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108795
• Segre, Beniamino (1942), Ei-singulaariset kuutiopinnat , Oxford University Press , MR  0008171
• Serganova, Vera ; Skorobogatov, Alexei (2007), "Del Pezzon pinnat ja esitysteoria", Algebra ja lukuteoria , 1 (4): 393–419, doi : 10.2140/ant.2007.1.393 , MR  2368955
• Silhol, Robert (1989), Todelliset algebralliset pinnat , Luentohuomautuksia matematiikassa, 1392 , Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0088815 , ISBN 3-540-51563-1, MR  1015720

Ulkoiset linkit

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , " Kuutiopinta " , MacTutor Matematiikan historian arkisto , St Andrewsin yliopisto
• Rivit kuutiopinnalla , Ryan Hoban (The Experimental Geometry Lab at the Maryland University), joka perustuu William Goldmanin työhön, The Wolfram Demonstrations Project .
• Kuutiometri Pinnat DVD (54 animaatioita kuutiometriä pinnat, ladattavissa erikseen tai DVD)