Kubisk overflade - Cubic surface

I matematik er en kubisk overflade en overflade i tredimensionelt rum defineret af en polynomligning af grad 3. Kubiske overflader er grundlæggende eksempler i algebraisk geometri . Teorien forenkles ved at arbejde i projektivt rum frem for affineret rum , og derfor betragtes kubiske overflader generelt i projektivt 3-rum . Teorien bliver også mere ensartet ved at fokusere på overflader over de komplekse tal frem for de reelle tal ; Bemærk, at en kompleks overflade har en reel dimension 4. Et simpelt eksempel er Fermat -kubikoverfladen ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

{\ displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3} = 0}

i . Mange egenskaber ved kubiske overflader holder mere generelt for del Pezzo -overflader . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

En glat kubisk overflade (Clebsch -overfladen)

Rationalitet af kubiske overflader

Et centralt træk ved glatte kubiske overflader X over et algebraisk lukket felt er, at de alle er rationelle , som vist af Alfred Clebsch i 1866. Det vil sige, at der er en en-til-en-korrespondance defineret af rationelle funktioner mellem det projektive plan minus en lavere-dimensionel delmængde og X minus en lavere-dimensionel delmængde. Mere generelt er hver irreducerbar kubisk overflade (muligvis ental) over et algebraisk lukket felt rationel, medmindre det er den projektive kegle over en kubisk kurve. I denne henseende er kubiske overflader meget enklere end glatte overflader med en grad på mindst 4 tommer , som aldrig er rationelle. I karakteristisk nul er glatte overflader med en grad på mindst 4 tommer ikke engang uregulerede . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Mere kraftigt, viste Clebsch at hver glat kubisk overflade i løbet af en algebraisk lukket felt er isomorf til blow-up af på 6 point. Som følge heraf er hver glat kubisk overflade over de komplekse tal diffeomorfe i forhold til den forbundne sum , hvor minustegnet refererer til en ændring af orienteringen . Omvendt er opblæsning af på 6 punkter isomorf til en kubisk overflade, hvis og kun hvis punkterne er i generel position, hvilket betyder, at der ikke ligger tre punkter på en linje, og alle 6 ikke ligger på en kegle . Som en kompleks manifold (eller en algebraisk variant ) afhænger overfladen af arrangementet af disse 6 punkter. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^{2} \#6 (-\ mathbf {CP} ^{2})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$

27 linjer på en kubisk overflade

De fleste beviser på rationalitet for kubiske overflader starter med at finde en linje på overfladen. (I forbindelse med projektiv geometri er en linje isomorf til .) Mere præcist viste Arthur Cayley og George Salmon i 1849, at hver glat kubisk overflade over et algebraisk lukket felt indeholder præcis 27 linjer. Dette er et kendetegn ved kubik: en glat kvadrisk (grad 2) overflade er dækket af en kontinuerlig familie af linjer, mens de fleste overflader med grad mindst 4 i ingen linjer indeholder. En anden nyttig teknik til at finde de 27 linjer involverer Schubert -beregning, der beregner antallet af linjer ved hjælp af skæringsteorien om Grassmannian af linjer på . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Da koefficienterne for en glat kompleks kubisk overflade varieres, bevæger de 27 linjer sig kontinuerligt. Som et resultat bestemmer en lukket sløjfe i familien af glatte kubiske overflader en permutation af de 27 linjer. Den gruppe af permutationer af 27 linjer opstår på denne måde kaldes monodromy gruppe af familien af kubiske overflader. En bemærkelsesværdig opdagelse fra 1800-tallet var, at monodromigruppen hverken er triviel eller hele den symmetriske gruppe ; det er en gruppe af ordre 51840 , der handler transitivt på linjesættet . Denne gruppe blev gradvist anerkendt (af Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) og Patrick du Val (1936)) som typen Weyl , en gruppe genereret af refleksioner over et 6-dimensionelt virkeligt vektorrum, relateret til Lie -gruppen i dimension 78. ${\ displaystyle S_ {27}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$

Den samme gruppe af orden 51840 kan beskrives i kombinatoriske termer som automorfistegruppen i grafen over de 27 linjer med et toppunkt for hver linje og en kant, når to linjer mødes. Denne graf blev analyseret i det 19. århundrede ved hjælp af undergrafer såsom Schläfli double six -konfigurationen. Den komplementære graf (med en kant, når to linjer er sammenføjede) er kendt som Schläfli -grafen .

Schläfli -grafen

Mange problemer med kubiske overflader kan løses ved hjælp af rodsystemets kombinatorik . For eksempel kan de 27 linjer identificeres med vægten af Lie -gruppens grundlæggende repræsentation . De mulige sæt af singulariteter, der kan forekomme på en kubisk overflade, kan beskrives i form af undersystemer i rodsystemet. En forklaring på denne forbindelse er, at gitteret opstår som det ortogonale supplement til den antikanoniske klasse i Picard -gruppen med dens skæringsform (stammer fra skæringsteorien om kurver på en overflade). For en glat kompleks kubisk overflade kan Picard gitter også identificeres med cohomology gruppe . ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^{7}}$ ${\ displaystyle H^{2} (X, \ mathbf {Z})}$

Et Eckardt -punkt er et punkt, hvor 3 af de 27 linjer mødes. De fleste kubiske overflader har ikke noget Eckardt -punkt, men sådanne punkter forekommer på en kodimension -1 delmængde af familien af alle glatte kubiske overflader.

I betragtning af en identifikation mellem en kubisk overflade på X og opblæsning af på 6 punkter i den generelle position, kan de 27 linjer på X ses som: de 6 ekstraordinære kurver skabt ved at blæse op, birationelle transformationer af de 15 linjer gennem par af de 6 punkter i , og birationelle transformationer af de 6 kegler indeholdende alle undtagen en af de 6 punkter. En given kubisk overflade kan ses som en opblæsning på mere end én måde (faktisk på 72 forskellige måder), og derfor afslører en beskrivelse som en opblæsning ikke symmetrien mellem alle 27 af linjerne. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$

Forholdet mellem kubiske overflader og rodsystemet generaliserer til et forhold mellem alle del Pezzo overflader og rodsystemer. Dette er en af mange ADE -klassifikationer i matematik. Ved at forfølge disse analogier gav Vera Serganova og Alexei Skorobogatov et direkte geometrisk forhold mellem kubiske overflader og Lie -gruppen . ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$

I fysikken kan de 27 linjer identificeres med de 27 mulige ladninger af M-teori på en seksdimensionel torus (6 momenta; 15 membraner ; 6 fembraner ), og gruppen E ₆ fungerer derefter naturligt som U-dualitetsgruppen . Dette kort mellem del Pezzo-overflader og M-teori om tori er kendt som mystisk dualitet .

Særlige kubiske overflader

Den glatte komplekse kubiske overflade med den største automorfistegruppe er Fermat -kubikoverfladen, defineret af ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

{\ displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3} = 0.}

Dens automorfismegruppe er en forlængelse af orden 648. ${\ displaystyle 3^{3}: S_ {4}}$

Den næst mest symmetriske glatte kubiske overflade er Clebsch -overfladen , som kan defineres i de to ligninger ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{4}}$

{\ displaystyle x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}+x_ {3}+x_ {4} = x_ {0}^{3}+x_ {1}^{3}+x_ {2} ^{3}+x_ {3}^{3}+x_ {4}^{3} = 0.}

Dens automorfistegruppe er den symmetriske gruppe af orden 120. Efter en kompleks lineær ændring af koordinater kan Clebsch -overfladen også defineres ved ligningen ${\ displaystyle S_ {5}}$

{\ displaystyle x^{2} y+y^{2} z+z^{2} w+w^{2} x = 0}

i . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Cayleys nodale kubiske overflade

Blandt entydige komplekse kubiske overflader er Cayleys nodal cubic overflade den unikke overflade med det maksimale antal noder , 4:

{\ displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx = 0.}

Dens automorfisme -gruppe er af orden 24. ${\ displaystyle S_ {4}}$

Ægte kubiske overflader

I modsætning til det komplekse tilfælde er rummet mellem glatte kubiske overflader over de reelle tal ikke forbundet i den klassiske topologi (baseret på topologien af R ). Dens forbundne komponenter (med andre ord klassificeringen af glatte rigtige kubiske overflader op til isotopi ) blev bestemt af Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) og HG Zeuthen (1875). Der er nemlig 5 isotopklasser af glatte, reelle kubiske overflader X in , der kendetegnes ved topologien i rummet af rigtige punkter . Rummet af reelle punkter er diffeomorft for enten eller den usammenhængende forening af og 2-kuglen, hvor betegner den forbundne sum af r kopier af det virkelige projektive plan . Tilsvarende er antallet af reelle linjer i X 27, 15, 7, 3 eller 3. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {R})}$ ${\ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$ ${\ displaystyle W_ {1}}$ ${\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^{2}}$

En glat ægte kubisk overflade er rationel over R, hvis og kun hvis dens rum af reelle punkter er forbundet, derfor i de første fire af de foregående fem tilfælde.

Det gennemsnitlige antal reelle linjer på X er, når det definerende polynom for X udtages tilfældigt fra det gaussiske ensemble fremkaldt af Bombieri indre produkt . ${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}}-3}$

Modulrummet på kubiske overflader

To glatte kubiske overflader er isomorfe som algebraiske sorter, hvis og kun hvis de er ækvivalente ved en vis lineær automorfisme af . Geometrisk invariant teori giver et moduli -rum på kubiske overflader, med et punkt for hver isomorfisme klasse af glatte kubiske overflader. Dette moduli -rum har dimension 4. Mere præcist er det en åben delmængde af det vægtede projektive rum P (12345) af Salmon og Clebsch (1860). Især er det en rationel 4-fold. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Kurvenes kegle

Linjerne på en kubisk overflade X over et algebraisk lukket felt kan beskrives iboende uden henvisning til indlejring af X i : de er nøjagtigt (-1) -kurverne på X , hvilket betyder, at kurverne er isomorfe til dem, der har selvkryds- 1. Også linjeklasserne i Picard -gitteret i X (eller ækvivalent divisorklassegruppen ) er nøjagtigt elementerne u i Pic ( X ), således at og . (This anvendelser, at begrænsningen af den hyperplan linje bundt O (1) om at X er den anticanonical linje bundt , ved adjunction formel .) ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$ ${\ displaystyle u^{2} =-1}$ ${\ displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle -K_ {X}}$

For enhver projektiv sort X , den kegle af kurver : den konvekse konus overspændt af alle kurver i X (i reelle vektorrum af 1-cykler modulo numerisk ækvivalens, eller i homologigruppe hvis basen felt er de komplekse tal). For en kubisk overflade strækkes kurvens kegle af de 27 linjer. Især er det en rationel polyhedral kegle med en stor symmetri gruppe, Weyl gruppen af . Der er en lignende beskrivelse af kurvens kegle for enhver del Pezzo -overflade. ${\ displaystyle N_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbf {R})}$ ${\ displaystyle N_ {1} (X) \ cong \ mathbf {R} ^{7}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$

Kubiske overflader over et felt

En glat kubisk overflade X over et felt k, der ikke er algebraisk lukket, behøver ikke at være rationelt over k . Som et ekstremt tilfælde er der glatte kubiske overflader over de rationelle tal Q (eller p-adiske tal ) uden rationelle punkter , i hvilket tilfælde X bestemt ikke er rationel. Hvis X ( k ) er nonempty, så er X i det mindste irrationel over k , af Beniamino Segre og János Kollár . For k uendelig, unirationality indebærer, at det sæt af k -rational punkter er Zariski tæt i X . ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {p}}$

Den absolutte Galois -gruppe af k permuterer de 27 linjer af X over den algebraiske lukning af k (gennem en eller anden undergruppe af Weyl -gruppen af ). Hvis en bane af denne handling består af uforenelige linjer, så er X sprængningen af en "enklere" del Pezzo-overflade over k på et lukket punkt. Ellers har X Picard nummer 1. (Picard -gruppen af X er en undergruppe af den geometriske Picard -gruppe .) I sidstnævnte tilfælde viste Segre, at X aldrig er rationel. Mere stærkt beviste Yuri Manin en birational stivhedserklæring: to glatte kubiske overflader med Picard nummer 1 over et perfekt felt k er birationelle, hvis og kun hvis de er isomorfe. For eksempel giver disse resultater mange kubiske overflader i forhold til Q, der er irrationelle, men ikke rationelle. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X _ {\ overline {k}}) \ cong \ mathbf {Z} ^{7}}$

Unikke kubiske overflader

I modsætning til glatte kubiske overflader, der indeholder 27 linjer, indeholder entydige kubiske overflader færre linjer. Desuden kan de klassificeres efter den type singularitet, der opstår i deres normale form. Disse singulariteter er klassificeret ved hjælp af Dynkin -diagrammer .

Klassifikation

En normal ental kubisk overflade i lokale koordinater siges at være i normal form, hvis det er givet ved . Afhængigt af typen af singularitet indeholder, er den isomorf i forhold til den projektive overflade i givet ved hvor er som i tabellen nedenfor. Det betyder, at vi kan opnå en klassificering af alle entydige kubiske overflader. Parametrene i følgende tabel er som følger: er tre forskellige elementer af , parametrene er i og er et element af . Bemærk, at der er to forskellige entydige kubiske overflader med singularitet . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {\ mathbb {C}}^{3}}$ ${\ displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}]}$ ${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})-f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ textbf {P}}^{3}}$ ${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})-f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$ ${\ displaystyle f_ {2}, f_ {3}}$ ${\ displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle d, e}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1 \}}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle D_ {4}}$

Klassificering af entallige kubiske overflader efter singularitetstype
Singularitet	${\ displaystyle f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$	${\ displaystyle f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -ax_ {1}) (-x_ {0}+(b+1) x_ {1} -bx_ {2}) (x_ {1} -cx_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -2x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {1}) (x_ {1} -bx_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0}-(a+1) x_ {1}+ax_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} (x_ {0}-(a+1) x_ {1}+ax_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -2x_ {1}+x_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{2} (x_ {0} -x_ {2})}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {2}) x_ {1}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2} x_ {1}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}^{2}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}) (dx_ {0}+ex_ {1}+dex_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {1}+x_ {2}) (-x_ {1}+dx_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -ux_ {1})}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2} x_ {2}+x_ {1}^{3} -x_ {1} x_ {2}^{2}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{3}+x_ {1}^{3} -x_ {1} x_ {2}^{2}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}+x_ {2}^{3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}+x_ {2}^{3}+x_ {0} x_ {1} x_ {2}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2}^{2}+x_ {1}^{2} x_ {2}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2}^{2}+x_ {1}^{3}}$
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle x_ {1}^{2} x_ {2} -x_ {0} (x_ {0} -x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {2})}$

I normal form, når en kubisk overflade indeholder mindst én singularitet, vil den have en singularitet ved . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ ${\ displaystyle [0: 0: 0: 1]}$

Linjer på entydige kubiske overflader

I henhold til klassificeringen af entydige kubiske overflader viser følgende tabel antallet af linjer, hver overflade indeholder.

Linjer på entydige kubiske overflader
Singularitet	${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle D_ {4}}$	${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$
Antal linjer	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\ displaystyle \ infty}$

Automorfisme grupper af entydige kubiske overflader uden parametre

En automorfisme af en normal ental kubisk overflade er begrænsningen af en automorfisme af det projektive rum til . Sådanne automorfismer bevarer entydige punkter. Desuden tillader de ikke singulariteter af forskellige typer. Hvis overfladen indeholder to singulariteter af samme type, kan automorfismen permutere dem. Samlingen af automorfismer på en kubisk overflade danner en gruppe , den såkaldte automorfisme-gruppe . Følgende tabel viser alle automorfistegrupper af entydige kubiske overflader uden parametre. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ textbf {P}}^{3}}$ ${\ displaystyle X}$

Automorfisme grupper af entydige kubiske overflader uden parametre
Singularitet	Automorfisme gruppe af ${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {4}}$ , den symmetriske gruppe af orden ${\ displaystyle 4!}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^{\ times}}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C})^{2} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {Z} /3 \ mathbb {Z}) \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^{\ times}}$