Kubisk overflate - Cubic surface

I matematikk er en kubisk overflate en overflate i tredimensjonalt rom definert av en polynomligning av grad 3. Kubiske overflater er grunnleggende eksempler i algebraisk geometri . Teorien er forenklet ved å jobbe i projektivt rom i stedet for affinert rom , og derfor blir kubiske flater generelt vurdert i projektiv 3-plass . Teorien blir også mer ensartet ved å fokusere på overflater over de komplekse tallene i stedet for de reelle tallene ; Vær oppmerksom på at en kompleks overflate har en reell dimensjon 4. Et enkelt eksempel er Fermat -kubikkoverflaten${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

${\ displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3} = 0}$

i . Mange egenskaper til kubiske overflater holder mer generelt for del Pezzo -overflater . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Rasjonalitet av kubiske overflater

Et sentralt trekk ved glatte kubiske overflater X over et algebraisk lukket felt er at de alle er rasjonelle , som vist av Alfred Clebsch i 1866. Det vil si at det er en en-til-en-korrespondanse definert av rasjonelle funksjoner mellom det projektive planet minus en lavere dimensjonalt undersett og X minus et lavere dimensjonalt undersett. Mer generelt er hver ureduserbar kubisk overflate (muligens entall) over et algebraisk lukket felt rasjonell med mindre det er den projektive kjeglen over en kubikkurve. I denne forbindelse er kubiske overflater mye enklere enn glatte overflater med en grad på minst 4 tommer , som aldri er rasjonelle. I karakteristisk null er glatte overflater med en grad på minst 4 tommer ikke engang uregulerte . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Sterkere, Clebsch viste at hver glatt kubikk overflaten i løpet av en algebraisk lukket feltet er isomorf med den blåser opp av 6 poeng. Som et resultat er hver glatte kubikkflate over de komplekse tallene diffeomorfe i forhold til den tilkoblede summen , der minustegnet refererer til en endring av orientering . Motsatt er oppblåsningen på 6 punkter isomorf til en kubisk overflate hvis og bare hvis punktene er i generell posisjon, noe som betyr at ingen tre punkter ligger på en linje og alle 6 ikke ligger på en kjegle . Som en kompleks manifold (eller en algebraisk variant ), avhenger overflaten av arrangementet av de 6 punktene. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^{2} \#6 (-\ mathbf {CP} ^{2})}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$

27 linjer på en kubisk overflate

De fleste bevis på rasjonalitet for kubiske overflater starter med å finne en linje på overflaten. (I forbindelse med projektiv geometri er en linje isomorf til .) Mer presist viste Arthur Cayley og George Salmon i 1849 at hver glatt kubisk overflate over et algebraisk lukket felt inneholder nøyaktig 27 linjer. Dette er et særtrekk ved kubikk: en glatt kvadrisk (grad 2) overflate er dekket av en kontinuerlig familie av linjer, mens de fleste overflater med grad minst 4 i ikke inneholder noen linjer. En annen nyttig teknikk for å finne de 27 linjene involverer Schubert -beregning som beregner antall linjer ved hjelp av skjæringsteorien til Grassmannian av linjer på . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Ettersom koeffisientene til en glatt kompleks kubisk overflate varieres, beveger de 27 linjene seg kontinuerlig. Som et resultat bestemmer en lukket sløyfe i familien av glatte kubiske overflater en permutasjon av de 27 linjene. Den gruppe av permutasjoner av de 27 linjer som oppstår på denne måten kalles monodromy gruppe av familien av kubiske overflater. En bemerkelsesverdig oppdagelse fra 1800-tallet var at monodromygruppen verken er triviell eller hele den symmetriske gruppen ; det er en gruppe av ordre 51840 , som handler midlertidig på settet med linjer. Denne gruppen ble gradvis anerkjent (ved Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-1917), og Patrick du Val (1936)) som den Weyl gruppe av type , en gruppe som genereres ved refleksjon på en 6-dimensjonale reelle vektorrommet, relatert til Lie -gruppen av dimensjon 78. ${\ displaystyle S_ {27}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Den samme gruppen av orden 51840 kan beskrives i kombinatoriske termer, som automorfismegruppen i grafen til de 27 linjene, med et toppunkt for hver linje og en kant når to linjer møtes. Denne grafen ble analysert på 1800 -tallet ved hjelp av undergrafer som Schläfli dobbel seks -konfigurasjon. Den komplementære grafen (med en kant når to linjer er usammenhengende) er kjent som Schläfli -grafen .

Mange problemer med kubiske overflater kan løses ved hjelp av kombinatorikken til rotsystemet . For eksempel kan de 27 linjene identifiseres med vektene til den grunnleggende representasjonen av Lie -gruppen . De mulige settene med singulariteter som kan forekomme på en kubisk overflate kan beskrives i form av undersystemer i rotsystemet. En forklaring på denne forbindelsen er at gitteret oppstår som det ortogonale komplementet til den antikanoniske klassen i Picard -gruppen , med dens skjæringsform (kommer fra skjæringsteorien om kurver på en overflate). For en jevn sammensatt kubisk overflate, kan det Picard gitter også identifiseres med cohomology gruppe . ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^{7}}$${\ displaystyle H^{2} (X, \ mathbf {Z})}$

Et Eckardt -punkt er et punkt der 3 av de 27 linjene møtes. De fleste kubikkflater har ikke noe Eckardt -punkt, men slike punkter forekommer på en kodimensjon -1 delmengde av familien til alle glatte kubiske overflater.

Gitt en identifikasjon mellom en kubisk overflate på X og sprengningen av på 6 punkter i generell posisjon, kan de 27 linjene på X ses på som: de 6 eksepsjonelle kurvene som oppstår ved å blåse opp, birasjonelle transformasjoner av de 15 linjene gjennom par av de 6 punktene i , og birasjonelle transformasjoner av de 6 kjeglene som inneholder alle unntatt ett av de 6 punktene. En gitt kubikkflate kan sees på som en oppblåsing på mer enn én måte (faktisk på 72 forskjellige måter), og derfor avslører ikke en beskrivelse som en oppblåsing symmetrien mellom alle 27 linjene. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{2}}$

Forholdet mellom kubiske overflater og rotsystemet generaliserer til et forhold mellom alle del Pezzo -overflater og rotsystemer. Dette er en av mange ADE -klassifiseringer i matematikk. Etter å ha fulgt disse analogiene ga Vera Serganova og Alexei Skorobogatov et direkte geometrisk forhold mellom kubiske overflater og Lie -gruppen . ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

I fysikken kan de 27 linjene identifiseres med de 27 mulige ladningene av M-teori på en seksdimensjonal torus (6 momenta; 15 membraner ; 6 fembraner ), og gruppen E ₆ fungerer da naturlig som U-dualitetsgruppen . Dette kartet mellom del Pezzo-overflater og M-teori om tori er kjent som mystisk dualitet .

Spesielle kubikkflater

Den glatte komplekse kubiske overflaten med den største automorfisgruppen er Fermat -kubikkoverflaten, definert av ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

${\ displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3} = 0.}$

Dens automorfismegruppe er en forlengelse av rekkefølge 648. ${\ displaystyle 3^{3}: S_ {4}}$

Den neste mest symmetriske glatte kubiske overflaten er Clebsch -overflaten , som kan defineres i de to ligningene ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{4}}$

${\ displaystyle x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}+x_ {3}+x_ {4} = x_ {0}^{3}+x_ {1}^{3}+x_ {2} ^{3}+x_ {3}^{3}+x_ {4}^{3} = 0.}$

Dens automorfistegruppe er den symmetriske gruppen av orden 120. Etter en kompleks lineær endring av koordinater kan Clebsch -overflaten også defineres av ligningen ${\ displaystyle S_ {5}}$

${\ displaystyle x^{2} y+y^{2} z+z^{2} w+w^{2} x = 0}$

i . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Blant entall komplekse kubiske overflater er Cayleys nodale kubiske overflate den unike overflaten med maksimalt antall noder , 4:

${\ displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx = 0.}$

Dens automorfismegruppe er av orden 24. ${\ displaystyle S_ {4}}$

Ekte kubikkflater

I motsetning til det komplekse tilfellet er ikke plassen til glatte kubiske overflater over de reelle tallene forbundet i den klassiske topologien (basert på topologien til R ). De tilkoblede komponentene (med andre ord klassifiseringen av glatte virkelige kubiske overflater opp til isotopi ) ble bestemt av Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) og HG Zeuthen (1875). Det er nemlig 5 isotopiklasser av glatte virkelige kubiske overflater X i , preget av topologien til rommet til virkelige punkter . Plassen til virkelige punkter er diffeomorfe til enten , eller den usammenhengende foreningen av og 2-sfæren, der betegner den tilkoblede summen av r kopier av det virkelige projektive planet . Tilsvarende er antallet reelle linjer i X 27, 15, 7, 3 eller 3. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {R})}$${\ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^{2}}$

En glatt ekte kubisk overflate er rasjonell over R hvis og bare hvis plassen til virkelige punkter er forbundet, derav i de fire første av de fem foregående tilfellene.

Gjennomsnittlig antall reelle linjer på X er når det definerende polynomet for X er samplet tilfeldig fra det gaussiske ensemblet indusert av Bombieri indre produkt . ${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}}-3}$

Modulrommet for kubiske overflater

To glatte kubiske overflater er isomorfe som algebraiske varianter hvis og bare hvis de er ekvivalente med noen lineær automorfisme av . Geometrisk invariant teori gir et moduli -rom på kubiske overflater, med ett poeng for hver isomorfisme klasse av glatte kubiske overflater. Dette moduli -rommet har dimensjon 4. Nærmere bestemt er det en åpen delmengde av det vektede prosjektive rommet P (12345), av Salmon og Clebsch (1860). Spesielt er det en rasjonell 4-fold. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$

Kjeglen av kurver

Linjene på en kubisk overflate X over et algebraisk lukket felt kan beskrives iboende, uten referanse til innebygging av X i : de er nøyaktig (-1) -kurvene på X , noe som betyr at kurvene er isomorfe til som har selvskjæringspunkt- 1. Også linjeklassene i Picard -gitteret til X (eller tilsvarende divisorklassegruppen ) er nøyaktig elementene u i Pic ( X ) slik at og . (Dette bruker at begrensningen av hyperplanlinjebunten O (1) til X er den antikanoniske linjebunten , med tilleggsformelen .) ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1}}$${\ displaystyle u^{2} =-1}$${\ displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{3}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$

For en hvilken som helst variasjon projeksjons X , den kjegle av kurvene betyr konvekse konusen dannet av alle kurver i X (i det virkelige vektorrommet av 1-sykluser modulo numerisk ekvivalens, eller i det homologigruppe hvis basen felt er komplekse tall). For en kubikkflate er kurvenes kjegle spredt av de 27 linjene. Spesielt er det en rasjonell polyhedral kjegle med en stor symmetri gruppe, Weyl gruppen av . Det er en lignende beskrivelse av kurven på hver del Pezzo -overflate. ${\ displaystyle N_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle N_ {1} (X) \ cong \ mathbf {R} ^{7}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Kubikkflater over et felt

En glatt kubikkflate X over et felt k som ikke er algebraisk lukket, trenger ikke å være rasjonelt over k . Som et ekstremt tilfelle er det glatte kubikkflater over de rasjonelle tallene Q (eller p-adiske tall ) uten rasjonelle poeng , i så fall er X absolutt ikke rasjonell. Hvis X ( k ) er nonempty, er X i det minste urasjonell over k , av Beniamino Segre og János Kollár . For k uendelig, innebærer unirationality at settet av k -rational punkter er Zariski tett i X . ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {p}}$

Den absolutte Galois -gruppen av k permuterer de 27 linjene av X over den algebraiske lukkingen av k (gjennom en eller annen undergruppe av Weyl -gruppen av ). Hvis en bane av denne handlingen består av uforenlige linjer, er X sprengningen av en "enklere" del Pezzo-overflate over k på et lukket punkt. Ellers har X Picard nummer 1. (Picard -gruppen til X er en undergruppe av den geometriske Picard -gruppen .) I sistnevnte tilfelle viste Segre at X aldri er rasjonelt. Mer sterkt beviste Yuri Manin en birational stivhetserklæring: to glatte kubikkflater med Picard nummer 1 over et perfekt felt k er birasjonelle hvis og bare hvis de er isomorfe. For eksempel gir disse resultatene mange kubikkflater over Q som er urasjonelle, men ikke rasjonelle. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X _ {\ overline {k}}) \ cong \ mathbf {Z} ^{7}}$

Unikke kubiske overflater

I motsetning til glatte kubiske overflater som inneholder 27 linjer, singulære kubiske overflater inneholde færre linjer. Videre kan de klassifiseres etter typen singularitet som oppstår i deres normale form. Disse singularitetene er klassifisert ved hjelp av Dynkin -diagrammer .

Klassifisering

En normal entall kubisk overflate i med lokale koordinater sies å være i normalform dersom det er gitt ved . Avhengig av hvilken type singularitet inneholder, er den isomorf for den projektive overflaten gitt av hvor er som i tabellen nedenfor. Det betyr at vi kan oppnå en klassifisering av alle kubiske overflater. Parametrene i tabellen nedenfor er som følger: er tre forskjellige elementer av , parametrene er i og er et element av . Legg merke til at det er to forskjellige kubiske overflater med singularitet . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {\ mathbb {C}}^{3}}$${\ displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}]}$${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})-f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}}^{3}}$${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})-f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle f_ {2}, f_ {3}}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0,1 \}}$${\ displaystyle d, e}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1 \}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle D_ {4}}$

Klassifisering av entallskubikkflater etter type singularitet

Singularitet	${\ displaystyle f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$	${\ displaystyle f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -ax_ {1}) (-x_ {0}+(b+1) x_ {1} -bx_ {2}) (x_ {1} -cx_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -2x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {1}) (x_ {1} -bx_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0}-(a+1) x_ {1}+ax_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} (x_ {0}-(a+1) x_ {1}+ax_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (-x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -2x_ {1}+x_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{2} (x_ {0} -x_ {2})}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {2}) x_ {1}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2} x_ {1}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}^{2}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}) (dx_ {0}+ex_ {1}+dex_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {1}+x_ {2}) (-x_ {1}+dx_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2}^{3}}$
${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0}+x_ {1}+x_ {2}) (x_ {0} -ux_ {1})}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2} x_ {2}+x_ {1}^{3} -x_ {1} x_ {2}^{2}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{3}+x_ {1}^{3} -x_ {1} x_ {2}^{2}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}+x_ {2}^{3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {1}^{3}+x_ {2}^{3}+x_ {0} x_ {1} x_ {2}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2}^{2}+x_ {1}^{2} x_ {2}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle x_ {0}^{2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2}^{2}+x_ {1}^{3}}$
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle x_ {1}^{2} x_ {2} -x_ {0} (x_ {0} -x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {2})}$

I normal form, når en kubisk overflate inneholder minst én singularitet, vil den ha en singularitet på . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle [0: 0: 0: 1]}$

Linjer på unike kubiske overflater

I henhold til klassifiseringen av entallskubikkflater viser tabellen nedenfor antall linjer hver overflate inneholder.

Linjer på unike kubiske overflater

Singularitet	${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle D_ {4}}$	${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$
Antall linjer	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\ displaystyle \ infty}$

Automorfisme grupper av entall kubiske overflater uten parametere

En automorfisme av en vanlig entall kubisk overflate er begrensningen av en automorfisme av det projiserende rommet til . Slike automorfismer bevarer unike punkter. Videre tillater de ikke singulariteter av forskjellige typer. Hvis overflaten inneholder to singulariteter av samme type, kan automorfismen permutere dem. Samlingen av automorfismer på en kubisk overflate danner en gruppe , den såkalte automorfismen . Tabellen nedenfor viser alle automorfiseringsgrupper av entallskubiske overflater uten parametere. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ textbf {P}}^{3}}$${\ displaystyle X}$

Automorfisme grupper av entall kubiske overflater uten parametere

Singularitet	Automorfisme gruppe av ${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {4}}$, Den symmetriske gruppe av orden${\ displaystyle 4!}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^{\ times}}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C})^{2} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {Z} /3 \ mathbb {Z}) \ rtimes \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{\ times}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^{\ times}}$

Se også

• Algebraisk overflate
• Enriques - Kodaira klassifisering
• Fano variasjon
• Schubert -beregning

Merknader

Referanser

• Bruce, JW; Wall, CTC (1979), "Om klassifisering av kubiske overflater", Journal of the London Mathematical Society , 19 (2): 245–256, doi : 10.1112/jlms/s2-19.2.245 , ISSN  0024-6107 , MR  0533323
• Cayley, Arthur (1849), "On the triple tangent plane of overflates of the third order" , Cambridge og Dublin Math. J. , 4 : 118–138
• Cayley, Arthur (1869), "A memoir on cubic overflates", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Society, 159 : 231–326, doi : 10.1098/rstl.1869.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108997
• Degtyarev, AI; Kharlamov, VM (2000), "Topologiske egenskaper til virkelige algebraiske varianter: Rokhlins måte.", Russian Mathematical Surveys , 55 (4): 735–814, arXiv : math/0004134 , doi : 10.1070/RM2000v055n04ABEH000315 , MR  1786731
• Dolgachev, Igor (2012), Klassisk algebraisk geometri: et moderne syn , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139084437 , ISBN 9781139084437, MR  2964027
• Robin Hartshorne (1997) [1977]. Algebraisk geometri . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157 .
• Henderson, Archibald (2015) [1911], De tjuesju linjene på den kubiske overflaten , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Holzer, Stephan; Labs, Oliver (2006), "Illustrering av klassifiseringen av virkelige kubiske overflater" (PDF) , Algebraisk geometri og geometrisk modellering , Springer, s. 119–134, MR  2279847
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Cubic hypersurface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kollár, János ; Smith, Karen E .; Corti, Alessio (2004), Rasjonelle og nesten rasjonelle varianter , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, MR  2062787 , S2CID  117569533
• Manin, Yuri Ivanovich (1986), Cubic forms , North-Holland Mathematical Library, 4 (2. utg.), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6, MR  0833513
• Reid, Miles (1988). Algebraisk geometri . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-35662-6. MR  0982494 .
• Schläfli, Ludwig (1863), "Om fordelingen av overflater av den tredje orden i arter, med henvisning til fravær eller tilstedeværelse av entallspunkter, og virkeligheten av linjene deres", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Society, 153 : 193–241, doi : 10.1098/rstl.1863.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108795
• Segre, Beniamino (1942), The non-singular cubic overflates , Oxford University Press , MR  0008171
• Serganova, Vera ; Skorobogatov, Alexei (2007), "Del Pezzo -overflater og representasjonsteori", Algebra og tallteori , 1 (4): 393–419, doi : 10.2140/ant.2007.1.393 , MR  2368955
• Silhol, Robert (1989), Ekte algebraiske overflater , Forelesningsnotater i matematikk, 1392 , Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0088815 , ISBN 3-540-51563-1, MR  1015720

Eksterne linker

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Cubic surface" , MacTutor History of Mathematics -arkiv , University of St Andrews
• Lines on a Cubic Surface av Ryan Hoban (The Experimental Geometry Lab ved University of Maryland), basert på arbeid av William Goldman, The Wolfram Demonstrations Project .
• The Cubic Surfaces DVD (54 animasjoner av kubiske overflater, kan lastes ned separat eller som DVD)