Suprafata cubica - Cubic surface

În matematică , o suprafață cubică este o suprafață în spațiu tridimensional definită de o ecuație polinomială de gradul 3. Suprafețele cubice sunt exemple fundamentale în geometria algebrică . Teoria este simplificată prin lucrul în spațiul proiectiv, mai degrabă decât în spațiul afin , astfel încât suprafețele cubice sunt în general considerate în 3-spațiu proiectiv . De asemenea, teoria devine mai uniformă concentrându-se pe suprafețe peste numerele complexe, mai degrabă decât numerele reale ; rețineți că o suprafață complexă are dimensiunea reală 4. Un exemplu simplu este suprafața cubică Fermat${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0}$

în . Multe proprietăți ale suprafețelor cubice sunt mai generale pentru suprafețele del Pezzo . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Raționalitatea suprafețelor cubice

O caracteristică centrală a netede suprafețe cubice X peste un corp algebric închis este că acestea sunt raționale , așa cum este prezentat de către Alfred Clebsch în 1866. Cu alte cuvinte , există o corespondență unu-la-unu definită de funcții raționale între planul proiectiv minus subset dimensional inferior și X minus un subset dimensional inferior. Mai general, fiecare suprafață cubică ireductibilă (posibil singulară) pe un câmp închis algebric este rațională, cu excepția cazului în care este conul proiectiv peste o curbă cubică. În acest sens, suprafețele cubice sunt mult mai simple decât suprafețele netede de grad de cel puțin 4 in , care nu sunt niciodată raționale. În caracteristica zero, suprafețele netede de grad de cel puțin 4 in nu sunt chiar neregulate . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Mai puternic, Clebsch a arătat că fiecare suprafață cubică netedă peste un câmp închis algebric este izomorfă până la explozia de 6 puncte. Ca rezultat, fiecare suprafață cubică netedă peste numerele complexe este diferită de suma conectată , unde semnul minus se referă la o schimbare de orientare . Dimpotrivă, explozia de la 6 puncte este izomorfă pentru o suprafață cubică dacă și numai dacă punctele sunt în poziție generală, ceea ce înseamnă că nu există trei puncte pe o linie și toate cele 6 nu se află pe o conică . Ca varietate complexă (sau o varietate algebrică ), suprafața depinde de dispunerea celor 6 puncte. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^ {2} \ # 6 (- \ mathbf {CP} ^ {2})}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$

27 de linii pe o suprafață cubică

Cele mai multe dovezi ale raționalității pentru suprafețele cubice încep prin găsirea unei linii pe suprafață. (În contextul geometriei proiective, o linie este izomorfă pentru .) Mai exact, Arthur Cayley și George Salmon au arătat în 1849 că fiecare suprafață cubică netedă pe un câmp închis algebric conține exact 27 de linii. Aceasta este o trăsătură distinctivă a cubicilor: o suprafață cvadrică netedă (gradul 2) este acoperită de o familie continuă de linii, în timp ce majoritatea suprafețelor de grad de cel puțin 4 în nu conțin linii. O altă tehnică utilă pentru găsirea celor 27 de linii implică calculul Schubert care calculează numărul de linii folosind teoria intersecției Grassmannianului de linii de pe . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Deoarece coeficienții unei suprafețe cubice complexe netede sunt variați, cele 27 de linii se mișcă continuu. Ca rezultat, o buclă închisă din familia suprafețelor cubice netede determină o permutare a celor 27 de linii. Grupul de permutări ale celor 27 de linii care apar în acest fel se numește grupul monodromia al familiei de suprafete cubice. O descoperire remarcabilă din secolul al XIX-lea a fost că grupul de monodromie nu este nici banal, nici întregul grup simetric ; este un grup de ordine 51840 , care acționează tranzitiv asupra setului de linii. Acest grup a fost recunoscut treptat (de Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) și Patrick du Val (1936)) ca grupul de tip Weyl , un grup generat de reflecții asupra unui spațiu vectorial real în 6 dimensiuni, legat de grupul Lie de dimensiunea 78. ${\ displaystyle S_ {27}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Același grup de ordine 51840 poate fi descris în termeni combinatori, ca grupul de automorfism al graficului celor 27 de linii, cu un vârf pentru fiecare linie și o margine ori de câte ori se întâlnesc două linii. Acest grafic a fost analizat în secolul al XIX-lea folosind subgrafe precum configurația Schläfli double six . Graficul complementar (cu o margine ori de câte ori două linii sunt disjuncte) este cunoscut sub numele de graficul Schläfli .

Multe probleme legate de suprafețele cubice pot fi rezolvate folosind combinația sistemului rădăcină . De exemplu, cele 27 de linii pot fi identificate cu greutățile reprezentării fundamentale a grupului Lie . Seturile posibile de singularități care pot apărea pe o suprafață cubică pot fi descrise în termeni de subsisteme ale sistemului rădăcină. O explicație pentru această conexiune este că rețeaua apare ca complement ortogonal la clasa anticanonică din grupul Picard , cu forma sa de intersecție (provenind din teoria intersecției curbelor pe o suprafață). Pentru o suprafață cubică complexă netedă, rețeaua Picard poate fi identificată și cu grupul de cohomologie . ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbf {Z})}$

Un punct Eckardt este un punct în care 3 din cele 27 de linii se întâlnesc. Majoritatea suprafețelor cubice nu au punct Eckardt, dar astfel de puncte apar pe o subset de codimensiune -1 din familia tuturor suprafețelor cubice netede.

Având în vedere o identificare între o suprafață cubică pe X și explozia de la 6 puncte în poziție generală, cele 27 de linii de pe X pot fi privite ca: cele 6 curbe excepționale create prin suflare, transformările birationale ale celor 15 linii prin perechi dintre cele 6 puncte și transformările birationale ale celor 6 conice conținând toate cele 6 puncte, cu excepția unuia. O anumită suprafață cubică poate fi privită ca o explozie în mai multe moduri (de fapt, în 72 de moduri diferite), astfel încât o descriere ca o explozie nu dezvăluie simetria între toate cele 27 de linii. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$

Relația dintre suprafețele cubice și sistemul radicular se generalizează la o relație între toate suprafețele del Pezzo și sistemele radiculare. Aceasta este una dintre multele clasificări ADE în matematică. Urmărind aceste analogii, Vera Serganova și Alexei Skorobogatov au dat o relație geometrică directă între suprafețele cubice și grupul Lie . ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

În fizică, cele 27 de linii pot fi identificate cu cele 27 de acuzații posibile de M-teorie pe un șase dimensiuni torus (6 Impulsul; 15 membrane ; 6 fivebranes ) și grupa E ₆ , atunci în mod natural acționează ca U-dualitate grup. Această hartă între suprafețele del Pezzo și teoria M pe tori este cunoscută sub numele de dualitate misterioasă .

Suprafețe cubice speciale

Suprafața cubică complexă netedă cu cel mai mare grup de automorfism este suprafața cubică Fermat, definită de ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0.}$

Grupul său de automorfism este o extensie , de ordinul 648. ${\ displaystyle 3 ^ {3}: S_ {4}}$

Următoarea suprafață cubică netedă cea mai simetrică este suprafața Clebsch , care poate fi definită prin cele două ecuații ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {4}}$

${\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3} = 0.}$

Grupul său de automorfism este grupul simetric , de ordinul 120. După o schimbare liniară complexă de coordonate, suprafața Clebsch poate fi definită și prin ecuație ${\ displaystyle S_ {5}}$

${\ displaystyle x ^ {2} y + y ^ {2} z + z ^ {2} w + w ^ {2} x = 0}$

în . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Dintre suprafețele cubice complexe singulare, suprafața cubică nodală a lui Cayley este suprafața unică cu numărul maxim de noduri , 4:

${\ displaystyle wxy + xyz + yzw + zwx = 0.}$

Grupul său de automorfism este , de ordinul 24. ${\ displaystyle S_ {4}}$

Suprafețe cubice reale

Spre deosebire de cazul complex, spațiul suprafețelor cubice netede peste numerele reale nu este conectat în topologia clasică (bazată pe topologia lui R ). Componentele sale conectate (cu alte cuvinte, clasificarea suprafețelor cubice reale netede până la izotopie ) au fost determinate de Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) și HG Zeuthen (1875). Și anume, există 5 clase de isotopie netede reale cubice suprafețe X în , disting prin topologia spațiului de puncte reale . Spațiul punctelor reale este difeomorf fie pentru unirea disjunctă a și sfera 2, unde denotă suma conectată a copiilor r ale planului proiectiv real . În mod corespunzător, numărul de linii reale cuprinse în X este 27, 15, 7, 3 sau 3. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {R})}$${\ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {2}}$

O suprafață cubică reală netedă este rațională peste R dacă și numai dacă spațiul său de puncte reale este conectat, deci în primele patru din cele cinci cazuri anterioare.

Numărul mediu de linii reale pe X este atunci când polinomul definitoriu pentru X este eșantionat la întâmplare din ansamblul Gaussian indus de produsul interior Bombieri . ${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} - 3}$

Spațiul modulului suprafețelor cubice

Două suprafețe cubice netede sunt izomorfe ca soiuri algebrice dacă și numai dacă sunt echivalente cu un automatism liniar de . Teoria invariantă geometrică oferă un spațiu modular al suprafețelor cubice, cu un punct pentru fiecare clasă de izomorfism a suprafețelor cubice netede. Acest spațiu de module are dimensiunea 4. Mai precis, este un subset deschis al spațiului proiectiv ponderat P (12345), de Salmon și Clebsch (1860). În special, este de patru ori rațional. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Conul curbelor

Liniile de pe o suprafață cubică X pe un câmp închis algebric pot fi descrise intrinsec, fără referire la încorporarea lui X în : sunt exact curbele (−1) pe X , adică curbele izomorfe cu care au auto-intersecție - 1. De asemenea, clasele de linii din rețeaua Picard a lui X (sau echivalent grupul clasei divizor ) sunt exact elementele u ale lui Pic ( X ) astfel încât și . (Aceasta folosește faptul că restricția pachetului de linii hiperplan O (1) la X este pachetul de linii anticanonice , prin formula adjuvării .) ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$${\ displaystyle u ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$

Pentru orice varietate proiecțională X , conul de curbe înseamnă conul convex întins de toate curbele din X (în spațiul vectorial real al echivalenței numerice modulo-1 ciclu sau în grupul de omologie dacă câmpul de bază este numărul numerelor complexe). Pentru o suprafață cubică, conul curbelor este întins de cele 27 de linii. În special, este un con rațional poliedric cu un grup mare de simetrie, grupul Weyl al . Există o descriere similară a conului de curbe pentru orice suprafață del Pezzo. ${\ displaystyle N_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle N_ {1} (X) \ cong \ mathbf {R} ^ {7}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Suprafețe cubice peste un câmp

O suprafață cubică netedă X pe un câmp k care nu este închis algebric nu trebuie să fie rațională peste k . Ca un caz extrem, există suprafețe cubice netede peste numerele raționale Q (sau numerele p-adice ) fără puncte raționale , caz în care X cu siguranță nu este rațional. Dacă X ( k ) nu este gol, atunci X este cel puțin unirational peste k , de Beniamino Segre și János Kollár . Pentru k infinit, unirationality implică faptul că setul de k puncte -rational este Zariski densă în X . ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {p}}$

Grupul absolut Galois al lui k permite cele 27 de linii ale lui X peste închiderea algebrică a lui k (printr-un subgrup al grupului Weyl al ). Dacă o orbită a acestei acțiuni constă din linii disjuncte, atunci X este explozia unei suprafețe "mai simple" del Pezzo peste k într-un punct închis. În caz contrar, X are numărul Picard 1. (Grupul Picard al lui X este un subgrup al grupului Picard geometric .) În acest din urmă caz, Segre a arătat că X nu este niciodată rațional. Mai puternic, Yuri Manin a dovedit o afirmație de rigiditate biratională: două suprafețe cubice netede cu numărul Picard 1 pe un câmp perfect k sunt birationale dacă și numai dacă sunt izomorfe. De exemplu, aceste rezultate dau mai multe suprafețe cubice peste Q care sunt unirationale, dar nu raționale. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X _ {\ overline {k}}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$

Suprafețe cubice unice

Spre deosebire de netede suprafețe cubice care conțin 27 de linii, singulare suprafețele cubice conțin mai puține linii. Mai mult, ele pot fi clasificate după tipul de singularitate care apare în forma lor normală. Aceste singularități sunt clasificate folosind diagrame Dynkin .

Clasificare

O suprafață cubică singulară normală în coordonatele locale este declarat a fi în formă normală în cazul în care este dată de . În funcție de tipul de singularitate pe care îl conține, acesta este izomorf pentru suprafața proiecțională dată de unde sunt ca în tabelul de mai jos. Asta înseamnă că putem obține o clasificare a tuturor suprafețelor cubice singulare. Parametrii următorului tabel sunt după cum urmează: sunt trei elemente distincte ale , parametrii sunt și este un element al . Observați că există două suprafețe cubice singulare diferite cu singularitate . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {\ mathbb {C}} ^ {3}}$${\ displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}]}$${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) - f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}} ^ {3}}$${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) - f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle f_ {2}, f_ {3}}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0,1 \}}$${\ displaystyle d, e}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1 \}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle D_ {4}}$

Clasificarea suprafețelor cubice singulare după tipul de singularitate

Singularitate	${\ displaystyle f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$	${\ displaystyle f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -ax_ {1}) (- x_ {0} + (b + 1) x_ {1} -bx_ {2}) (x_ {1} -cx_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -2x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {1}) (x_ {1} -bx_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (- x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} - (a + 1) x_ {1} + ax_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} (x_ {0} - (a + 1) x_ {1} + ax_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (- x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} -2x_ {1} + x_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} (x_ {0} -x_ {2})}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {2}) x_ {1}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} x_ {1}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1} ^ {2}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {3}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {3}}$
${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0} + x_ {1} + x_ {2}) (dx_ {0} + ex_ {1} + dex_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {1} + x_ {2}) (- x_ {1} + dx_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} ^ {3}}$
${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0} + x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} -ux_ {1})}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {3} -x_ {1} x_ {2} ^ {2}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} -x_ {1} x_ {2} ^ {2}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {0} x_ {1} x_ {2}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {2}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {3}}$
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} x_ {2} -x_ {0} (x_ {0} -x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {2})}$

În formă normală, ori de câte ori o suprafață cubică conține cel puțin o singularitate, va avea o singularitate la . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle [0: 0: 0: 1]}$

Linii pe suprafețe cubice singulare

Conform clasificării suprafețelor cubice singulare, următorul tabel arată numărul de linii pe care le conține fiecare suprafață.

Linii pe suprafețe cubice singulare

Singularitate	${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle D_ {4}}$	${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$
Număr de linii	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\ displaystyle \ infty}$

Automorfism grupuri de suprafețe cubice singulare fără parametri

Un automorfism al unei suprafețe cubice normale normale este restricția unui automorfism al spațiului proiectiv la . Astfel de automorfisme păstrează puncte singulare. Mai mult, ele nu permit singularități de diferite tipuri. Dacă suprafața conține două singularități de același tip, automorfismul le poate permuta. Colecția de automorfisme pe o suprafață cubică formează un grup , așa-numitul grup de automorfisme . Tabelul următor prezintă toate grupurile de automorfism de suprafețe cubice singulare fără parametri. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ textbf {P}} ^ {3}}$${\ displaystyle X}$

Automorfism grupuri de suprafețe cubice singulare fără parametri

Singularitate	Grupul de automorfism al ${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {4}}$, grupul simetric al ordinii${\ displaystyle 4!}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^ {\ times}}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C}) ^ {2} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}) \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^ {\ times}}$

Vezi si

• Suprafața algebrică
• Clasificarea Enriques – Kodaira
• Soiul Fano
• Calcul Schubert

Note

Referințe

• Bruce, JW; Wall, CTC (1979), „Despre clasificarea suprafețelor cubice”, Journal of the London Mathematical Society , 19 (2): 245–256, doi : 10.1112 / jlms / s2-19.2.245 , ISSN  0024-6107 , MR  0533323
• Cayley, Arthur (1849), „Pe planurile triple tangente ale suprafețelor de ordinul trei” , Cambridge și Dublin Math. J. , 4 : 118-138
• Cayley, Arthur (1869), „A memoir on cubic surfaces”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Society, 159 : 231–326, doi : 10.1098 / rstl.1869.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108997
• Degtyarev, AI; Kharlamov, VM (2000), "Proprietăți topologice ale soiurilor algebrice reale: calea lui Rokhlin.", Russian Mathematical Surveys , 55 (4): 735-814, arXiv : math / 0004134 , doi : 10.1070 / RM2000v055n04ABEH000315 , MR  1786731
• Dolgachev, Igor (2012), Geometrie algebrică clasică: o viziune modernă , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9781139084437 , ISBN 9781139084437, MR  2964027
• Robin Hartshorne (1997) [1977]. Geometrie algebrică . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157 .
• Henderson, Archibald (2015) [1911], Cele douăzeci și șapte de linii de pe suprafața cubică , Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-1107493513, JFM  42.0661.01
• Holzer, Stephan; Labs, Oliver (2006), „Ilustrarea clasificării suprafețelor cubice reale” (PDF) , geometrie algebrică și modelare geometrică , Springer, pp. 119–134, MR  2279847
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Suprafața cubică" , Enciclopedia Matematicii , EMS Press
• Kollár, János ; Smith, Karen E .; Corti, Alessio (2004), Soiuri raționale și aproape raționale , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511734991 , ISBN 978-0-521-83207-6, MR  2062787 , S2CID  117569533
• Manin, Yuri Ivanovich (1986), Forme cubice , North-Holland Mathematical Library, 4 (ediția a doua), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6, MR  0833513
• Reid, Miles (1988). Geometrie algebrică de licență . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-35662-6. MR  0982494 .
• Schläfli, Ludwig (1863), „Despre distribuția suprafețelor de ordinul al treilea în specii, cu referire la absența sau prezența punctelor singulare și la realitatea liniilor lor”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , The Royal Society, 153 : 193–241, doi : 10.1098 / rstl.1863.0010 , ISSN  0080-4614 , JSTOR  108795
• Segre, Beniamino (1942), The non-singular cubic surfaces , Oxford University Press , MR  0008171
• Serganova, Vera ; Skorobogatov, Alexei (2007), "Suprafețele Del Pezzo și teoria reprezentării", Algebra și teoria numerelor , 1 (4): 393-419, doi : 10.2140 / ant.2007.1.393 , MR  2368955
• Silhol, Robert (1989), Real algebraic surfaces , Lecture Notes in Mathematics, 1392 , Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0088815 , ISBN 3-540-51563-1, MR  1015720

linkuri externe

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Suprafață cubică” , arhiva MacTutor History of Mathematics , Universitatea din St Andrews
• Linii pe o suprafață cubică de Ryan Hoban (Laboratorul de geometrie experimentală de la Universitatea din Maryland), bazat pe lucrarea lui William Goldman, The Wolfram Demonstrations Project .
• Cubic Suprafețele DVD (54 animatiile de suprafete cubice, descărcabile sau separat ca DVD)