Set de putere

În matematică , mulțimea de puteri a unei mulțimi date este o altă mulțime alcătuită din toate submulțimile unei mulțimi date. De exemplu, având în vedere setul:

$A=\{1,2,3\}$

setul de putere este:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{2.3\},\ {1,3\},\{1,2,3\}\}$

Setul de puteri a se mai numește și mulțimea părților lui , sau mulțimea părților lui și se notează cu , unde este cardinalul părților lui , adică . $A$$A$$A$${\mathcal {P}}(A)$$2^{|A|}$$A$$|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

Definiție

Setul de puteri a lui A este clasa sau colecția submulțimii lui A :

Setul de putere al (sau setul de părți sau setul de părți ) este setul format din toate subseturile de$A$${\mathcal {P}}(A)$$A:$ $b\in {\mathcal {P}}(A){\text {când }}b\subseteq A$

exemple

• Setul de puteri a lui A = { a , 2, c } este:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c \},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• Setul de puteri a lui B = { x } este:

${\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}$

Proprietăți

Setul de putere al oricărui set conține cel puțin un subset. De asemenea, nu este echipotent cu baza. ]

Setul gol este în setul de putere al oricărui set: $\varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , pentru orice }}A$ Orice set este întotdeauna un element al setului său de putere: $A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , pentru orice }}A$

Cardinal

Ori de câte ori mulțimea goală nu este un element al unei mulțimi, este valabil următoarele: numărul de elemente din setul de puteri este exact o putere a numărului de elemente din mulțimea originală:

Cardinalitatea mulțimii de puteri a unei mulțimi finite A este 2 ridicată la cardinalitatea lui A : $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

^Această relație este originea notației 2A pentru setul de puteri. O modalitate de a deduce este prin intermediul coeficienților binomi . Dacă mulțimea A are n elemente, numărul de submulțimi cu k elemente este egal cu numărul combinatoric C ( n , k ) . O submulțime a lui A poate avea cel puțin 0 elemente și cel mult n și, prin urmare:

$|{\mathcal {P}}(A)|={n \alegeți 0}+{n \alegeți 1}+\ldots +{n \alegeți k}+\ldots +{n \alegeți n}= 2^{n}=2^{|A|}$

Această relație poate fi demonstrată și notând că mulțimea de puteri a lui A este echivalentă cu mulțimea de funcții cu domeniul A și codomeniul {0, 1} , f  : A → {0, 1} . Fiecare funcție corespunde apoi unui submult, dacă imaginea unui element este interpretată ca un indicator al faptului că acel element aparține subsetului: 0 indică „nu aparține”, 1 indică „aparține”. Numărul acestor funcții caracteristice ale lui A este exact 2n , ^dacă | Pentru | = n .

În cazul unei mulțimi infinite, identificarea între submulțimi și funcții este la fel de valabilă, iar cardinalitatea mulțimii de puteri rămâne egală cu 2 ^{| Pentru |} , în ceea ce privește infinitii cardinali și aritmetica lor. Setul de puteri are întotdeauna o cardinalitate mai mare decât mulțimea inițială, așa cum este afirmat de teorema lui Cantor , deci nu există niciodată o mapare bijectivă între o mulțime și setul său de puteri.

• Minimul cardinalilor setului de puteri este 1, exact cel al setului de puteri al setului gol ]

algebră booleană

Setul de puteri a unei mulțimi date are o structură de algebră booleană, luând în considerare operațiile de unire , intersecție și complement și este folosit în mod obișnuit ca exemplu de astfel de structură. De fapt, o algebră booleană finită este întotdeauna izomorfă cu algebra booleană a mulțimii de puteri a unei mulțimi finite. În cazul general, inclusiv algebrele infinite, o algebră booleană este întotdeauna izomorfă cu o subalgebră a unui set de puteri.

Axioma setului de putere

În teoria mulțimilor axiomatice , existența mulțimii de puteri în general nu poate fi dovedită din proprietăți mai de bază, deci este postulată printr-o axiomă. Fără această axiomă nu este posibilă demonstrarea existenței unor mulțimi nenumărate .

Referințe

• Jech, Thomas (2003). «7. Filtre, ultrafiltre și algebre booleene”. Teoria multimelor . Monografii Springer în matematică ( ediția a 3-a). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . 
• Lipschutz, Seymour (1998). «1.9. Clase de seturi, seturi de putere. Teoria seturilor și subiecte conexe . McGraw-Hill. ISBN  0-07-038159-3 .