Conjunto de força

Em matemática , o conjunto de potência de um determinado conjunto é outro conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto dado. Por exemplo, dado o conjunto:

${\estilo de exibição A=\{1,2,3\}}$

o conjunto de potência é:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{2.3 \},\ {1,3\},\{1,2,3\}\}$

O conjunto de potência de também é chamado de conjunto das partes de , ou conjunto de partes de e é denotado por , onde é o cardinal das partes de , ou seja, . $UMA$$UMA$$UMA$${\mathcal {P}}(A)$${\estilo de exibição 2^{|A|}}$$UMA$$|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

Definição

O conjunto de potência de A é a classe ou coleção dos subconjuntos de A :

O conjunto de potência de (ou conjunto de partes ou conjunto das partes ) é o conjunto que consiste em todos os subconjuntos de$UMA$${\mathcal {P}}(A)$${\estilo de exibição A:}$ $b\in {\mathcal {P}}(A){\text{ quando }}b\subseteq A$

exemplos

• O conjunto de potências de A = { a , 2, c } é:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c \},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• O conjunto de potências de B = { x } é:

${\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}$

Propriedades

O conjunto de potência de qualquer conjunto contém pelo menos um subconjunto. Além disso, não é equipotente com a base. ]

O conjunto vazio está no conjunto de potência de qualquer conjunto: $\varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , para qualquer }}A$ Qualquer conjunto é sempre um elemento do seu conjunto de potências: $A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , para qualquer }}A$

Cardeal

Sempre que o conjunto vazio não é um elemento de um conjunto, vale o seguinte: O número de elementos no conjunto de potência é precisamente uma potência do número de elementos no conjunto original:

A cardinalidade do conjunto potência de um conjunto finito A é 2 elevado à cardinalidade de A : $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

^Esta relação é a origem da notação 2A para o conjunto de potências. Uma maneira de deduzir é através dos coeficientes binomiais . Se o conjunto A tem n elementos, o número de subconjuntos com k elementos é igual ao número combinatório C ( n , k ) . Um subconjunto de A pode ter pelo menos 0 elementos e no máximo n e, portanto:

$|{\mathcal {P}}(A)|={n \escolha 0}+{n \escolha 1}+\ldots +{n \escolha k}+\ldots +{n \escolha n}= 2^{n}=2^{|A|}$

Essa relação também pode ser provada observando que o conjunto potência de A é equivalente ao conjunto de funções com domínio A e contradomínio {0, 1} , f  : A → {0, 1} . Cada função corresponde então a um subconjunto, se a imagem de um elemento for interpretada como um indicador de que aquele elemento pertence ao subconjunto: 0 indica "não pertence", 1 indica "pertence". O número dessas funções características de A é precisamente 2n , ^se | Para | = n .

No caso de um conjunto infinito, a identificação entre subconjuntos e funções é igualmente válida, e a cardinalidade do conjunto de potências permanece igual a 2 ^{| Para |} , em termos de cardeais infinitos e sua aritmética. O conjunto de potências sempre tem uma cardinalidade maior do que o conjunto original, como afirma o teorema de Cantor , de modo que nunca há um mapeamento bijetivo entre um conjunto e seu conjunto de potências.

• O mínimo dos cardeais dos conjuntos de potências é 1, exatamente o do conjunto de potências do conjunto vazio ]

Álgebra Booleana

O conjunto potência de um determinado conjunto possui uma estrutura de álgebra booleana, considerando as operações de união , interseção e complemento , e é comumente usado como exemplo de tal estrutura. De fato, uma álgebra booleana finita é sempre isomórfica à álgebra booleana do conjunto de potências de algum conjunto finito. No caso geral - incluindo álgebras infinitas - uma álgebra booleana é sempre isomórfica a uma subálgebra de um conjunto de potências.

Axioma do conjunto de potência

Na teoria axiomática dos conjuntos , a existência do conjunto de potências em geral não pode ser provada a partir de propriedades mais básicas, por isso é postulada por meio de um axioma. Sem este axioma não é possível provar a existência de conjuntos incontáveis .

Referências

• Jech, Thomas (2003). «7. Filtros, Ultrafiltros e Álgebras Booleanas”. Teoria dos Conjuntos . Monografias Springer em Matemática ( 3ª edição). Berlim, Nova York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . 
• Lipschutz, Seymour (1998). «1.9. Classes de conjuntos, conjuntos de potência. Teoria dos Conjuntos e Tópicos Relacionados . McGraw-Hill. ISBN  0-07-038159-3 .