Macht gesetzt

In der Mathematik ist die Potenzmenge einer gegebenen Menge eine weitere Menge, die aus allen Teilmengen der gegebenen Menge besteht. Zum Beispiel bei gegebenem Satz:

$A=\{1,2,3\}$

Der Leistungssatz ist:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{2.3 \},\ {1,3\},\{1,2,3\}\}$

Die Potenzmenge von wird auch als Menge der Teile von bezeichnet, oder die Menge der Teile von und wird mit bezeichnet , wobei die Kardinalzahl der Teile von ist, also . $EIN$$EIN$$EIN$${\mathcal {P}}(A)$$2^{|A|}$$EIN$$|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

Definition

Die Potenzmenge von A ist die Klasse oder Sammlung der Teilmengen von A :

Die Potenzmenge von (oder Menge von Teilen oder Menge der Teile ) ist die Menge , die aus allen Teilmengen von besteht$EIN$${\mathcal {P}}(A)$$A:$ $b\in {\mathcal {P}}(A){\text{ wenn }}b\subseteq A$

Beispiele

• Die Potenzmenge von A = { a , 2, c } ist:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c \},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• Die Potenzmenge von B = { x } ist:

${\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}$

Eigenschaften

Die Potenzmenge jeder Menge enthält mindestens eine Teilmenge. Außerdem ist es nicht gleich stark mit der Basis. ]

Die leere Menge ist in der Potenzmenge jeder Menge: $\varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , for any }}A$ Jede Menge ist immer ein Element ihrer Potenzmenge: $A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , for any }}A$

Kardinal

Immer wenn die leere Menge kein Element einer Menge ist, gilt: Die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge ist genau eine Potenz der Anzahl der Elemente in der ursprünglichen Menge:

Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer endlichen Menge A ist 2 erhöht auf die Mächtigkeit von A : $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

^Diese Beziehung ist der Ursprung der 2A - Notation für die Potenzmenge. Eine Möglichkeit, dies abzuleiten, sind die Binomialkoeffizienten . Wenn die Menge A n Elemente hat , ist die Anzahl der Teilmengen mit k Elementen gleich der kombinatorischen Zahl C ( n , k ) . Eine Teilmenge von A kann mindestens 0 Elemente und höchstens n haben, und daher:

$|{\mathcal {P}}(A)|={n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose k}+\ldots +{n \choose n}= 2^{n}=2^{|A|}$

Diese Beziehung kann auch dadurch bewiesen werden, dass die Potenzmenge von A äquivalent ist zur Menge der Funktionen mit Domäne A und Kodomäne {0, 1} , f  : A → {0, 1} . Jede Funktion entspricht dann einer Teilmenge, wenn das Bild eines Elements als Indikator dafür interpretiert wird, ob dieses Element zur Teilmenge gehört: 0 bedeutet "gehört nicht dazu", 1 bedeutet "gehört dazu". Die Anzahl dieser charakteristischen Funktionen von A ist genau 2n , ^falls | An | = n .

Im Fall einer unendlichen Menge ist die Identifikation zwischen Teilmengen und Funktionen gleichermaßen gültig, und die Kardinalität der Potenzmenge bleibt gleich 2 ^{| An |} , in Bezug auf unendliche Kardinalzahlen und ihre Arithmetik. Die Potenzmenge hat immer eine höhere Kardinalität als die ursprüngliche Menge, wie im Satz von Cantor angegeben , sodass es niemals eine bijektive Abbildung zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge gibt.

• Das Minimum der Kardinalzahlen von Potenzmengen ist 1, genau das der Potenzmenge der leeren Menge ]

Boolesche Algebra

Die Potenzmenge einer gegebenen Menge hat eine boolesche Algebrastruktur unter Berücksichtigung der Operationen von Vereinigung , Schnittmenge und Komplement und wird allgemein als Beispiel für eine solche Struktur verwendet. Tatsächlich ist eine endliche Boolesche Algebra immer isomorph zur Booleschen Algebra der Potenzmenge einer endlichen Menge. Im allgemeinen Fall – einschließlich unendlicher Algebren – ist eine Boolesche Algebra immer isomorph zu einer Unteralgebra einer Potenzmenge.

Potenzsatz-Axiom

In der axiomatischen Mengenlehre kann die Existenz der Potenzmenge im Allgemeinen nicht aus grundlegenderen Eigenschaften bewiesen werden, daher wird sie über ein Axiom postuliert. Ohne dieses Axiom ist es nicht möglich, die Existenz überabzählbarer Mengen zu beweisen .

Referenzen

• Jech, Thomas (2003). «7. Filter, Ultrafilter und Boolesche Algebren“. Mengenlehre . Springer Monographien in Mathematik ( 3. Auflage). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . 
• Lipschutz, Seymour (1998). «1.9. Mengenklassen, Potenzmengen. Mengenlehre und verwandte Themen . McGraw-Hill. ISBN  0-07-038159-3 .