Kraftsett

I matematikk er kraftsettet til et gitt sett et annet sett som består av alle delmengdene til det gitte settet. For eksempel gitt settet:

$A=\{1,2,3\}$

kraftsettet er:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{2.3 \},\ {1,3\},\{1,2,3\}\}$

Kraftsettet av kalles også settet av delene av , eller settet med deler av og er betegnet med , hvor er kardinal av delene av , det vil si . $EN$$EN$$EN$${\mathcal {P}}(A)$$2^{|A|}$$EN$$|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

Definisjon

Potensmengden til A er klassen eller samlingen av delmengdene til A :

Effektsettet av (eller settet av deler eller settet av delene ) er settet som består av alle delmengder av$EN$${\mathcal {P}}(A)$$A:$ $b\in {\mathcal {P}}(A){\text{ when }}b\subseteq A$

eksempler

• Potensmengden til A = { a , 2, c } er:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c \},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• Potensmengden til B = { x } er:

${\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}$

Egenskaper

Effektsettet til ethvert sett inneholder minst ett delsett. Dessuten er den ikke ekvipotent med basen. ]

Det tomme settet er i strømsettet til ethvert sett: $\varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , for enhver }}A$ Ethvert sett er alltid et element i kraftsettet: $A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , for enhver }}A$

Kardinal

Når det tomme settet ikke er et element i et sett, gjelder følgende: Antall elementer i potenssettet er nøyaktig en potens av antall elementer i det originale settet:

Kardinaliteten til potensmengden til et begrenset sett A er 2 hevet til kardinaliteten til A : $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

^Denne relasjonen er opprinnelsen til 2A - notasjonen for kraftsettet. En måte å utlede det på er gjennom de binomiale koeffisientene . Hvis mengden A har n elementer, er antall delmengder med k elementer lik det kombinatoriske tallet C ( n , k ) . En delmengde av A kan ha minst 0 elementer, og maksimalt n , og derfor:

$|{\mathcal {P}}(A)|={n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose k}+\ldots +{n \choose n}= 2^{n}=2^{|A|}$

Denne sammenhengen kan også bevises ved å merke seg at potensmengden til A er ekvivalent med settet av funksjoner med domene A og codomene {0, 1} , f  : A → {0, 1} . Hver funksjon tilsvarer da en delmengde, hvis bildet av et element tolkes som en indikator på om det elementet tilhører delmengden: 0 indikerer "hører ikke til", 1 indikerer "tilhører". Antallet av disse karakteristiske funksjonene til A er nøyaktig 2n , ^hvis | Til | = n .

I tilfelle av en uendelig mengde, er identifiseringen mellom delmengder og funksjoner like gyldig, og kardinaliteten til potensmengden forblir lik 2 ^{| Til |} , når det gjelder uendelige kardinaler og deres aritmetikk. Potensmengden har alltid en høyere kardinalitet enn den opprinnelige mengden, som angitt av Cantors teorem , så det er aldri en bijektiv kartlegging mellom et sett og dets potensmengde.

• Minimum av kardinalene av kraftsett er 1, nøyaktig det for maktsettet til det tomme settet ]

Boolsk algebra

Kraftsettet til et gitt sett har en boolsk algebrastruktur, med tanke på operasjonene til union , skjæringspunkt og komplement , og brukes ofte som et eksempel på en slik struktur. Faktisk er en endelig boolsk algebra alltid isomorf til den boolske algebraen til potensmengden til en eller annen begrenset mengde. I det generelle tilfellet - inkludert uendelige algebraer - er en boolsk algebra alltid isomorf til en subalgebra av et potenssett.

Kraftsettaksiom

I aksiomatisk settteori kan ikke eksistensen av kraftsettet generelt bevises fra mer grunnleggende egenskaper, så det postuleres via et aksiom. Uten dette aksiomet er det ikke mulig å bevise eksistensen av utallige sett .

Referanser

• Jech, Thomas (2003). «7. Filtre, ultrafiltre og boolske algebraer". Settteori . Springer Monographs in Mathematics ( 3. utgave). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . 
• Lipschutz, Seymour (1998). «1.9. Klasser av sett, kraftsett. Settteori og relaterte emner . McGraw-Hill. ISBN  0-07-038159-3 .