Teljesítménykészlet

A matematikában egy adott halmaz hatványhalmaza egy másik halmaz, amely az adott halmaz összes részhalmazából áll. Például a készlet alapján:

$A=\{1,2,3\}$

a teljesítménykészlet a következő:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{2.3 \},\ {1,3\},\{1,2,3\}\}$

A hatványhalmazt a részeinek halmazának vagy a részeinek halmazának is nevezik , és a -val jelöljük , ahol a részeinek kardinálisa , azaz . $A$$A$$A$${\mathcal {P}}(A)$$2^{|A|}$$A$$|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

Definíció

Az A hatványkészlete az A részhalmazainak osztálya vagy gyűjteménye :

A hatványkészlet (vagy részek halmaza vagy részek halmaza ) az a halmaz , amely az összes részhalmazából áll$A$${\mathcal {P}}(A)$$A:$ $b\in {\mathcal {P}}(A){\text{, amikor }}b\subseteq A$

példák

• Az A = { a , 2, c } hatványkészlete :

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c \},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• A B = { x } hatványkészlete :

${\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}$

Tulajdonságok

Bármely halmaz hatványkészlete legalább egy részhalmazt tartalmaz. Ezenkívül nem egyenértékű az alappal. ]

Az üres készlet bármelyik készlet teljesítménykészletében található: $\varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , bármely }}A$ Bármely halmaz mindig eleme a hatványkészletének: $A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , bármely }}A$

Cardinal

Ha az üres halmaz nem egy halmaz eleme, a következők érvényesek: A hatványkészlet elemeinek száma pontosan az eredeti halmaz elemszámának hatványa:

Egy véges A halmaz hatványhalmazának a 2- vel A számosságára emeljük : $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

^Ez az összefüggés a hatványkészlet 2A jelölésének origója. Ennek egyik módja a binomiális együtthatók . Ha az A halmaz n elemű , akkor a k elemű részhalmazok száma megegyezik a C ( n , k ) kombinatorikai számmal . A részhalmaza legalább 0 elemet tartalmazhat, és legfeljebb n elemet tartalmazhat, ezért:

$|{\mathcal {P}}(A)|={n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose k}+\ldots +{n \choose n}= 2^{n}=2^{|A|}$

Ezt az összefüggést úgy is bizonyíthatjuk, hogy megjegyezzük, hogy A hatványkészlete ekvivalens az A tartományú és a { 0, 1} , f  : A → {0, 1} kódtartományú függvények halmazával . Ekkor minden függvény egy részhalmaznak felel meg, ha egy elem képe annak jelzőjeként értelmeződik, hogy az adott elem a részhalmazhoz tartozik-e: a 0 a "nem tartozik", az 1 a "tartozik". Az A karakterisztikus függvényeinek száma pontosan 2n , ^ha | To | = n .

Végtelen halmaz esetén a részhalmazok és a függvények közötti azonosítás egyformán érvényes, és a hatványhalmaz számossága egyenlő marad 2 ^{| To |} , a végtelen bíborosok és azok aritmetikája szempontjából. A hatványhalmaz mindig nagyobb kardinalitású, mint az eredeti halmaz, amint azt a Cantor-tétel is kimondja , így soha nincs bijektív leképezés egy halmaz és hatványkészlete között.

• A hatványhalmazok kardinálisainak minimuma 1, pontosan az üres halmaz hatványkészletének ]

Boole algebra

Egy adott halmaz hatványkészletének logikai algebrai struktúrája van, figyelembe véve az unió , a metszés és a komplement műveleteit , és általában példaként használják egy ilyen szerkezetre. Valójában egy véges Boole-algebra mindig izomorf valamilyen véges halmaz hatványkészletének Boole-algebrájával. Általános esetben – beleértve a végtelen algebrákat is – a Boole-algebra mindig izomorf egy hatványhalmaz részalgebrájával.

Hatványkészlet axióma

Az axiomatikus halmazelméletben a hatványhalmaz létezése általában nem igazolható több alapvető tulajdonságból, ezért egy axiómán keresztül tételezzük fel. Ezen axióma nélkül nem lehet bizonyítani megszámlálhatatlan halmazok létezését .

Hivatkozások

• Jech, Thomas (2003). «7. Szűrők, Ultraszűrők és Boole-algebrák”. Halmazelmélet . Springer-monográfiák a matematikában ( 3. kiadás). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . 
• Lipschutz, Seymour (1998). «1.9. Halmazok osztályai, teljesítménykészletek. Halmazelmélet és kapcsolódó témák . McGraw-Hill. ISBN  0-07-038159-3 .