Tehosarja

Matematiikassa tietyn joukon potenssijoukko on toinen joukko, joka koostuu tietyn joukon kaikista osajoukoista. Esimerkiksi sarjan perusteella:

$A=\{1,2,3\}$

tehosarja on:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{2.3 \},\ {1,3\},\{1,2,3\}\}$

Potenttijoukkoa kutsutaan myös osien joukkoksi tai osien joukkoksi ja sitä merkitään , jossa on osien kardinaali eli . $A$$A$$A$${\mathcal {P}}(A)$$2^{|A|}$$A$$|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

Määritelmä

A: n potenssijoukko on A :n osajoukkojen luokka tai kokoelma :

Potenssijoukko ( tai osien joukko tai osien joukko ) on joukko , joka koostuu kaikista osajoukoista$A$${\mathcal {P}}(A)$${\näyttötyyli A:}$ $b\in {\mathcal {P}}(A){\text{ kun }}b\subseteq A$

esimerkkejä

• Tehojoukko A = { a , 2, c } on:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c \},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• Tehojoukko B = { x } on:

${\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}$

Ominaisuudet

Minkä tahansa joukon tehojoukko sisältää vähintään yhden osajoukon. Se ei myöskään ole yhtä tehokas pohjan kanssa. ]

Tyhjä sarja on minkä tahansa sarjan tehojoukossa : $\varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , mille tahansa }}A$ Mikä tahansa joukko on aina sen tehojoukon elementti: $A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , mille tahansa }}A$

Cardinal

Aina kun tyhjä joukko ei ole joukon alkio, seuraava pätee: Potenssijoukon alkioiden lukumäärä on täsmälleen potenssi alkuperäisen joukon alkioiden lukumäärästä:

Äärillisen joukon A potenssijoukon kardinaalisuus on 2 korotettuna A :n kardinaalisuuteen : $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

^Tämä relaatio on tehojoukon 2A - merkinnän alkuperä . Yksi tapa päätellä se on binomikertoimien avulla . Jos joukossa A on n alkiota, k -alkioisten osajoukkojen lukumäärä on yhtä suuri kuin kombinatorinen luku C ( n , k ) . A :n osajoukossa voi olla vähintään 0 elementtiä ja enintään n , ja siksi:

$|{\mathcal {P}}(A)|={n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose k}+\ldots +{n \choose n}= 2^{n}=2^{|A|}$

Tämä suhde voidaan myös todistaa toteamalla, että A :n potenssijoukko vastaa funktioiden joukkoa, joilla on verkkoalue A ja koodialue {0, 1} , f  : A → {0, 1} . Jokainen funktio vastaa sitten osajoukkoa, jos elementin kuva tulkitaan indikaattoriksi siitä, kuuluuko kyseinen elementti osajoukkoon: 0 tarkoittaa "ei kuulu", 1 tarkoittaa "kuuluu". Näiden A :n ominaisfunktioiden lukumäärä on täsmälleen 2n , ^jos | Vastaanottaja | = n .

Äärettömän joukon tapauksessa osajoukkojen ja funktioiden välinen identifiointi on yhtä pätevä ja potenssijoukon kardinaalisuus on yhtä suuri kuin 2 ^{| Vastaanottaja |} , mitä tulee äärettömiin kardinaaleihin ja niiden aritmetiikkaan. Cantorin lauseen mukaan potenssijoukolla on aina suurempi kardinaliteetti kuin alkuperäisellä joukolla, joten joukon ja sen potenssijoukon välillä ei ole koskaan bijektiivista kuvausta .

• Potenssijoukkojen kardinaalien minimi on 1, täsmälleen tyhjän joukon potenssijoukon ]

Boolen algebra

Tietyn joukon potenssijoukolla on Boolen algebrarakenne, kun otetaan huomioon liiton , leikkauspisteen ja komplementin operaatiot , ja sitä käytetään yleisesti esimerkkinä tällaisesta rakenteesta. Itse asiassa äärellinen Boolen algebra on aina isomorfinen jonkin äärellisen joukon potenssijoukon Boolen algebralle. Yleisessä tapauksessa – mukaan lukien äärettömät algebrat – Boolen algebra on aina isomorfinen potenssijoukon osabalgebralle.

Tehojoukon aksiooma

Aksiomaattisessa joukkoteoriassa potenssijoukon olemassaoloa ei yleensä voida todistaa perusominaisuuksilla, joten se oletetaan aksiooman kautta. Ilman tätä aksioomaa ei ole mahdollista todistaa lukemattomien joukkojen olemassaoloa .

Viitteet

• Jech, Thomas (2003). «7. Suodattimet, ultrasuodattimet ja Boolen algebrat”. Joukkoteoria . Springer Monographs in Mathematics ( 3. painos). Berliini, New York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . 
• Lipschutz, Seymour (1998). «1.9. Sarjojen luokat, tehosarjat. Joukkoteoria ja siihen liittyvät aiheet . McGraw-Hill. ISBN  0-07-038159-3 .