Set di potenza

In matematica , l' insieme di potenze di un dato insieme è un altro insieme composto da tutti i sottoinsiemi di un dato insieme. Ad esempio, dato l'insieme:

$A=\{1,2,3\}$

la potenza impostata è:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{2.3 \},\ {1,3\},\{1,2,3\}\}$

L'insieme delle potenze di è anche chiamato l'insieme delle parti di , o l'insieme delle parti di ed è indicato da , dove è il cardinale delle parti di , cioè . $UN$$UN$$UN$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$$2^{|A|}$$UN$$|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

Definizione

Il power set di A è la classe o la raccolta dei sottoinsiemi di A :

L' insieme di potenza di (o insieme di parti o insieme di parti ) è l'insieme costituito da tutti i sottoinsiemi di$UN$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$${\ displaystyle A:}$ ${\ displaystyle b \ in {\ mathcal {P}} (A) {\ text { quando }} b \ subseteq A}$

esempi

• L'insieme delle potenze di A = { a , 2, c } è:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c \},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• L'insieme delle potenze di B = { x } è:

${\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing,\{x\}\}$

Proprietà

Il power set di qualsiasi set contiene almeno un sottoinsieme. Inoltre, non è equipotente con la base. ]

Il set vuoto è nel set di potenza di qualsiasi set: $\varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{, per qualsiasi }}A$ Ogni insieme è sempre un elemento del suo insieme di poteri: $A\in {\mathcal {P}}(A){\text{, per qualsiasi }}A$

Cardinale

Ogni volta che l'insieme vuoto non è un elemento di un insieme, vale quanto segue: Il numero di elementi nell'insieme di potenza è precisamente una potenza del numero di elementi nell'insieme originale:

La cardinalità dell'insieme di potenze di un insieme finito A è 2 elevata alla cardinalità di A : $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

^Questa relazione è l'origine della notazione 2A per il power set. Un modo per dedurlo è attraverso i coefficienti binomiali . Se l'insieme A ha n elementi, il numero di sottoinsiemi con k elementi è uguale al numero combinatorio C ( n , k ) . Un sottoinsieme di A può avere almeno 0 elementi, e al massimo n , e quindi:

$|{\mathcal {P}}(A)|={n \scegli 0}+{n \scegli 1}+\ldots +{n \scegli k}+\ldots +{n \scegli n}= 2^{n}=2^{|A|}$

Questa relazione può anche essere dimostrata osservando che l'insieme delle potenze di A è equivalente all'insieme delle funzioni con dominio A e codominio {0, 1} , f  : A → {0, 1} . Ogni funzione corrisponde quindi a un sottoinsieme, se l' immagine di un elemento viene interpretata come indicatore dell'appartenenza di quell'elemento al sottoinsieme: 0 indica "non appartiene", 1 indica "appartiene". Il numero di queste funzioni caratteristiche di A è precisamente 2n , ^se | A | = n .

Nel caso di un insieme infinito, l'identificazione tra sottoinsiemi e funzioni è ugualmente valida e la cardinalità dell'insieme di potenze rimane uguale a 2 ^{| A |} , in termini di cardinali infiniti e loro aritmetica. L'insieme di potenze ha sempre una cardinalità più alta dell'insieme originale, come affermato dal teorema di Cantor , quindi non c'è mai una mappatura biiettiva tra un insieme e il suo insieme di potenze.

• Il minimo dei cardinali degli insiemi di potenze è 1, esattamente quello dell'insieme di potenze dell'insieme vuoto ]

Algebra booleana

L'insieme di potenze di un dato insieme ha una struttura algebra booleana, considerando le operazioni di unione , intersezione e complemento , ed è comunemente usato come esempio di tale struttura. In effetti, un'algebra booleana finita è sempre isomorfa all'algebra booleana dell'insieme di potenze di un insieme finito. Nel caso generale, comprese le algebre infinite, un'algebra booleana è sempre isomorfa a una sottoalgebra di un insieme di potenze.

Assioma di potenza

Nella teoria degli insiemi assiomatici , l'esistenza dell'insieme di potenze in generale non può essere dimostrata da proprietà più basilari, quindi è postulata tramite un assioma. Senza questo assioma non è possibile provare l'esistenza di insiemi non numerabili .

Riferimenti

• Jech, Thomas (2003). «7. Filtri, Ultrafiltri e Algebre Booleane”. Teoria degli insiemi . Springer Monographs in Mathematics ( 3a edizione). Berlino, New York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . 
• Lipschutz, Seymour (1998). «1.9. Classi di insiemi, insiemi di potenze. Teoria degli insiemi e argomenti correlati . McGraw-Hill. ISBN  0-07-038159-3 .