Vermogensset

In de wiskunde is de machtsverzameling van een bepaalde verzameling een andere verzameling die bestaat uit alle deelverzamelingen van de gegeven verzameling. Bijvoorbeeld, gezien de set:

$A=\{1,2,3\}$

de vermogensset is:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{2.3 \},\ {1,3\},\{1,2,3\}\}$

De machtsverzameling van wordt ook wel de verzameling van de delen van genoemd , of de verzameling van delen van en wordt aangeduid met , waar is de kardinaal van de delen van , dat wil zeggen . $EEN$$EEN$$EEN$${\mathcal {P}}(A)$$2^{|A|}$$EEN$$|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

Definitie

De machtsverzameling van A is de klasse of verzameling van de deelverzamelingen van A :

De machtsverzameling van (of verzameling van onderdelen of verzameling van onderdelen ) is de verzameling die bestaat uit alle deelverzamelingen van$EEN$${\mathcal {P}}(A)$$A:$ $b\in {\mathcal {P}}(A){\text{ when }}b\subseteq A$

voorbeelden

• De machtsverzameling van A = { a , 2, c } is:

${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c \},\{2,c\},\{a,2,c\}\}$

• De machtsverzameling van B = { x } is:

${\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing,\{x\}\}$

Eigenschappen

De vermogensverzameling van elke verzameling bevat ten minste één deelverzameling. Het is ook niet equipotent met de basis. ]

De lege verzameling zit in de vermogensverzameling van elke verzameling: $\varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , voor elke }}A$ Elke verzameling is altijd een element van zijn machtsverzameling: $A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , voor elke }}A$

kardinaal

Wanneer de lege verzameling geen element van een verzameling is, geldt het volgende: Het aantal elementen in de machtverzameling is precies een macht van het aantal elementen in de oorspronkelijke verzameling:

De kardinaliteit van de machtsverzameling van een eindige verzameling A is 2 verheven tot de kardinaliteit van A : $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$

^Deze relatie is de oorsprong van de 2A - notatie voor de vermogensverzameling. Een manier om het af te leiden is door de binomiale coëfficiënten . Als de verzameling A n elementen heeft , is het aantal deelverzamelingen met k elementen gelijk aan het combinatorische getal C ( n , k ) . Een deelverzameling van A kan minimaal 0 elementen en maximaal n hebben, en daarom:

$|{\mathcal {P}}(A)|={n \kies 0}+{n \kies 1}+\ldots +{n \kies k}+\ldots +{n \kies n}= 2^{n}=2^{|A|}$

Deze relatie kan ook worden bewezen door op te merken dat de machtsverzameling van A equivalent is aan de reeks functies met domein A en codomain {0, 1} , f  : A → {0, 1} . Elke functie komt dan overeen met een subset, als de afbeelding van een element wordt geïnterpreteerd als een indicator of dat element tot de subset behoort: 0 geeft aan "behoort niet toe", 1 geeft aan "behoort". Het aantal van deze karakteristieke functies van A is precies 2n , ^als | Naar | = zn .

In het geval van een oneindige verzameling is de identificatie tussen deelverzamelingen en functies even geldig en blijft de kardinaliteit van de machtverzameling gelijk aan 2 ^{| Naar |} , in termen van oneindige kardinalen en hun rekenkunde. De machtsverzameling heeft altijd een hogere kardinaliteit dan de oorspronkelijke verzameling, zoals aangegeven door de stelling van Cantor , dus er is nooit een bijectieve afbeelding tussen een verzameling en zijn machtsverzameling.

• Het minimum van de kardinalen van machtsverzamelingen is 1, precies dat van de machtsverzameling van de lege verzameling ]

Booleaanse algebra

De machtsverzameling van een gegeven verzameling heeft een Booleaanse algebrastructuur, rekening houdend met de bewerkingen unie , intersectie en complement , en wordt vaak gebruikt als een voorbeeld van een dergelijke structuur. In feite is een eindige Booleaanse algebra altijd isomorf met de Booleaanse algebra van de machtsverzameling van een eindige verzameling. In het algemene geval, inclusief oneindige algebra's, is een Booleaanse algebra altijd isomorf met een subalgebra van een machtsverzameling.

Machtsverzamelingsaxioma

In de axiomatische verzamelingenleer kan het bestaan ​​van de machtsverzameling in het algemeen niet worden bewezen aan de hand van meer basale eigenschappen, dus wordt het gepostuleerd via een axioma. Zonder dit axioma is het niet mogelijk om het bestaan ​​van ontelbare verzamelingen te bewijzen .

Referenties

• Jech, Thomas (2003). «7. Filters, Ultrafilters en Booleaanse algebra's". Stel theorie . Springer Monografieën in de wiskunde ( 3e editie). Berlijn, New York: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . 
• Lipschütz, Seymour (1998). «1.9. Klassen van sets, power sets. Settheorie en gerelateerde onderwerpen . McGraw-Hill. ISBN  0-07-038159-3 .