Prędkość kątowa

Prędkość kątowa jest miarą prędkości obrotowej . Jest on zdefiniowany jako kąt obrotu w jednostce czasu i jest oznaczony grecką literą ω . Jego jednostką w systemie międzynarodowym jest radian na sekundę (rad/s).

Chociaż jest zdefiniowany dla ruchu obrotowego ciała sztywnego, jest również używany w kinematyce cząstki lub punktu materialnego , zwłaszcza gdy porusza się po torze zamkniętym (kołowym, eliptycznym itp.).

Prędkość kątowa w ruchu kołowym w płaszczyźnie

Ruch obrotowy. Tor kołowy punktu na bryle wokół osi obrotu.

W przypadku obiektu obracającego się wokół osi, w każdym punkcie ścieżki obiekt ma taką samą prędkość kątową. Prędkość styczna dowolnego punktu jest proporcjonalna do jego odległości od osi obrotu. Jednostkami prędkości kątowej są radiany/sekundę, więc jej wartość chwilową określa pochodna :

${\ Displaystyle \ omega = \ lim​​ \ delta t \ do 0}{\ frac {\ delta \ mathbf {\ theta} }{\ delta t}} = {\ frac {d\ theta} {dt}}}$

W ruchu jednostajnym po okręgu , ponieważ jeden pełny obrót reprezentuje radiany 2π, mamy:

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {2 \ pi} {T}} = 2 \ pi f}$

gdzie T to okres (czas do wykonania pełnego obrotu), a f to częstotliwość (liczba obrotów lub obrotów na jednostkę czasu). Aby

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {2 \ pi} {T}} = {\ Frac {v} {r}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad v = \ omega r \,}$

Prędkość kątowa w ogólnym ruchu płaskim

W przypadku ogólnego niekołowego ruchu płaskiego prędkość kątowa musi być zawsze określona w odniesieniu do punktu. Na przykład, badając orbitę Ziemi w odniesieniu do Słońca, najbardziej odpowiednim punktem będzie ognisko elipsy w miejscu, w którym znajduje się Słońce.

Prędkość kątowa będzie szybkością zmienności podległego kąta wektora położenia r względem danego punktu, a jego wartość liczbowa będzie zależeć od wybranego punktu.

Ponieważ ruch promieniowy od danego punktu nie przyczynia się do zwiększenia kąta założonego, tylko składowa styczna będzie. Dlatego możemy powiedzieć

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {v.sin \ theta} {r}}}$

Mnożenie góry i dołu przez wektor promienia:

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {vrsin \ theta} {R ^ {2}}}}$

Co wskazuje na to, że można to zapisać jako iloczyn krzyżowy r x v

Wektor prędkości kątowej

Wektor prędkości kątowej ω jest definiowany jako wektor osiowy równoległy do ​​osi obrotu, którego modułem jest wartość wcześniej zdefiniowanej prędkości kątowej, czyli

( 1 )${\ Displaystyle {\ omega} = {d \ theta \ ponad dt}}$

, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem osi obrotu i pokrywa się z kierunkiem ruchu śruby, która obraca się w kierunku, w którym obraca się bryła ( reguła prawej ręki ). Jeśli oznaczymy przez e wektor , który wskazuje kierunek osi i którego kierunek jest zgodny z poprzednią regułą, mamy

( 2 )${\ Displaystyle \ mathbf {\ omega} = {d \ theta \ nad dt} \ mathbf {e} \ prawa strzałka \ omega \ mathbf {e} = {d \ mathbf {\ theta} \ nad dt}}$

gdzie element kątowy d θ rozważyliśmy jako wektor d θ , modułu d θ , którego kierunek określa reguła śrubowa. Wywołując e _t i e _n wektory odpowiednio styczne i normalne do trajektorii ogólnego punktu P, prędkość tego punktu można wyrazić w postaci

( 3 )${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v \ mathbf {e} t} = r \ omega (\ mathbf {e} n} \ razy \ mathbf {e} ) = (r \ mathbf {e} _ {n}) \times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega } }$

więc możemy powiedzieć:

Prędkość v ogólnego punktu P wirującego sztywnego korpusu jest równa momentowi wektora prędkości kątowej ω względem wspomnianego punktu P.

Zatem, znając prędkość kątową ω , wyznacza się rozkład prędkości we wszystkich punktach wirującego sztywnego ciała. Wyrażenie [8] można zapisać w postaci

( 4 )$\mathbf {v} =\mathbf {\omega} \razy {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega} \razy \mathbf {r}$

gdzie jest wektorem pozycji ogólnego punktu P względem dowolnego punktu na osi obrotu. ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = {\ overrightarrow {\ tekst {OP}}}}$

Powyższe definicje wymagają, aby wektor prędkości kątowej ω miał charakter ślizgowy na osi obrotu.

Należy zauważyć, że „wektor” prędkości kątowej nie jest wektorem biegunowym, ale pseudowektorem lub wektorem osiowym . Z tego powodu w teorii względności, gdzie czasoprzestrzeń ma cztery wymiary, nie może być reprezentowana przez żaden tetrawektor , dlatego w teorii względności prędkość kątowa jest reprezentowana przez antysymetryczny 2-tensor Lorentza przekształcenia . Niektóre dodatkowe szczegóły podano w następnej sekcji na temat tego, dlaczego prędkość kątową można przedstawić za pomocą antysymetrycznego tensora.

Prędkość kątowa trójścianu

Dotyczy to zarówno wirującego układu odniesienia, jak i bryły sztywnej.

Tensor prędkości kątowej

Zobacz też: Matryca antysymetryczna

Postać macierzową reprezentującą prędkość kątową można wywnioskować z macierzy rotacji. Każdy trójwymiarowy wektor, który obraca się wokół osi z prędkością kątową (zgodnie z poprzednimi definicjami), spełnia: ${\vec {\omega}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {r} (t)} {dt}} = {\ pogrubiony symbol {\ omega}} \ razy \ mathbf {r}}$

Tensor prędkości kątowej związany z poprzednią prędkością kątową można teraz wprowadzić jako ${\boldsymbol \omega}$

${\ Displaystyle \ mathbf {W} (t) = {\ zacznij {pmatrix} 0 i - \ omega​​z} (t) i \ omega​​y} (t) \\\omega​​z} (t) &0&-ωx(t)\\-ωy(t)&ωx(t)&0\\\end{pmatrix}}}$

Ten antysymetryczny tensor działa tak, jakby był operatorem: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {W} (t)}$$\scriptstyle ({\boldsymbol {\omega}}\razy)$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} (t) \ razy \ mathbf {r} (t) = \ mathbf {W} (t) \ mathbf {r} (t)}$

Mając macierz rotacji tensor prędkości kątowej W można otrzymać w każdej chwili , jak pokazano poniżej, prawdą jest, że: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {W} (t)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {r} (t)} {dt}} = \ mathbf {W} \ cdot \ mathbf {r}}$

Ponieważ prędkość kątowa musi być taka sama dla trzech wektorów tego samego układu odniesienia, jeśli macierz, której trzy kolumny są trzema wzajemnie prostopadłymi wektorami jednostkowymi, możemy zapisać zależność: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {R} (t)}$

( * )${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {R} (t)} {dt}} = \ mathbf {W} \ cdot \ mathbf {R} (t)}$

A zatem prędkość kątową można po prostu zdefiniować jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {W} = {\ Frac {d \ mathbf {R} (t)} {dt}} \ cdot \ mathbf {R} < T} (t)}$

Innym sposobem bezpośredniego uzyskania prędkości kątowej obrotu jest wyprowadzenie zależności:

${\ Displaystyle \ mathbf {R} (t) \ mathbf {R}​​ T} (t) = \ mathbf {\ operatorname {identyfikator}} \ quad \ Rightarrow {\ kropka {\ mathbf {R}}} (t )\mathbf {R}ÂT}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0} }$

Stąd wynika, że ​​macierz antysymetryczna zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {W} (t): = {\ kropka {\ mathbf {R} }} (t) \ mathbf {R} T} (t) = - \ mathbf {R} (t) { \ kropka {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)}$

Odpowiada to podanej wcześniej definicji tensora prędkości kątowej . Można wykazać, że dowolną jednoparametrową grupę macierzy rotacji można otrzymać jako krzywą całkową z równania różniczkowego ( * ), którego rozwiązanie można wyrazić jako wykładnik macierzy jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {R} (t) = \ mathbf {R} (0) \ cdot \ exp \ lewo (\ int {0} ^ {t} \ mathbf {W} (t) dt \ prawej)}$

Definicja prędkości kątowej jako tensora pozwala na uogólnienie pojęcia prędkości kątowej do przestrzeni euklidesowej wymiaru dla n > 3. $\scriptstyle \mathbb{R} n}$

Jednostki

W międzynarodowym układzie miar prędkości kątowe mają jednostki odwrotnej sekundy , zwane również hercami . Powszechne jest również wyrażanie prędkości kątowej w „obrotach na minutę” , chociaż jednostka ta nie jest częścią systemu międzynarodowego. ${\ Displaystyle [{\ tekst {s}} ^ {-1}]}$${\ Displaystyle [{\ tekst {Hz}}]}$$[{\tekst{rpm}}]$

W niektórych tekstach nadal używa się „radianów na sekundę”, chociaż radian jest pseudojednostką, która nie jest częścią międzynarodowego systemu jednostek i odradza się jej stosowanie zawodowo, chociaż w niektórych kontekstach jest on utrzymywany wyłącznie w celach edukacyjnych.

Zobacz także

• Kinematyka bryły sztywnej
• Częstotliwość
• przyspieszenie kątowe
• Przemieszczenie kątowe

Referencje

Bibliografia

• Ortega, Manuel R. (1986 2016). Wykłady z fizyki (4 tomy) . Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5 . 
• Resnick, Robert i Krane, Kenneth S. (2001). Fizyka (w języku angielskim) . Nowy Jork: John Wiley i synowie. ISBN  0-471-32057-9 . 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fizyka dla naukowców i inżynierów ( wydanie 6). Brooks/Cole. ISBN  0-534-40842-7 . 
• Tipler, Paweł A. (2000). Fizyka dla nauki i techniki (2 tomy) . Barcelona: Wyd. Odwróciłem. ISBN  84-291-4382-3 . 
• https://cibertasks.info/fisica-angular-velocity-1.html