Vinkelhastighet

Vinkelhastighet är ett mått på rotationshastigheten . Den definieras som vinkeln roterad per tidsenhet och betecknas med den grekiska bokstaven ω . Dess enhet i det internationella systemet är radianen per sekund (rad/s).

Även om den är definierad för den stela kroppens rotationsrörelse, används den också i kinematiken för partikel- eller materialpunkten , speciellt när den rör sig på en sluten bana (cirkulär, elliptisk, etc).

Vinkelhastighet i ett cirkulärt plan rörelse

Roterande rörelse. Cirkulär bana för en punkt på den fasta delen runt rotationsaxeln.

För ett objekt som roterar runt en axel, vid varje punkt längs banan, har objektet samma vinkelhastighet. Tangentialhastigheten för en punkt är proportionell mot dess avstånd från rotationsaxeln. Vinkelhastighetsenheterna är radianer/sekund, så dess momentana värde definieras av derivatan :

$\omega =\lim\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}$

I enhetlig cirkulär rörelse , eftersom ett helt varv representerar 2π radianer, har vi:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$

där T är perioden (tiden för att göra ett helt varv) och f är frekvensen (antal varv eller varv per tidsenhet). Så att

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,$

Vinkelhastighet i en allmän planrörelse

I fallet med en allmän icke-cirkulär planrörelse måste vinkelhastigheten alltid definieras med avseende på en punkt. Till exempel, när man studerar jordens omloppsbana med avseende på solen, kommer den mest lämpliga punkten att vara fokus för ellipsen där solen är.

Vinkelhastigheten kommer att vara variationshastigheten för den förlängda vinkeln för positionsvektorn r med avseende på den givna punkten, och dess numeriska värde kommer att bero på den valda punkten.

Eftersom den radiella rörelsen från den givna punkten inte bidrar till att öka den förlängda vinkeln, kommer endast den tangentiella komponenten att göra det. Därför kan vi säga

$\omega ={\frac {v.sin\theta }{r}}$

Multiplicera topp och botten med radievektorn:

$\omega ={\frac {vrsin\theta }{r^{2}}}$

Vilket pekar på att det kan skrivas i termer av korsprodukten r x v

Vinkelhastighetsvektor

Vinkelhastighetsvektorn ω definieras som en axiell vektor parallell med rotationsaxeln, vars modul är värdet av den tidigare definierade vinkelhastigheten, dvs.

( 1 ) ${\omega }={d\theta \over dt}$

, vars riktning är rotationsaxelns riktning och vars riktning sammanfaller med frammatningen av en skruv som roterar i den riktning som den fasta delen gör ( högerregeln ). Om vi betecknar med e den vektor som anger axelns riktning och vars riktning är den som definieras av föregående regel, har vi

( 2 ) $\mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}$

där vi har betraktat vinkelelementet d θ som en vektor d θ , av modulen d θ , vars riktning definieras av skruvregeln. Genom att kalla e _t och e _n vektorerna tangentiella respektive normala till banan för den generiska punkten P, kan hastigheten för den punkten uttryckas i formen

( 3 ) $\mathbf {v} =v\mathbf {e} t}=r\omega (\mathbf {e} n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _ {n}) \times (\omega \mathbf {e} )={\överhögerpil {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega }$

så vi kan säga:

Hastigheten v för en generisk punkt P hos den roterande stela kroppen är lika med momentet för vinkelhastighetsvektorn ω med avseende på nämnda punkt P.

Så snart vinkelhastigheten ω är känd, bestäms fördelningen av hastigheter vid alla punkter av den roterande stela kroppen. Uttrycket [8] kan skrivas i formen

( 4 ) $\mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$

där är positionsvektorn för den generiska punkten P med avseende på vilken punkt som helst på rotationsaxeln. $\mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}$

Ovanstående definitioner kräver att vinkelhastighetsvektorn ω har en glidande karaktär på rotationsaxeln.

Det är viktigt att notera att vinkelhastigheten "vektor" inte är en polär vektor, utan en pseudovektor eller axiell vektor . Av denna anledning, i relativitetsteorin, där rumtiden har fyra dimensioner, kan den inte representeras av någon tetravektor , vilket är anledningen till att vinkelhastigheten i relativitetsteorin representeras av en antisymmetrisk 2-tensor Lorentz transformationer . Några ytterligare detaljer ges i nästa avsnitt om varför vinkelhastighet kan representeras av en antisymmetrisk tensor.

Vinkelhastighet för en trihedron

Detta gäller både för ett roterande referenssystem och för en stel kropp.

Vinkelhastighetstensor

Se även: Antisymmetrisk matris

Matrisformen för att representera vinkelhastighet kan härledas från rotationsmatriser. Varje tredimensionell vektor som roterar runt en axel med vinkelhastighet (enligt de tidigare definitionerna) uppfyller: ${\vec {\omega }}$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Vinkelhastighetstensorn associerad med föregående vinkelhastighet kan nu anges som ${\boldsymbol \omega }$

$\mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omegaz}(t)&\omegay}(t)\\\omegaz}(t) &0&-ωx(t)\\-ωy(t)&ωx(t)&0\\\end{pmatrix}}$

Denna antisymmetriska tensor fungerar som om den vore en operatör: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$ $\scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )$

${\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)$

Givet en rotationsmatris kan vinkelhastighetstensorn W erhållas vid varje ögonblick som visas nedan, det är sant att: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r}$

Eftersom vinkelhastigheten måste vara densamma för de tre vektorerna i samma referenssystem, om matrisen vars tre kolumner är tre ömsesidigt vinkelräta enhetsvektorer, kan vi skriva sambandet: $\scriptstyle \mathbf {R} (t)$

( * ) ${\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)$

Och därför kan vinkelhastigheten enkelt definieras som:

$\mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R}<T}(t)$

Ett annat sätt att direkt erhålla vinkelhastigheten för en rotation är genom att härleda relationen:

$\mathbf {R} (t)\mathbf {R}T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t )\mathbf {R}ÂT}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0}$

Varifrån det erhålls att den antisymmetriska matrisen definieras som:

$\mathbf {W} (t):={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R}ÂT}(t)=-\mathbf {R} (t){ \dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)$

Den stämmer överens med definitionen som gavs tidigare för vinkelhastighetstensorn . Det kan visas att vilken enparametersgrupp som helst av rotationsmatriser kan erhållas som integralkurvan för följande differentialekvation ( * ) vars lösning kan uttryckas som en exponential av en matris som:

$\mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)$

Definitionen av vinkelhastighet som en tensor tillåter oss att generalisera begreppet vinkelhastighet till ett euklidiskt dimensionsutrymme för n > 3. $\scriptstyle \mathbb{R} n}$

Enheter

I det internationella enhetssystemet har vinkelhastigheter enheter av den omvända sekunden , även kallad hertz . Det är vanligt att även uttrycka vinkelhastigheten i "varv per minut" även om den enheten inte är en del av det internationella systemet. $[{\text{s}}^{-1}]$ $[{\text{Hz}}]$ $[{\text{rpm}}]$

Vissa texter använder fortfarande "radianen per sekund", även om radianen är en pseudunit som inte ingår i det internationella enhetssystemet och dess användning avråds professionellt, även om den upprätthålls i vissa sammanhang endast i utbildningssyfte.

Se även

Referenser

Bibliografi

Ortega, Manuel R. (1986 2016). Fysikföreläsningar (4 volymer) . Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5 .
Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Fysik (på engelska) . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fysik för vetenskapsmän och ingenjörer ( 6:e upplagan). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7 .
Tipler, Paul A. (2000). Fysik för naturvetenskap och teknik (2 volymer) . Barcelona: Red. Jag vände. ISBN 84-291-4382-3 .
https://cibertasks.info/fisica-angular-velocity-1.html