Vinkelhastighet

Vinkelhastighet er et mål på rotasjonshastighet . Den er definert som vinkelen rotert per tidsenhet og er betegnet med den greske bokstaven ω . Dens enhet i det internasjonale systemet er radian per sekund (rad/s).

Selv om det er definert for rotasjonsbevegelsen til det stive legemet, brukes det også i kinematikken til partikkel- eller materialpunktet , spesielt når det beveger seg på en lukket bane (sirkulær, elliptisk, etc.).

Vinkelhastighet i en sirkulær planbevegelse

Roterende bevegelse. Sirkelbane for et punkt på stoffet rundt rotasjonsaksen.

For et objekt som roterer rundt en akse, ved hvert punkt langs banen, har objektet samme vinkelhastighet. Tangentialhastigheten til ethvert punkt er proporsjonal med avstanden fra rotasjonsaksen. Vinkelhastighetsenhetene er radianer/sekund, så dens øyeblikkelige verdi er definert av den deriverte :

$\omega =\lim\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}$

I jevn sirkulær bevegelse , siden en hel omdreining representerer 2π radianer, har vi:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$

der T er perioden (tiden for å gjøre en hel sving) og f er frekvensen (antall omdreininger eller omdreininger per tidsenhet). Så det

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,$

Vinkelhastighet i en generell planbevegelse

I tilfelle av en generell ikke-sirkulær planbevegelse, må vinkelhastigheten alltid defineres i forhold til et punkt. For eksempel, når man studerer jordens bane i forhold til solen, vil det mest hensiktsmessige punktet være fokuset til ellipsen der solen er.

Vinkelhastigheten vil være variasjonshastigheten til den underliggende vinkelen til posisjonsvektoren r i forhold til det gitte punktet, og dens numeriske verdi vil avhenge av det valgte punktet.

Siden den radielle bevegelsen fra det gitte punktet ikke bidrar til å øke den underliggende vinkelen, vil bare den tangentielle komponenten. Derfor kan vi si

$\omega ={\frac {v.sin\theta }{r}}$

Multiplisere topp og bunn med radiusvektoren:

$\omega ={\frac {vrsin\theta }{r^{2}}}$

Noe som peker på at det kan skrives i form av kryssproduktet r x v

Vinkelhastighetsvektor

Vinkelhastighetsvektoren ω er definert som en aksial vektor parallelt med rotasjonsaksen, hvis modul er verdien av den tidligere definerte vinkelhastigheten, dvs.

( 1 ) ${\omega }={d\theta \over dt}$

, hvis retning er rotasjonsaksen og hvis retning faller sammen med fremføringen av en skrue som roterer i den retningen som det faste stoffet gjør ( høyre regel ). Hvis vi betegner med e vektoren som indikerer retningen til aksen, og hvis retning er den som er definert av forrige regel, har vi

( 2 ) $\mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}$

hvor vi har sett på vinkelelementet d θ som en vektor d θ , av modul d θ , hvis retning er definert av skrueregelen. Ved å kalle e _t og e _n vektorene henholdsvis tangentiell og normal til banen til det generiske punktet P, kan hastigheten til det punktet uttrykkes i formen

( 3 ) $\mathbf {v} =v\mathbf {e} t}=r\omega (\mathbf {e} n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _ {n}) \times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega }$

så vi kan si:

Hastigheten v til et generisk punkt P til det roterende stive legemet er lik momentet til vinkelhastighetsvektoren ω i forhold til nevnte punkt P.

Således, når vinkelhastigheten ω er kjent, bestemmes fordelingen av hastigheter på alle punkter av det roterende stive legemet. Uttrykket [8] kan skrives i formen

( 4 ) $\mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$

hvor er posisjonsvektoren til det generiske punktet P i forhold til et hvilket som helst punkt på rotasjonsaksen. $\mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}$

Definisjonene ovenfor krever at vinkelhastighetsvektoren ω har en glidende karakter på rotasjonsaksen.

Det er viktig å merke seg at vinkelhastigheten "vektor" ikke er en polar vektor, men en pseudovektor eller aksial vektor . Av denne grunn, i relativitetsteorien, hvor romtid har fire dimensjoner, kan den ikke representeres av noen tetravektor , og det er derfor i relativitetsteorien vinkelhastigheten er representert av en antisymmetrisk 2-tensor Lorentz transformasjoner . Noen ytterligere detaljer er gitt i neste avsnitt om hvorfor vinkelhastighet kan representeres av en antisymmetrisk tensor.

Vinkelhastigheten til et trihedron

Dette gjelder både for et roterende referansesystem og for et stivt legeme.

Vinkelhastighetstensor

Se også: Antisymmetrisk matrise

Matriseformen for å representere vinkelhastighet kan utledes fra rotasjonsmatriser. Enhver tredimensjonal vektor som roterer rundt en akse med vinkelhastighet (i henhold til de tidligere definisjonene) tilfredsstiller: ${\vec {\omega }}$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Vinkelhastighetstensoren knyttet til forrige vinkelhastighet kan nå legges inn som ${\boldsymbol \omega }$

$\mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omegaz}(t)&\omegay}(t)\\\omegaz}(t) &0&-ωx(t)\\-ωy(t)&ωx(t)&0\\\end{pmatrix}}$

Denne antisymmetriske tensoren fungerer som om den var en operatør: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$ $\scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )$

${\boldsymbol {\omega }}(t)\ ganger \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)$

Gitt en rotasjonsmatrise , kan vinkelhastighetstensoren W oppnås ved hvert øyeblikk som vist nedenfor, det er sant at: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r}$

Siden vinkelhastigheten må være den samme for de tre vektorene i samme referansesystem, hvis matrisen hvis tre kolonner er tre gjensidig vinkelrette enhetsvektorer, kan vi skrive relasjonen: $\scriptstyle \mathbf {R} (t)$

( * ) ${\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)$

Og derfor kan vinkelhastigheten enkelt defineres som:

$\mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R}<T}(t)$

En annen måte å direkte oppnå vinkelhastigheten til en rotasjon er ved å utlede relasjonen:

$\mathbf {R} (t)\mathbf {R}T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t )\mathbf {R}ÂT}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0}$

Fra hvor det oppnås at den antisymmetriske matrisen er definert som:

$\mathbf {W} (t):={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R}ÂT}(t)=-\mathbf {R} (t){ \dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)$

Den samsvarer med definisjonen gitt tidligere for vinkelhastighetstensoren . Det kan vises at enhver én-parameter gruppe av rotasjonsmatriser kan oppnås som integralkurven til følgende differensialligning ( * ) hvis løsning kan uttrykkes som en eksponentiell av en matrise som:

$\mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)$

Definisjonen av vinkelhastighet som en tensor lar oss generalisere begrepet vinkelhastighet til et euklidisk rom med dimensjon for n > 3. $\scriptstyle \mathbb{R} n}$

Enheter

I det internasjonale enhetssystemet har vinkelhastigheter enheter av det inverse sekundet , også kalt hertz . Det er vanlig å også uttrykke vinkelhastigheten i "omdreininger per minutt", selv om den enheten ikke er en del av det internasjonale systemet. $[{\text{s}}^{-1}]$ $[{\text{Hz}}]$ $[{\text{rpm}}]$

Noen tekster bruker fortsatt "radianen per sekund", selv om radianen er en pseudunit som ikke er en del av det internasjonale systemet av enheter, og bruken av den frarådes profesjonelt, selv om den opprettholdes i noen sammenhenger kun for pedagogiske formål.

Se også

Referanser

Bibliografi

Ortega, Manuel R. (1986 2016). Fysikkforelesninger (4 bind) . Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5 .
Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Fysikk (på engelsk) . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fysikk for forskere og ingeniører ( 6. utgave). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7 .
Tipler, Paul A. (2000). Fysikk for naturvitenskap og teknologi (2 bind) . Barcelona: Red. Jeg snudde. ISBN 84-291-4382-3 .
https://cibertasks.info/fisica-angular-velocity-1.html