Szögsebesség

A szögsebesség a forgási sebesség mértéke . Ezt az egységnyi idő alatt elforgatott szögként határozzuk meg, és a görög ω betűvel jelöljük . Mértékegysége a nemzetközi rendszerben a radián per másodperc (rad/s).

Bár a merev test forgó mozgására van definiálva, a részecske vagy az anyagpont kinematikájában is használják , különösen akkor, ha zárt úton mozog (kör, elliptikus stb.).

Szögsebesség körsík mozgásban

Forgó mozgás. Egy pont körpályája a szilárd testen a forgástengely körül.

Egy tengely körül forgó objektumnál az út minden pontjában az objektum szögsebessége azonos. Bármely pont tangenciális sebessége arányos a forgástengelytől való távolságával. A szögsebesség mértékegységei radián/másodperc, így pillanatnyi értékét a derivált határozza meg :

$\omega =\lim​​\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}$

Egyenletes körmozgás esetén , mivel egy teljes fordulat 2π radiánt jelent, a következőket kapjuk:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$

ahol T a periódus (a teljes fordulat megtételének ideje) és f a frekvencia (fordulatok vagy fordulatok száma időegységenként). Szóval azt

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,$

Szögsebesség általános síkbeli mozgásban

Általános, nem körkörös síkmozgás esetén a szögsebességet mindig egy ponthoz képest kell meghatározni. Például a Föld Naphoz viszonyított pályájának tanulmányozásakor a legmegfelelőbb pont az ellipszis fókuszpontja lesz, ahol a nap van.

A szögsebesség az r helyzetvektor bezárt szögének változási sebessége lesz az adott ponthoz képest, számértéke pedig a választott ponttól függ.

Mivel az adott pontból induló sugárirányú mozgás nem járul hozzá a bezárt szög növeléséhez, csak a tangenciális komponens járul hozzá. Ezért mondhatjuk

$\omega ={\frac {v.sin\theta }{r}}$

A felső és az alsó szorzás a sugárvektorral:

$\omega ={\frac {vrsin\theta }{r^{2}}}$

Ami arra utal, hogy az r x v keresztszorzattal írható fel

Szögsebesség vektor

Az ω szögsebesség-vektor a forgástengellyel párhuzamos tengelyirányú vektor , amelynek modulja a korábban meghatározott szögsebesség értéke, azaz

( 1 )${\omega }={d\theta \over dt}$

, amelynek iránya a forgástengelyé, és iránya egybeesik egy olyan csavar előrehaladásával, amely abban az irányban forog, amelyben a test forog ( jobbkéz szabály ). Ha e -vel kijelöljük azt a vektort , amely a tengely irányát jelzi, és amelynek iránya megegyezik az előző szabály által meghatározott irányával, akkor

( 2 )$\mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}$

ahol a d θ szögelemet a d θ modul d θ vektorának tekintettük , amelynek irányát a csavarszabály határozza meg. Ha e _t és e _n vektorokat érintőlegesnek és normálvektornak hívjuk a generikus P pont pályájára, akkor az adott pont sebessége a következő formában fejezhető ki.

( 3 )$\mathbf {v} =v\mathbf {e} t}=r\omega (\mathbf {e} n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _ {n}) \times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega }$

így mondhatjuk:

A forgó merev test egy általános P pontjának v sebessége egyenlő az ω szögsebességvektornak a P ponthoz viszonyított nyomatékával .

Így, ha az ω szögsebesség ismert, a forgó merev test minden pontján meghatározzuk a sebességek eloszlását. A [8] kifejezés a formába írható

( 4 )$\mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$

ahol az általános P pont helyzetvektora a forgástengely bármely pontjához képest. $\mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}$

A fenti definíciók megkövetelik, hogy az ω szögsebesség -vektornak csúszó karaktere legyen a forgástengelyen.

Fontos megjegyezni, hogy a szögsebesség "vektor" nem poláris vektor, hanem pszeudovektor vagy axiális vektor . Emiatt a relativitáselméletben, ahol a téridőnek négy dimenziója van, nem ábrázolható egyetlen tetravektorral sem , ezért a relativitáselméletben a szögsebességet egy antiszimmetrikus 2-tenzor Lorentz transzformációs törvényeket. átalakulások . Néhány további részlet a következő részben található arról, hogy miért ábrázolható a szögsebesség antiszimmetrikus tenzorral.

Háromszög szögsebessége

Ez mind a forgó referenciarendszerre, mind a merev testre igaz.

Szögsebesség tenzor

Lásd még: Antiszimmetrikus mátrix

A szögsebességet reprezentáló mátrixforma a forgási mátrixokból következtethető. Bármely háromdimenziós vektor, amely egy tengely körül szögsebességgel forog (az előző definíciók szerint), kielégíti: ${\vec {\omega }}$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Az előző szögsebességhez társított szögsebesség- tenzort most úgy adhatjuk meg , mint ${\boldsymbol \omega }$

$\mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omega​​z}(t)&\omega​​y}(t)\\\omega​​z}(t) &0&-ωx(t)\\-ωy(t)&ωx(t)&0\\\end{pmátrix}}$

Ez az antiszimmetrikus tenzor úgy működik, mintha operátor lenne: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$$\scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )$

${\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)$

Adott egy forgási mátrix , a W szögsebesség tenzort minden pillanatban megkaphatjuk az alábbiak szerint, igaz, hogy: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r}$

Mivel a szögsebességnek azonosnak kell lennie ugyanazon referenciarendszer három vektoránál, ha a mátrix, amelynek három oszlopa három egymásra merőleges egységvektor, felírhatjuk a kapcsolatot: $\scriptstyle \mathbf {R} (t)$

( * )${\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)$

Ezért a szögsebesség egyszerűen a következőképpen definiálható:

$\mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R}<T}(t)$

Egy másik módszer a forgás szögsebességének közvetlen meghatározására a következő összefüggés származtatása:

$\mathbf {R} (t)\mathbf {R}​​T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\pont {\mathbf {R} }} (t )\mathbf {R}ÂT}(t)+\mathbf {R} (t){\pont {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0}$

Ahonnan azt kapjuk, hogy az antiszimmetrikus mátrix a következőképpen definiálható:

$\mathbf {W} (t):={\pont {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R}ÂT}(t)=-\mathbf {R} (t){ \pont {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)$

Ez megegyezik a szögsebesség tenzor korábban megadott definíciójával . Megmutatható, hogy a forgatási mátrixok bármely egyparaméteres csoportja megkapható a következő differenciálegyenlet ( * ) integrálgörbéjeként , amelynek megoldása egy mátrix exponenciálisaként kifejezhető:

$\mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)$

A szögsebesség tenzorként való meghatározása lehetővé teszi, hogy a szögsebesség fogalmát n > 3 dimenziójú euklideszi térre általánosítsuk . $\scriptstyle \mathbb{R} n}$

Egységek

A nemzetközi mértékegységrendszerben a szögsebességek inverz másodperc egységei , más néven hertzek . Gyakori, hogy a szögsebességet "percenkénti fordulatszámban" is kifejezik, bár ez a mértékegység nem része a nemzetközi rendszernek. $[{\text{s}}^{-1}]$$[{\text{Hz}}]$$[{\text{rpm}}]$

Egyes szövegek még mindig a "másodpercenkénti radiánt" használják, bár a radián egy álegység, amely nem része a nemzetközi mértékegységrendszernek, és használata szakmailag nem ajánlott, bár bizonyos összefüggésekben csak oktatási célokat szolgálnak.

Lásd még

• A merev test kinematikája
• Frekvencia
• szöggyorsulás
• Szögeltolódás

Hivatkozások

Bibliográfia

• Ortega, Manuel R. (1986, 2016). Fizika előadások (4 kötet) . Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5 . 
• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Fizika (angolul) . New York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-32057-9 . 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fizika tudósoknak és mérnököknek ( 6. kiadás). Brooks/Cole. ISBN  0-534-40842-7 . 
• Tipler, Paul A. (2000). Fizika a tudomány és a technológia számára (2 kötet) . Barcelona: Szerk. Fordítottam. ISBN  84-291-4382-3 . 
• https://cibertasks.info/fisica-angular-velocity-1.html