Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie kątowe definiuje się jako zmianę prędkości kątowej w jednostce czasu. Jest oznaczony grecką literą alfa . Podobnie jak prędkość styczna, przyspieszenie kątowe ma charakter wektorowy. $?$

Jest wyrażany w radianach na sekundę do kwadratu, czyli s - ² , ponieważ radian jest bezwymiarowy .

Definicja matematyczna

Przyspieszenie kątowe. W ogólnym przypadku, gdy oś obrotu nie zachowuje stałego kierunku w przestrzeni, przyspieszenie kątowe nie ma kierunku osi obrotu.

Definiujemy wektor przyspieszenia kątowego i przedstawiamy go przez , tak że ${\boldsymbol {\alfa}}\,$

${\boldsymbol {\alfa}}={\frac {d{\boldsymbol {\omega}}}{dt}}$

będący wektorem prędkości kątowej ciała wokół osi obrotu . Jeśli nazwiemy wektor jednostkowy powiązany z tą osią, tak aby był , możemy napisać ${\boldsymbol \omega}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {e} \,}$ ${\boldsymbol {\omega}}=\omega \mathbf {e} \,$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ alfa}} = {\ Frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}} = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo (\ omega \ mathbf {e } \right)={\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {e} \ +\ \omega {\frac {d\mathbf {e} }{dt}}}$

w wyniku czego wektor nie znajduje się na ogół na osi obrotu. ${\boldsymbol {\alfa}}\,$

W szczególnym przypadku, gdy oś obrotu zachowuje stałą orientację w przestrzeni ( ruch płaski ), to tak będzie i wektor przyspieszenia kątowego będzie znajdował się na osi obrotu. To znaczy, ${\ Displaystyle {d \ mathbf {e}} / {dt} = 0}$ ${\boldsymbol {\alfa}}$

${\boldsymbol {\alfa}}={\frac {d{\boldsymbol {\omega}}}{dt}}={\frac {d\omega}{dt}}\mathbf {e} =\ alfa \,\,\mathbf {e}$

tak, że wielkość przyspieszenia kątowego jest pochodną prędkości kątowej względem czasu (lub drugą pochodną kąta obrotu względem czasu), jego kierunek jest taki, jak prędkość kątowa wzrasta w czasie, lub jeśli się zmniejszy. $|{\boldsymbol {\alfa}}|=\alfa$ ${\boldsymbol \omega}$ $-{\boldsymbol {\omega}}$

W ogólnym przypadku, gdy oś obrotu nie zachowuje ustalonego kierunku w przestrzeni, będzie to jednak , ponieważ wersor osi zmienia kierunek w trakcie ruchu. Ponieważ jest wersorem, jego pochodną będzie wektor prostopadły do , czyli do chwilowej osi obrotu . ${\ Displaystyle {d \ mathbf {e} } / {dt} \ neq 0}$ $|\mathbf {e} |=1$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {e}$

Zatem w najogólniejszym przypadku przyspieszenie kątowe będzie wyrażone w postaci ${\boldsymbol {\alfa}}$

${\boldsymbol {\alfa}}={\frac {d{\boldsymbol {\omega}}}{dt}}={\frac {d\omega}{dt}}\mathbf {e} \ + \ {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}$

będąca prędkością kątową związaną z obrotem osi lub precesją osi obrotu (określoną przez ) w przestrzeni. ${\boldsymbol {\omega}}$ $\\mathbf {e}$

W poprzednim wyrażeniu zauważymy, że wektor przyspieszenia kątowego ma dwie składowe : składową podłużną ( tj . w kierunku osi obrotu), której moduł jest i składową poprzeczną (tj. prostopadłą do osi obrotu), której moduł jest . ${d\omega}/{dt}\,$ ${\boldsymbol {\omega}}\razy {\boldsymbol {\omega}}\,$

Ogólnie rzecz biorąc,

wektor nie będzie miał tego samego kierunku co wektor . ${\boldsymbol {\alfa}}$ ${\boldsymbol \omega}$
wektor przyspieszenia kątowego nie będzie miał kierunku osi obrotu. ${\boldsymbol {\alfa}}$

Kierunek przyspieszenia kątowego pokrywa się tylko z kierunkiem wektora prędkości kątowej, to znaczy z osią obrotu, w przypadku, gdy wspomniana oś zachowuje swoją stałą orientację w przestrzeni, to znaczy w ruchu płaskim .

Ruch płaski

W ruchu płaskim bryły sztywnej przyspieszenie kątowe, podobnie jak prędkość kątowa, ma kierunek osi obrotu i wyraża się wzorem:

${\ Displaystyle \ alfa = {d ^ {2} \ theta \ nad dt ^ {2}} = {d \ omega \ nad dt}}$

gdzie reprezentuje kąt obrotu w funkcji prędkości kątowej . $\theta\,$ $ty$ $\omega$

${\ Displaystyle \ omega = {d \ theta \ ponad dt}}$

W ruchu płaskim zarówno prędkość kątowa, jak i przyspieszenie kątowe są wektorami prostopadłymi do płaszczyzny, w której występuje ruch.

Zobacz także

Referencje

Bibliografia

Marion, Jerry B. (1996). Klasyczna dynamika cząstek i układów . Barcelona: Wyd. Odwróciłem. ISBN 84-291-4094-8 .
Ortega, Manuel R. (1989-2006). Wykłady z fizyki (4 tomy) . Monytex. ISBN 84-404-4290-4 . 84-398- 9218-7 , 84-398- 9219-5 , 84-604-4445-7 .
Resnick, Robert i Krane, Kenneth S. (2001). Fizyka (w języku angielskim) . Nowy Jork: John Wiley i synowie. ISBN 0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fizyka dla naukowców i inżynierów ( wydanie 6). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7 .