Vinkelhastighed

Vinkelhastighed er et mål for rotationshastighed . Den er defineret som den vinkel, der drejes pr. tidsenhed, og er betegnet med det græske bogstav ω . Dens enhed i det internationale system er radian per sekund (rad/s).

Selvom det er defineret til rotationsbevægelsen af det stive legeme, bruges det også i kinematik af partikel- eller materialepunktet , især når det bevæger sig på en lukket bane (cirkulær, elliptisk osv.).

Vinkelhastighed i en cirkulær planbevægelse

Roterende bevægelse. Cirkulær bane for et punkt på det faste stof omkring rotationsaksen.

For et objekt, der roterer om en akse, ved hvert punkt langs stien, har objektet den samme vinkelhastighed. Den tangentielle hastighed af ethvert punkt er proportional med dets afstand fra rotationsaksen. Vinkelhastighedsenhederne er radianer/sekund, så dens øjeblikkelige værdi er defineret af den afledede :

$\omega =\lim\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}$

I ensartet cirkulær bevægelse , da en hel omdrejning repræsenterer 2π radianer, har vi:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$

hvor T er perioden (tid til at lave en hel omgang) og f er frekvensen (antal omdrejninger eller omdrejninger pr. tidsenhed). Så det

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,$

Vinkelhastighed i en generel planbevægelse

I tilfælde af en generel ikke-cirkulær planbevægelse skal vinkelhastigheden altid defineres i forhold til et punkt. For eksempel, når man studerer jordens bane i forhold til solen, vil det mest passende punkt være ellipsens fokus, hvor solen er.

Vinkelhastigheden vil være variationshastigheden af positionsvektorens r underspændte vinkel i forhold til det givne punkt, og dens numeriske værdi vil afhænge af det valgte punkt.

Da den radiale bevægelse fra det givne punkt ikke bidrager til at øge den forsænkede vinkel, vil kun den tangentielle komponent. Derfor kan vi sige

$\omega ={\frac {v.sin\theta }{r}}$

Multiplicer top og bund med radiusvektoren:

$\omega ={\frac {vrsin\theta }{r^{2}}}$

Hvilket peger på, at det kan skrives ud fra krydsproduktet r x v

Vinkelhastighedsvektor

Vinkelhastighedsvektoren ω er defineret som en aksial vektor parallel med rotationsaksen, hvis modul er værdien af den tidligere definerede vinkelhastighed, dvs.

( 1 ) ${\omega }={d\theta \over dt}$

, hvis retning er omdrejningsaksens retning, og hvis retning falder sammen med fremføringen af en skrue, der roterer i den retning, som det faste stof gør ( højrehåndsregel ). Hvis vi angiver med e den vektor , der angiver retningen af aksen, og hvis retning er den, der er defineret af den foregående regel, har vi

( 2 ) $\mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}$

hvor vi har betragtet vinkelelementet d θ som en vektor d θ , af modul d θ , hvis retning er defineret af skruereglen. Ved at kalde e _t og e _n vektorerne tangentiel henholdsvis normal til banen for det generiske punkt P, kan hastigheden af dette punkt udtrykkes i formen

( 3 ) $\mathbf {v} =v\mathbf {e} t}=r\omega (\mathbf {e} n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _ {n}) \times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega }$

så vi kan sige:

Hastigheden v af et generisk punkt P af det roterende stive legeme er lig med momentet af vinkelhastighedsvektoren ω i forhold til nævnte punkt P.

Således, når vinkelhastigheden ω er kendt, bestemmes fordelingen af hastigheder på alle punkter af det roterende stive legeme. Udtrykket [8] kan skrives i formen

( 4 ) $\mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$

hvor er positionsvektoren for det generiske punkt P i forhold til ethvert punkt på rotationsaksen. $\mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}$

Ovenstående definitioner kræver, at vinkelhastighedsvektoren ω har en glidende karakter på rotationsaksen.

Det er vigtigt at bemærke, at vinkelhastigheden "vektor" ikke er en polær vektor, men en pseudovektor eller aksial vektor . Af denne grund, i relativitetsteorien, hvor rumtid har fire dimensioner, kan den ikke repræsenteres af nogen tetravektor , hvorfor vinkelhastigheden i relativitetsteorien er repræsenteret af en antisymmetrisk 2-tensor Lorentz transformationer . Nogle yderligere detaljer er givet i det næste afsnit om, hvorfor vinkelhastighed kan repræsenteres af en antisymmetrisk tensor.

Vinkelhastighed af et trihedron

Dette gælder både for et roterende referencesystem og for et stift legeme.

Vinkelhastighedstensor

Se også: Antisymmetrisk matrix

Matrixformen til at repræsentere vinkelhastighed kan udledes fra rotationsmatricer. Enhver tredimensionel vektor, der roterer omkring en akse med vinkelhastighed (i henhold til de tidligere definitioner) opfylder: ${\vec {\omega }}$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Vinkelhastighedstensoren forbundet med den tidligere vinkelhastighed kan nu indtastes som ${\boldsymbol \omega }$

$\mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omegaz}(t)&\omegay}(t)\\\omegaz}(t) &0&-ωx(t)\\-ωy(t)&ωx(t)&0\\\end{pmatrix}}$

Denne antisymmetriske tensor fungerer, som om den var en operator: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$ $\scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )$

${\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)$

Givet en rotationsmatrix , kan vinkelhastighedstensoren W opnås på hvert tidspunkt som vist nedenfor, det er rigtigt, at: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r}$

Da vinkelhastigheden skal være den samme for de tre vektorer i det samme referencesystem, hvis matrixen, hvis tre søjler er tre indbyrdes vinkelrette enhedsvektorer, kan vi skrive relationen: $\scriptstyle \mathbf {R} (t)$

( * ) ${\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)$

Og derfor kan vinkelhastigheden simpelthen defineres som:

$\mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R}<T}(t)$

En anden måde at direkte opnå vinkelhastigheden for en rotation er ved at udlede relationen:

$\mathbf {R} (t)\mathbf {R}T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t )\mathbf {R}ÂT}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0}$

Hvorfra det opnås, at den antisymmetriske matrix defineret som:

$\mathbf {W} (t):={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R}ÂT}(t)=-\mathbf {R} (t){ \dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)$

Det svarer til definitionen givet tidligere for vinkelhastighedstensoren . Det kan vises, at enhver en-parameter gruppe af rotationsmatricer kan opnås som integralkurven af følgende differentialligning ( * ), hvis løsning kan udtrykkes som en eksponentiel af en matrix som:

$\mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)$

Definitionen af vinkelhastighed som en tensor giver os mulighed for at generalisere begrebet vinkelhastighed til et euklidisk rum af dimension for n > 3. $\scriptstyle \mathbb{R} n}$

Enheder

I det internationale system af enheder har vinkelhastigheder enheder af det omvendte sekund , også kaldet hertz . Det er almindeligt også at udtrykke vinkelhastigheden i "omdrejninger pr. minut" , selvom den enhed ikke er en del af det internationale system. $[{\text{s}}^{-1}]$ $[{\text{Hz}}]$ $[{\text{rpm}}]$

Nogle tekster bruger stadig "radianen pr. sekund", selvom radianen er en pseudunit, der ikke er en del af det internationale system af enheder, og dens brug frarådes professionelt, selvom den i nogle sammenhænge kun opretholdes til undervisningsformål.

Se også

Referencer

Bibliografi

Ortega, Manuel R. (1986 2016). Fysikforelæsninger (4 bind) . Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5 .
Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Fysik (på engelsk) . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fysik for forskere og ingeniører ( 6. udgave). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7 .
Tipler, Paul A. (2000). Fysik for videnskab og teknologi (2 bind) . Barcelona: Red. Jeg vendte om. ISBN 84-291-4382-3 .
https://cibertasks.info/fisica-angular-velocity-1.html