Viteză unghiulară

Viteza unghiulară este o măsură a vitezei de rotație . Este definit ca unghiul rotit pe unitatea de timp și este desemnat cu litera greacă ω . Unitatea sa în Sistemul Internațional este radianul pe secundă (rad/s).

Deși este definit pentru mișcarea de rotație a corpului rigid, este folosit și în cinematica particulei sau punctului material , mai ales atunci când se deplasează pe o cale închisă (circulară, eliptică etc.).

Viteza unghiulară într-o mișcare în plan circular

Mișcare de rotație. Calea circulară a unui punct de pe solid în jurul axei de rotație.

Pentru un obiect care se rotește în jurul unei axe, în fiecare punct de-a lungul căii, obiectul are aceeași viteză unghiulară. Viteza tangențială a oricărui punct este proporțională cu distanța acestuia față de axa de rotație. Unitățile de viteză unghiulară sunt radiani/secundă, astfel încât valoarea sa instantanee este definită de derivata :

$\omega =\lim​​\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}$

În mișcare circulară uniformă , deoarece o rotație completă reprezintă 2π radiani, avem:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$

unde T este perioada (timpul pentru a face o rotație completă) și f este frecvența (numărul de rotații sau spire pe unitatea de timp). Astfel încât

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,$

Viteza unghiulară într-o mișcare plană generală

În cazul unei mișcări plane generale necirculare, viteza unghiulară trebuie întotdeauna definită în raport cu un punct. De exemplu, atunci când studiem orbita pământului în raport cu soarele, punctul cel mai potrivit va fi focalizarea elipsei în care se află soarele.

Viteza unghiulară va fi rata de variație a unghiului subîntins al vectorului de poziție r față de punctul dat, iar valoarea sa numerică va depinde de punctul ales.

Deoarece mișcarea radială din punctul dat nu contribuie la creșterea unghiului subîntins, doar componenta tangențială o va face. Prin urmare putem spune

$\omega ={\frac {v.sin\theta }{r}}$

Înmulțirea de sus și de jos cu vectorul rază:

$\omega ={\frac {vrsin\theta }{r^{2}}}$

Ceea ce indică faptul că poate fi scris în termenii produsului încrucișat r x v

Vector viteză unghiulară

Vectorul viteză unghiulară ω este definit ca un vector axial paralel cu axa de rotație, al cărui modul este valoarea vitezei unghiulare definite anterior, adică

( 1 )${\omega }={d\theta \over dt}$

, al cărui sens este cel al axei de rotație și al cărui sens coincide cu cel al avansului unui șurub care se rotește în direcția în care o face solidul ( regula de la dreapta ). Dacă desemnăm prin e vectorul care indică direcția axei și a cărui direcție este cea definită de regula anterioară, avem

( 2 )$\mathbf {\omega} = {d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} = {d\mathbf {\theta} \over dt}$

unde am considerat elementul unghi d θ ca un vector d θ , al modulului d θ , a cărui direcție este definită de regula șurubului. Numind e _t și e _n vectorii tangențiali și, respectiv, normali la traiectoria punctului generic P, viteza acelui punct poate fi exprimată sub forma

( 3 )$\mathbf {v} =v\mathbf {e} t}=r\omega (\mathbf {e} n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _ {n}) \times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega }$

deci putem spune:

Viteza v a unui punct generic P al corpului rigid rotativ este egală cu momentul vectorului viteză unghiulară ω în raport cu punctul P menționat.

Astfel, odată ce viteza unghiulară ω este cunoscută, se determină distribuția vitezelor în toate punctele corpului rigid rotativ. Expresia [8] se poate scrie sub forma

( 4 )$\mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$

unde este vectorul de poziție al punctului generic P față de orice punct de pe axa de rotație. $\mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}$

Definițiile de mai sus necesită ca vectorul viteză unghiulară ω să aibă un caracter de alunecare pe axa de rotație.

Este important de reținut că „vectorul” vitezei unghiulare nu este un vector polar, ci un pseudovector sau un vector axial . Din acest motiv, în teoria relativității, unde spațiu-timpul are patru dimensiuni, nu poate fi reprezentat de niciun tetravector , motiv pentru care în teoria relativității viteza unghiulară este reprezentată de un 2-tensor antisimetric, care are care satisface legile de transformare potrivite lui Lorentz . transformări . Câteva detalii suplimentare sunt date în secțiunea următoare despre motivul pentru care viteza unghiulară poate fi reprezentată printr-un tensor antisimetric.

Viteza unghiulară a unui triedru

Acest lucru este valabil atât pentru un sistem de referință rotativ, cât și pentru un corp rigid.

Tensor de viteză unghiulară

Vezi și: Matrice antisimetrică

Forma matricei pentru a reprezenta viteza unghiulară poate fi dedusă din matricele de rotație. Orice vector tridimensional care se rotește în jurul unei axe cu viteză unghiulară (conform definițiilor anterioare) satisface: ${\vec {\omega }}$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Tensorul vitezei unghiulare asociat cu viteza unghiulară anterioară poate fi acum introdus ca ${\boldsymbol \omega }$

$\mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omega​​z}(t)&\omega​​y}(t)\\\omega​​z}(t) &0&-ωx(t)\\-ωy(t)&ωx(t)&0\\\end{pmatrix}}$

Acest tensor antisimetric acționează ca și cum ar fi un operator: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$$\scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )$

${\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)$

Având în vedere o matrice de rotație , tensorul vitezei unghiulare W poate fi obținut în fiecare moment așa cum se arată mai jos, este adevărat că: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r}$

Deoarece viteza unghiulară trebuie să fie aceeași pentru cei trei vectori ai aceluiași sistem de referință, dacă matricea ale cărei trei coloane sunt trei vectori unitari reciproc perpendiculari, putem scrie relația: $\scriptstyle \mathbf {R} (t)$

( * )${\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)$

Și, prin urmare, viteza unghiulară poate fi definită simplu ca:

$\mathbf {W} = {\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R}<T}(t)$

O altă modalitate de a obține direct viteza unghiulară a unei rotații este derivarea relației:

$\mathbf {R} (t)\mathbf {R}​​T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t )\mathbf {R}ÂT}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0}$

De unde se obține că matricea antisimetrică definită ca:

$\mathbf {W} (t):={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R}ÂT}(t)=-\mathbf {R} (t){ \dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)$

Se potrivește cu definiția dată mai devreme pentru tensorul vitezei unghiulare . Se poate demonstra că orice grup de matrici de rotație cu un singur parametru poate fi obținut ca curba integrală a următoarei ecuații diferențiale ( * ) a cărei soluție poate fi exprimată ca exponențială a unei matrice ca:

$\mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)$

Definiția vitezei unghiulare ca tensor ne permite să generalizăm conceptul de viteză unghiulară la un spațiu euclidian de dimensiune pentru n > 3. $\scriptstyle \mathbb{R} n}$

Unități

În sistemul internațional de unități, vitezele unghiulare au unități ale secundei inverse , numite și herți . Este obișnuit să se exprime și viteza unghiulară în „revoluții pe minut”, deși acea unitate nu face parte din sistemul internațional. $[{\text{s}}^{-1}]$$[{\text{Hz}}]$$[{\text{rpm}}]$

Unele texte folosesc încă „radianul pe secundă”, deși radianul este o pseudounitate care nu face parte din sistemul internațional de unități și utilizarea sa este descurajată profesional, deși este menținut în unele contexte doar în scopuri educaționale.

Vezi și

• Cinematica corpului rigid
• Frecvență
• accelerație unghiulară
• Deplasare unghiulară

Referințe

Bibliografie

• Ortega, Manuel R. (1986 2016). Prelegeri de fizică (4 volume) . Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5 . 
• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Fizica (în engleză) . New York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-32057-9 . 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fizica pentru oameni de știință și ingineri ( ediția a 6-a). Brooks/Cole. ISBN  0-534-40842-7 . 
• Tipler, Paul A. (2000). Fizica pentru știință și tehnologie (2 volume) . Barcelona: Ed. Am inversat. ISBN  84-291-4382-3 . 
• https://cibertasks.info/fisica-angular-velocity-1.html