Vitesse angulaire

La vitesse angulaire est une mesure de la vitesse de rotation . Il est défini comme l'angle de rotation par unité de temps et est désigné par la lettre grecque ω . Son unité dans le système international est le radian par seconde (rad/s).

Bien qu'il soit défini pour le mouvement de rotation du corps rigide, il est également utilisé dans la cinématique de la particule ou du point matériel , notamment lorsqu'il se déplace sur une trajectoire fermée (circulaire, elliptique, etc.).

Vitesse angulaire dans un mouvement de plan circulaire

Mouvement rotatoire. Trajectoire circulaire d'un point du solide autour de l'axe de rotation.

Pour un objet tournant autour d'un axe, à chaque point le long du chemin, l'objet a la même vitesse angulaire. La vitesse tangentielle de tout point est proportionnelle à sa distance à l'axe de rotation. L'unité de vitesse angulaire est le radian/seconde, sa valeur instantanée est donc définie par la dérivée :

$\omega =\lim\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}$

En mouvement circulaire uniforme , puisqu'un tour complet représente 2π radians, on a :

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$

où T est la période (temps pour faire un tour complet) et f est la fréquence (nombre de tours ou tours par unité de temps). De sorte que

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,$

dans un mouvement plan

Dans le cas d'un mouvement plan général non circulaire, la vitesse angulaire doit toujours être définie par rapport à un point. Par exemple, lors de l'étude de l'orbite de la terre par rapport au soleil, le point le plus approprié sera le foyer de l'ellipse où se trouve le soleil.

La vitesse angulaire sera le taux de variation de l'angle sous-tendu du vecteur position r par rapport au point donné, et sa valeur numérique dépendra du point choisi.

Étant donné que le mouvement radial à partir du point donné ne contribue pas à augmenter l'angle sous-tendu, seule la composante tangentielle le fera. C'est pourquoi nous pouvons dire

$\omega ={\frac {v.sin\theta }{r}}$

Multiplication du haut et du bas par le vecteur rayon :

$\omega ={\frac {vrsin\theta }{r^{2}}}$

Ce qui indique qu'il peut être écrit en termes de produit croisé r x v

Vecteur vitesse angulaire

Le vecteur vitesse angulaire ω est défini comme un vecteur axial parallèle à l'axe de rotation, dont le module est la valeur de la vitesse angulaire précédemment définie, c'est-à-dire

( 1 ) ${\omega }={d\theta \over dt}$

, dont la direction est celle de l'axe de rotation et dont la direction coïncide avec celle de l'avance d'une vis qui tourne dans le sens du solide ( règle de la main droite ). Si on désigne par e le vecteur qui indique la direction de l'axe, et dont la direction est celle définie par la règle précédente, on a

( 2 ) $\mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}$

où nous avons considéré l'élément d'angle d θ comme un vecteur d θ , de module d θ , dont la direction est définie par la règle de la vis. En appelant e _t et e _n les vecteurs tangentiel et normal, respectivement, à la trajectoire du point générique P, la vitesse de ce point peut être exprimée sous la forme

( 3 ) $\mathbf {v} =v\mathbf {e} t}=r\omega (\mathbf {e} n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _ {n}) \times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega }$

on peut donc dire:

La vitesse v d'un point générique P du corps rigide en rotation est égale au moment du vecteur vitesse angulaire ω par rapport audit point P.

Ainsi, une fois la vitesse angulaire ω connue, la répartition des vitesses en tous points du corps rigide en rotation est déterminée. L'expression [8] peut s'écrire sous la forme

( 4 ) $\mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$

où est le vecteur position du point générique P par rapport à tout point de l'axe de rotation. $\mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}$

Les définitions ci-dessus nécessitent que le vecteur vitesse angulaire ω ait un caractère glissant sur l'axe de rotation.

Il est important de noter que le "vecteur" vitesse angulaire n'est pas un vecteur polaire, mais un pseudovecteur ou vecteur axial . Pour cette raison, dans la théorie de la relativité, où l'espace-temps a quatre dimensions, il ne peut être représenté par aucun tétravecteur , c'est pourquoi dans la théorie de la relativité la vitesse angulaire est représentée par un 2-tenseur antisymétrique , qui satisfait les lois de transformation propres sous Lorentz transformations . Quelques détails supplémentaires sont donnés dans la section suivante sur les raisons pour lesquelles la vitesse angulaire peut être représentée par un tenseur antisymétrique.

Vitesse angulaire d'un trièdre

Ceci est vrai aussi bien pour un référentiel tournant que pour un corps rigide.

Tenseur

Voir aussi: Matrice antisymétrique

La forme matricielle pour représenter la vitesse angulaire peut être déduite des matrices de rotation. Tout vecteur tridimensionnel qui tourne autour d'un axe avec une vitesse angulaire (selon les définitions précédentes) satisfait : ${\vec {\omega}}$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Le tenseur de vitesse angulaire associé à la vitesse angulaire précédente peut maintenant être entré comme ${\boldsymbol \omega }$

$\mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omegaz}(t)&\omegay}(t)\\\omegaz}(t) &0&-ωx(t)\\-ωy(t)&ωx(t)&0\\\end{pmatrice}}$

Ce tenseur antisymétrique agit comme s'il s'agissait d'un opérateur : $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$ $\scriptstyle ({\boldsymbol {\omega}}\times)$

${\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)$

Etant donné une matrice de rotation , le tenseur de vitesse angulaire W peut être obtenu à chaque instant comme indiqué ci-dessous, il est vrai que : $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r}$

Comme la vitesse angulaire doit être la même pour les trois vecteurs d'un même référentiel, si la matrice dont les trois colonnes sont trois vecteurs unitaires perpendiculaires entre eux, on peut écrire la relation : $\scriptstyle \mathbf {R} (t)$

( * ) ${\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)$

Et donc la vitesse angulaire peut être définie simplement comme :

$\mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R}<T}(t)$

Une autre façon d'obtenir directement la vitesse angulaire d'une rotation est de dériver la relation :

$\mathbf {R} (t)\mathbf {R}T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R}}}(t )\mathbf {R}ÂT}(t)+\mathbf {R} (t){\dot {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0}$

D'où l'on obtient que la matrice antisymétrique définie comme :

$\mathbf {W} (t) :={\dot {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R}ÂT}(t)=-\mathbf {R} (t){ \dot {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)$

Il correspond à la définition donnée précédemment pour le tenseur de vitesse angulaire . On peut montrer que tout groupe de matrices de rotation à un paramètre peut être obtenu comme la courbe intégrale de l'équation différentielle suivante ( * ) dont la solution peut être exprimée comme une exponentielle d'une matrice comme :

$\mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\right)$

La définition de la vitesse angulaire comme un tenseur nous permet de généraliser le concept de vitesse angulaire à un espace euclidien de dimension pour n > 3. $\scriptstyle \mathbb{R} n}$

Unités

Dans le système international d'unités, les vitesses angulaires ont pour unités la seconde inverse , également appelée hertz . Il est courant d'exprimer également la vitesse angulaire en "tours par minute" bien que cette unité ne fasse pas partie du système international. $[{\text{s}}^{-1}]$ $[{\text{Hz}}]$ $[{\text{rpm}}]$

Certains textes utilisent encore le "radian par seconde", bien que le radian soit une pseudo-unité qui ne fait pas partie du système international d'unités et que son utilisation soit déconseillée professionnellement, bien qu'elle soit maintenue dans certains contextes à des fins éducatives uniquement.

Voir aussi

Références

Bibliographie

Ortega, Manuel R. (1986 2016). Cours de physique (4 volumes) . Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5 .
Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physique (en anglais) . New York : John Wiley & Fils. ISBN 0-471-32057-9 .
Serway, Raymond A.; En ligneJewett, John W. (2004). Physique pour les scientifiques et les ingénieurs ( 6e édition). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7 .
Tipler, Paul A. (2000). Physique pour la science et la technologie (2 volumes) . Barcelone : Ed. J'ai renversé. ISBN 84-291-4382-3 .
https://cibertasks.info/fisica-angular-velocity-1.html