Kulmanopeus

Kulmanopeus on pyörimisnopeuden mitta . Se määritellään kulmaksi, joka on kierretty aikayksikköä kohti, ja se on merkitty kreikkalaisella kirjaimella ω . Sen yksikkö kansainvälisessä järjestelmässä on radiaani sekunnissa (rad/s) .

Vaikka se on määritelty jäykän kappaleen pyörivälle liikkeelle, sitä käytetään myös hiukkasen tai materiaalipisteen kinematiikassa , etenkin kun se liikkuu suljettua polkua (ympyrä, elliptinen jne.).

Kulmanopeus ympyrätasoliikkeessä

Pyörivä liike. Kiinteän aineen pisteen ympyrärata pyörimisakselin ympäri.

Akselin ympäri pyörivällä esineellä on jokaisessa polun pisteessä sama kulmanopeus. Minkä tahansa pisteen tangentiaalinen nopeus on verrannollinen sen etäisyyteen pyörimisakselista. Kulmanopeuden yksiköt ovat radiaaneja/sekunti, joten sen hetkellinen arvo määritellään derivaatalla :

$\omega =\lim​​\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {\theta } }{\Delta t}}={\frac {d\theta }{dt}}$

Tasaisessa ympyräliikkeessä , koska yksi täydellinen kierros edustaa 2π radiaania, meillä on:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f$

jossa T on jakso (aika täydelliseen käännökseen) ja f on taajuus (kierrosten tai kierrosten lukumäärä aikayksikköä kohti). Jotta

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {v}{r}}\qquad \Rightarrow \qquad v=\omega r\,$

Kulmanopeus yleisessä tasoliikkeessä

Yleisen ei-ympyränmuotoisen tasoliikkeen tapauksessa kulmanopeus on aina määritettävä pisteen suhteen. Esimerkiksi, kun tutkitaan maan kiertorataa suhteessa aurinkoon, sopivin piste on ellipsin fokus, jossa aurinko on.

Kulmanopeus on paikkavektorin r pienennetyn kulman vaihtelunopeus suhteessa annettuun pisteeseen, ja sen numeerinen arvo riippuu valitusta pisteestä.

Koska säteittäinen liike annetusta pisteestä ei lisää kulmakulmaa, vain tangentiaalinen komponentti vaikuttaa. Siksi voimme sanoa

$\omega ={\frac {v.sin\theta }{r}}$

Kerrotaan ylä- ja alaosa sädevektorilla:

$\omega ={\frac {vrsin\theta }{r^{2}}}$

Mikä viittaa siihen, että se voidaan kirjoittaa ristitulolla r x v

Kulmanopeusvektori

Kulmanopeusvektori ω määritellään pyörimisakselin suuntaiseksi aksiaaliseksi vektoriksi , jonka moduuli on aiemmin määritellyn kulmanopeuden arvo, eli

( 1 )${\omega }={d\theta \over dt}$

, jonka suunta on pyörimisakselin suunta ja jonka suunta on sama kuin ruuvin etenemissuunta, joka pyörii siihen suuntaan, johon kiinteä aine pyörii ( oikean käden sääntö ). Jos merkitsemme e :llä vektorin , joka ilmaisee akselin suunnan ja jonka suunta on edellisen säännön mukainen, meillä on

( 2 )$\mathbf {\omega } ={d\theta \over dt}\mathbf {e} \Rightarrow \omega \mathbf {e} ={d\mathbf {\theta } \over dt}$

jossa olemme pitäneet kulmaelementtiä d θ moduulin d θ vektorina d θ , jonka suunnan määrittää ruuvisääntö. Kutsumalla e _t ja e _n tangentiaaliset ja vastaavasti normaalivektorit geneerisen pisteen P lentoradalle, pisteen nopeus voidaan ilmaista muodossa

( 3 )$\mathbf {v} =v\mathbf {e} t}=r\omega (\mathbf {e} n}\times \mathbf {e} )=(r\mathbf {e} _ {n}) \times (\omega \mathbf {e} )={\overrightarrow {\text{PO}}}\times \mathbf {\omega }$

joten voimme sanoa:

Pyörivän jäykän kappaleen geneerisen pisteen P nopeus v on yhtä suuri kuin kulmanopeusvektorin ω momentti suhteessa pisteeseen P.

Siten, kun kulmanopeus ω tunnetaan, määritetään nopeuksien jakautuminen pyörivän jäykän kappaleen kaikissa kohdissa. Lauseke [8] voidaan kirjoittaa muotoon

( 4 )$\mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times {\overrightarrow {\text{OP}}}=\mathbf {\omega } \times \mathbf {r}$

missä on yleisen pisteen P sijaintivektori minkä tahansa pyörimisakselin pisteen suhteen. $\mathbf {r} ={\overrightarrow {\text{OP}}}$

Yllä olevat määritelmät edellyttävät, että kulmanopeusvektorilla ω on liukuva merkki pyörimisakselilla.

On tärkeää huomata, että kulmanopeuden "vektori" ei ole polaarinen vektori, vaan pseudovektori tai aksiaalinen vektori . Tästä syystä suhteellisuusteoriassa, jossa aika-avaruudella on neljä ulottuvuutta, sitä ei voida esittää millään tetravektorilla , minkä vuoksi suhteellisuusteoriassa kulmanopeutta edustaa antisymmetrinen 2-tensori Lorentzin muunnoslait. muunnoksia . Joitakin lisäyksityiskohtia annetaan seuraavassa osiossa siitä, miksi kulmanopeus voidaan esittää antisymmetrisellä tensorilla.

Kolmioedrin kulmanopeus

Tämä koskee sekä pyörivää vertailujärjestelmää että jäykkää runkoa.

Kulmanopeustensori

Katso myös: Antisymmetrinen matriisi

Matriisimuoto, joka edustaa kulmanopeutta, voidaan päätellä rotaatiomatriiseista. Mikä tahansa kolmiulotteinen vektori, joka pyörii akselin ympäri kulmanopeudella (edellisten määritelmien mukaan), täyttää: ${\vec {\omega }}$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Edelliseen kulmanopeuteen liittyvä kulmanopeustensori voidaan nyt syöttää muodossa ${\boldsymbol \omega }$

$\mathbf {W} (t)={\begin{pmatrix}0&-\omega​​z}(t)&\omega​​y}(t)\\\omega​​z}(t) &0&-ωx(t)\\-ωy(t)&ωx(t)&0\\\end{pmatrix}}$

Tämä antisymmetrinen tensori toimii kuin se olisi operaattori: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$$\scriptstyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )$

${\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)=\mathbf {W} (t)\mathbf {r} (t)$

Kun rotaatiomatriisi , kulmanopeustensori W voidaan saada kullakin hetkellä alla esitetyllä tavalla, on totta, että: $\scriptstyle \mathbf {W} (t)$

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {r}$

Koska kulmanopeuden on oltava sama saman referenssijärjestelmän kolmelle vektorille, jos matriisi, jonka kolme saraketta on kolme keskenään kohtisuoraa yksikkövektoria, voidaan kirjoittaa relaatio: $\scriptstyle \mathbf {R} (t)$

( * )${\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}=\mathbf {W} \cdot \mathbf {R} (t)$

Ja siksi kulmanopeus voidaan määritellä yksinkertaisesti seuraavasti:

$\mathbf {W} ={\frac {d\mathbf {R} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {R}<T}(t)$

Toinen tapa saada suoraan pyörimisen kulmanopeus on johtamalla relaatio:

$\mathbf {R} (t)\mathbf {R}​​T}(t)=\mathbf {\mathrm {Id} } \quad \Rightarrow {\dot {\mathbf {R} }}(t )\mathbf {R}ÂT}(t)+\mathbf {R} (t){\piste {\mathbf {R} }}^{T}(t)=\mathbf {0}$

Mistä saadaan, että antisymmetrinen matriisi määritellään seuraavasti:

$\mathbf {W} (t):={\piste {\mathbf {R} }}(t)\mathbf {R}ÂT}(t)=-\mathbf {R} (t){ \piste {\mathbf {R} }}(t)^{T}(t)$

Se vastaa aiemmin annettua kulmanopeustensorin määritelmää . Voidaan osoittaa, että mikä tahansa yhden parametrin rotaatiomatriisien ryhmä voidaan saada seuraavan differentiaaliyhtälön ( * ) integraalikäyränä , jonka ratkaisu voidaan ilmaista matriisin eksponentiaalina seuraavasti:

$\mathbf {R} (t)=\mathbf {R} (0)\cdot \exp \left(\int{0}^{t}\mathbf {W} (t)dt\oikea)$

Kulmanopeuden määritelmä tensorina mahdollistaa kulmanopeuden käsitteen yleistämisen euklidiseen mitta -avaruuteen, kun n > 3. $\scriptstyle \mathbb{R} n}$

Yksiköt

Kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä kulmanopeuksilla on käänteisen sekunnin yksiköt , joita kutsutaan myös hertseiksi . On yleistä ilmaista myös kulmanopeus "kierroksina minuutissa" , vaikka tämä yksikkö ei ole osa kansainvälistä järjestelmää. $[{\text{s}}^{-1}]$$[{\text{Hz}}]$$[{\text{rpm}}]$

Joissakin teksteissä käytetään edelleen "radiaania sekunnissa", vaikka radiaani on pseudoyksikkö, joka ei ole osa kansainvälistä yksikköjärjestelmää ja sen käyttöä ei suositella ammattimaisesti, vaikka sitä ylläpidetään joissakin yhteyksissä vain opetustarkoituksiin.

Katso myös

• Jäykän rungon kinematiikka
• Taajuus
• kulmakiihtyvyyttä
• Kulmasiirto

Viitteet

Bibliografia

• Ortega, Manuel R. (1986 2016). Fysiikan luennot (4 osaa) . Monytex. ISBN 84-404-4290-RFC CACM869929DG5 . 
• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Fysiikka (englanniksi) . New York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-32057-9 . 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers ( 6. painos). Brooks/Cole. ISBN  0-534-40842-7 . 
• Tipler, Paul A. (2000). Fysiikka tieteelle ja teknologialle (2 osaa) . Barcelona: Toim. Käänsin. ISBN  84-291-4382-3 . 
• https://cibertasks.info/fisica-angular-velocity-1.html