Cifersum - Digit sum

I matematik , den Tværsum af et naturligt tal i en given talbase er summen af alle dets cifre . F.eks. Ville cifrets sum af decimaltallet være . ${\ displaystyle 9045}$${\ displaystyle 9+0+4+5 = 18}$

Definition

Lad være et naturligt tal. Vi definerer cifersummen for basis til at være følgende: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0}^{k-1} d_ {i}}$

hvor er antallet af cifre i tallet i basen , og ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b^{i+1}}}-n {\ bmod {b}}^{i}} {b^{i}}}}$

er værdien af ​​hvert ciffer i tallet.

For eksempel, i base 10, er cifersummen på 84001 . ${\ displaystyle F_ {10} (84001) = 8+4+0+0+1 = 13}$

For to baser og for tilstrækkeligt store naturlige tal , ${\ displaystyle 2 \ leq b_ {1} <b_ {2}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0}^{n} F_ {b_ {1}} (k) <\ sum _ {k = 0}^{n} F_ {b_ {2}} (k)}$.

Summen af grundtalets 10 cifre i heltalene 0, 1, 2, ... er givet af OEIS :  A007953 i On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Borwein & Borwein (1992) bruger genereringsfunktionen for denne heltalssekvens (og af den analoge sekvens for binære cifrede summer) til at udlede flere hurtigt konvergerende serier med rationelle og transcendentale summer.

Udvidelse til negative heltal

Cifersummen kan udvides til de negative heltal ved hjælp af en signeret cifret repræsentation til at repræsentere hvert helt tal.

Ansøgninger

Begrebet decimalcifret sum er nært beslægtet med, men ikke det samme som, den digitale rod , som er resultatet af gentagne anvendelser af cifersumfunktionen, indtil den resterende værdi kun er et enkelt ciffer. Den digitale rod for ethvert helt tal uden nul vil være et tal i området 1 til 9, hvorimod cifersummen kan tage enhver værdi. Cifersummer og digitale rødder kan bruges til hurtige delbarhedstest : et naturligt tal kan deles med 3 eller 9, hvis og kun hvis dets cifersum (eller digitale rod) er delelig med henholdsvis 3 eller 9. For delbarhed med 9 kaldes denne test reglen om ni og er grundlaget for udkastning af ni -teknikken til kontrol af beregninger.

Cifersummer er også en almindelig ingrediens i kontrolsumalgoritmer til at kontrollere de aritmetiske operationer på tidlige computere. Tidligere, i en æra med håndberegning, foreslog Edgeworth (1888) at bruge summer på 50 cifre taget fra matematiske logaritmer som en form for tilfældig talgenerering ; hvis man antager, at hvert ciffer er tilfældigt, vil disse cifersummer ved den centrale grænsesætning have en tilfældig fordeling, der tæt nærmer sig en gaussisk fordeling .

Cifersummen for den binære repræsentation af et tal er kendt som dens Hamming -vægt eller befolkningstal; algoritmer til at udføre denne operation er blevet undersøgt, og den er inkluderet som en indbygget operation i nogle computerarkitekturer og nogle programmeringssprog. Disse operationer bruges i computerapplikationer, herunder kryptografi , kodningsteori og computerskak .

Harshad -tal defineres med hensyn til delbarhed med deres cifersummer, og Smith -tal defineres ved lighed mellem deres cifersummer og cifersummen for deres primfaktoriseringer .

Se også

• Aritmetisk dynamik
• Kaster ni ud
• Checksum
• Digital rod
• Hamming vægt
• Harshad nummer
• Perfekt digital invariant
• Sideløbende sum
• Smith nummer
• Sum-produktnummer

Referencer

eksterne links

• Weisstein, Eric W. "Digit Sum" . MathWorld .
• [1] Enkle anvendelser af cifersum