Digital rod - Digital root

Den digitale rod (også gentaget digital sum ) af et naturligt tal i en given radix er værdien (enkeltcifret) opnået ved en iterativ proces med summering af cifre på hver iteration ved hjælp af resultatet fra den tidligere iteration til at beregne et cifersum. Processen fortsætter, indtil et enkeltcifret tal er nået. I base 10 svarer dette til at tage resten ved division med 9 (undtagen når den digitale rod er 9, hvor resten ved division med 9 vil være 0).

Formel definition

Lad være et naturligt tal. Til basen , definerer vi Tværsum at være følgende: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0}^{k-1} d_ {i}}

hvor er antallet af cifre i tallet i basen , og ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ ${\ displaystyle b}$

{\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b^{i+1}}}-n {\ bmod {b}}^{i}} {b^{i}}}}}

er værdien af hvert ciffer i tallet. Et naturligt tal er en digital rod, hvis det er et fast punkt for , hvilket sker hvis . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ displaystyle F_ {b} (n) = n}$

Alle naturlige tal er præperiodiske punkter for , uanset basen. Det er fordi, hvis , så ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F_ {b}}$ ${\ displaystyle n \ geq b}$

{\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0}^{k-1} d_ {i} b^{i}}

og derfor

{\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0}^{k-1} d_ {i} <\ sum _ {i = 0}^{k-1} d_ {i} b^ {i} = n}

fordi . Hvis , så trivielt ${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle n <b}$

{\ displaystyle F_ {b} (n) = n}

Derfor er de eneste mulige digitale rødder de naturlige tal , og der er ingen andre cyklusser end de faste punkter . ${\ displaystyle 0 \ leq n <b}$ ${\ displaystyle 0 \ leq n <b}$

Eksempel

I base 12 , 8 er additiv digital rod af base 10 nummer 3110, som for ${\ displaystyle n = 3110}$

{\ displaystyle d_ {0} = {\ frac {3110 {\ bmod {12^{0+1}}}-3110 {\ bmod {1}} 2^{0}} {12^{0}}} = {\ frac {3110 {\ bmod {12}}-3110 {\ bmod {1}}} {1}} = {\ frac {2-0} {1}} = {\ frac {2} {1}} = 2}

{\ displaystyle d_ {1} = {\ frac {3110 {\ bmod {12^{1+1}}}-3110 {\ bmod {1}} 2^{1}} {12^{1}}} = {\ frac {3110 {\ bmod {144}}-3110 {\ bmod {1}} 2} {12}} = {\ frac {86-2} {12}} = {\ frac {84} {12} } = 7}

{\ displaystyle d_ {2} = {\ frac {3110 {\ bmod {12^{2+1}}}-3110 {\ bmod {1}} 2^{2}} {12^{2}}} = {\ frac {3110 {\ bmod {1728}}-3110 {\ bmod {1}} 44} {144}} = {\ frac {1382-86} {144}} = {\ frac {1296} {144} } = 9}

{\ displaystyle d_ {3} = {\ frac {3110 {\ bmod {12^{3+1}}}-3110 {\ bmod {1}} 2^{3}} {12^{3}}} = {\ frac {3110 {\ bmod {20736}}-3110 {\ bmod {1}} 728} {1728}} = {\ frac {3110-1382} {1728}} = {\ frac {1728} {1728} } = 1}

{\ displaystyle F_ {12} (3110) = \ sum _ {i = 0}^{4-1} d_ {i} = 2+7+9+1 = 19}

Denne proces viser, at 3110 er 1972 i base 12 . Nu til ${\ displaystyle F_ {12} (3110) = 19}$

{\ displaystyle d_ {0} = {\ frac {19 {\ bmod {12^{0+1}}}-19 {\ bmod {1}} 2^{0}} {12^{0}}} = {\ frac {19 {\ bmod {12}}-19 {\ bmod {1}}} {1}} = {\ frac {7-0} {1}} = {\ frac {7} {1}} = 7}

{\ displaystyle d_ {1} = {\ frac {19 {\ bmod {12^{1+1}}}-19 {\ bmod {1}} 2^{1}} {12^{1}}} = {\ frac {19 {\ bmod {144}}-19 {\ bmod {1}} 2} {12}} = {\ frac {19-7} {12}} = {\ frac {12} {12} } = 1}

{\ displaystyle F_ {12} (19) = \ sum _ {i = 0}^{2-1} d_ {i} = 1+7 = 8}

viser, at 19 er 17 i base 12 . Og da 8 er et 1-cifret tal i basis 12 ,

{\ displaystyle F_ {12} (8) = 8}

Direkte formler

Vi kan definere cifferrot direkte til base på følgende måder: ${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

Kongruensformel

Formlen i basen er: ${\ displaystyle b}$

{\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b} (n) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} \ n = 0, \\ b-1 & {\ mbox {if}} \ n \ neq 0, \ n \ \ equiv 0 {\ bmod {b-1}}, \\ n \ {\ rm {mod}} \ (b-1) & {\ mbox {if}} \ n \ not \ equiv 0 {\ bmod {b-1}} \ end {cases}}}

eller,

{\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b} (n) = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} \ n = 0, \\ 1 \ +\ ((n-1) \ {\ rm {mod}} \ (b-1)) og {\ mbox {if}} \ n \ neq 0. \ end {cases}}}

I base 10 er den tilsvarende sekvens (sekvens A010888 i OEIS ).

Den digitale rod er værdimodulo, fordi værdien er den samme - og derfor uanset position, er værdien den samme - - hvorfor cifre kan tilføjes meningsfuldt. Konkret for et trecifret nummer ${\ displaystyle b-1}$ ${\ displaystyle b \ equiv 1 {\ bmod {b-1}},}$ ${\ displaystyle b^{k} \ equiv 1^{k} \ equiv 1 {\ bmod {b-1}},}$ ${\ displaystyle n {\ bmod {b}}-1}$ ${\ displaystyle ab^{2} \ equiv ab \ equiv a {\ bmod {b-1}}}$ ${\ displaystyle n = a_ {1} b^{2}+a_ {2} b^{1}+a_ {3} b^{0}}$

{\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b} (n) \ equiv a_ {1} b^{2}+a_ {2} b^{1}+a_ {3} b^{0} \ equiv a_ { 1} (1)+a_ {2} (1)+a_ {3} (1) \ equiv (a_ {1}+a_ {2}+a_ {3}) {\ bmod {b-1}}}

.

For at opnå den modulære værdi i forhold til andre tal kan man tage vægtede summer , hvor vægten på det -te ciffer svarer til værdien af modulo . I base 10 er dette enklest for 2, 5 og 10, hvor højere cifre forsvinder (siden 2 og 5 deler 10), hvilket svarer til det velkendte faktum, at delbarheden af et decimaltal med hensyn til 2, 5 og 10 kan kontrolleres med det sidste ciffer (lige tal ender på 0, 2, 4, 6 eller 8). ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle b^{k}}$ ${\ displaystyle n}$

Bemærk også modulet : da og dermed tager den vekslende sum af cifre giver værdien modulo . ${\ displaystyle n = b+1}$ ${\ displaystyle b \ equiv -1 {\ bmod {b+1}},}$ ${\ displaystyle b^{2} \ equiv (-1)^{2} \ equiv 1 {\ pmod {b+1}},}$ ${\ displaystyle b+1}$

Brug af gulvfunktionen

Det hjælper med at se den digitale rod af et positivt heltal som den position, det har i forhold til det største multiplum af mindre end selve tallet. For eksempel i base 6 er den digitale rod af 11 2, hvilket betyder, at 11 er det andet tal efter . På samme måde er den digitale rod i 2035 i base 10 1, hvilket betyder, at . Hvis et tal producerer en digital rod af nøjagtigt , så er tallet et multiplum af . ${\ displaystyle b-1}$ ${\ displaystyle 6-1 = 5}$ ${\ displaystyle 2035-1 = 2034 | 9}$ ${\ displaystyle b-1}$ ${\ displaystyle b-1}$

Med dette i tankerne kan den digitale rod af et positivt heltal defineres ved hjælp af gulvfunktion , som ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

{\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b} (n) = n- (b-1) \ left \ lfloor {\ frac {n-1} {b-1}} \ right \ rfloor.}

Ejendomme

Den digitale rod af in base er den digitale rod af summen af den digitale rod af og den digitale rod af . Denne egenskab kan bruges som en slags kontrolsum for at kontrollere, at et beløb er blevet udført korrekt. ${\ displaystyle a_ {1}+a_ {2}}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$

{\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b} (a_ {1}+a_ {2}) = \ operatorname {dr} _ {b} (\ operatorname {dr} _ {b} (a_ {1})+ \ operatorname {dr} _ {b} (a_ {2})).}

Den digitale rod af i base er kongruent med forskellen mellem den digitale rod af og den digitale rod af modulo . ${\ displaystyle a_ {1} -a_ {2}}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ ${\ displaystyle b-1}$

{\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b} (a_ {1} -a_ {2}) \ equiv (\ operatorname {dr} _ {b} (a_ {1})-\ operatorname {dr} _ {b } (a_ {2})) {\ bmod {b-1}}.}

Den digitale rod af i base som følger: ${\ displaystyle -n}$ ${\ displaystyle b}$

{\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b} (-n) \ equiv-\ operatorname {dr} _ {b} (n) {\ bmod {b-1}}.}

Den digitale rod til produktet af ikke -nul -enkeltcifrede tal i basen er givet af den vediske firkant i basen . ${\ displaystyle a_ {1} \ cdot a_ {2}}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b}$
Den digitale rod af in base er den digitale rod af produktet af den digitale rod af og den digitale rod af . ${\ displaystyle a_ {1} \ cdot a_ {2}}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$

{\ displaystyle \ operatorname {dr} _ {b} (a_ {1} a_ {2}) = \ operatorname {dr} _ {b} (\ operatorname {dr} _ {b} (a_ {1}) \ cdot \ operatorname {dr} _ {b} (a_ {2})).}

Additiv vedholdenhed

Den additive persistens tæller, hvor mange gange vi skal summere dens cifre for at nå frem til dens digitale rod.

For eksempel er den additive persistens af 2718 i base 10 2: først finder vi, at 2 + 7 + 1 + 8 = 18, derefter at 1 + 8 = 9.

Der er ingen grænse for den additive persistens af et tal i en talbase . Bevis: For et givet tal er persistensen af det tal, der består af gentagelser af cifret 1, 1 højere end for . Det mindste antal additive persistens 0, 1, ... i base 10 er: ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... (sekvens A006050 i OEIS )

Det næste tal i sekvensen (det mindste antal additive persistens 5) er 2 × 10 ^{2 × (10 ²² - 1)/9} - 1 (det vil sige 1 efterfulgt af 2 222 222 222 222 222 222 222 ni). For enhver fast base er summen af cifrene i et tal proportional med dens logaritme ; derfor er den additive persistens proportional med den itererede logaritme .

Programmeringseksempel

Nedenstående eksempel implementerer cifersummen beskrevet i definitionen ovenfor for at søge efter digitale rødder og additive persistenser i Python .

def digit_sum(x: int, b: int) -> int:
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + (x % b)
        x = x // b
    return total

def digital_root(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return x

def additive_persistence(x: int, b: int) -> int:
    seen = set()
    while x not in seen:
        seen.add(x)
        x = digit_sum(x, b)
    return len(seen) - 1

I populærkulturen

Digitale rødder bruges i vestlig numerologi , men visse tal, der anses for at have okkult betydning (f.eks. 11 og 22), reduceres ikke altid helt til et enkelt ciffer.

Digitale rødder udgør en vigtig mekaniker i det visuelle roman eventyrspil Ni timer, ni personer, ni døre .

Se også

Referencer

Averbach, Bonnie ; Chein, Orin (27. maj 1999), Problemløsning gennem fritidsmatematik , Dover Books on Mathematics (genoptrykt red.), Mineola, NY: Courier Dover Publications, s. 125–127 , ISBN 0-486-40917-1( onlinekopi , s. 125, på Google Books )
Ghannam, Talal (4. januar 2011), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root , CreateSpace Publications, s. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, arkiveret fra originalen den 29. marts 2016 , hentet 11. februar 2016( onlinekopi , s. 68, på Google Books )
Hall, FM (1980), En introduktion til abstrakt algebra , 1 (2. udgave), Cambridge, Storbritannien: CUP Archive, s. 101, ISBN 978-0-521-29861-2( onlinekopi , s. 101, på Google Books )
O'Beirne, TH (13. marts 1961), "Puzzles and Paradoxes", New Scientist , Reed Business Information, 10 (230): 53–54, ISSN 0262-4079( onlinekopi , s. 53, i Google Bøger )
Rouse Ball, WW ; Coxeter, HSM (6. maj 2010), Matematiske rekreationer og essays , Dover Recreational Mathematics (13. udgave), NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2( online kopi på Google Books )

Languages

In other projects