Aritmetisk dynamik - Arithmetic dynamics

Aritmetisk dynamik er et felt, der samler to matematikområder, dynamiske systemer og talteori . Klassisk refererer diskret dynamik til studiet af iteration af selvkort af det komplekse plan eller den reelle linje . Aritmetisk dynamik er studiet af antalteoretiske egenskaber af heltal , rationelle , p -adiske og / eller algebraiske punkter under gentagen anvendelse af en polynom eller rationel funktion . Et grundlæggende mål er at beskrive aritmetiske egenskaber i form af underliggende geometriske strukturer.

Global aritmetisk dynamik er studiet af analoger af klassisk diofantin geometri i indstillingen af ​​diskrete dynamiske systemer, mens lokal aritmetisk dynamik , også kaldet p-adic eller nonarchimedean dynamics , er en analog af klassisk dynamik, hvor man erstatter de komplekse tal C med en p -adic område som Q p eller C p og undersøgelser kaotisk adfærd og Fatou og Julia sæt .

Den følgende tabel beskriver en grov korrespondance mellem diofantiske ligninger, især abelske sorter , og dynamiske systemer:

Diofantiske ligninger Dynamiske systemer
Rationelle og heltal punkter på en sort Rationelle og heltal punkter i en bane
Punkter af endelig orden på en abelsk variant Preperiodiske punkter i en rationel funktion

Definitioner og notation fra diskret dynamik

Lad S være et sæt, og lad F  : S → S være et kort fra S til sig selv. Iterationen af F med sig selv n gange er betegnet

Et punkt P ∈ S er periodisk, hvis F ( n ) ( P ) = P for nogle n > 1 .

Punktet er præperiodisk, hvis F ( k ) ( P ) er periodisk for nogle k ≥ 1 .

Den (forreste) bane for P er sættet

Således P er preperiodic hvis og kun hvis dens bane O F ( P ) er begrænset.

Antal teoretiske egenskaber for præperiodiske punkter

Se også: Ensartet formodning om torsionspunkter og ensartet formodning for rationelle punkter

Lad F ( x ) være en rationel funktion af graden mindst to med koefficienter i Q . En sætning af Northcott siger, at F kun har endeligt mange Q- rationelle præperiodiske punkter, dvs. at F kun har endeligt mange præperiodiske punkter i P 1 ( Q ) . Den ensartede stedbundethed formodninger for preperiodic punkter af Morton og Silverman siger, at antallet af preperiodic punkter i F i P 1 ( Q ) er afgrænset af en konstant, der kun afhænger af graden af F .

Mere generelt, lad F  : P N → P N være et morphism af grad mindst to defineret over et antal felt K . Northcotts sætning siger, at F kun har endeligt mange præperiodiske punkter i P N ( K ) , og den generelle Uniform Boundedness Conjecture siger, at antallet af præperiodiske punkter i P N ( K ) kun kan være afgrænset i form af N , graden af F og graden af K løbet Q .

Uniform Boundedness formodninger vides ikke selv for kvadratiske polynomier F c ( x ) = x 2 + c i de rationelle tal Q . Det er kendt, i dette tilfælde, at F c ( x ) ikke kan have periodiske punkter af perioden fire, fem eller seks, selv om resultatet for perioden på seks er betinget af gyldigheden af formodninger af Birk og Swinnerton-Dyer . Poonen har gættet, at F c ( x ) ikke kan have rationelle periodiske punkter i enhver periode strengt større end tre.

Hele punkter i baner

Banen på et rationelt kort kan indeholde uendeligt mange heltal. For eksempel, hvis F ( x ) er et polynom med heltalskoefficienter, og hvis a er et heltal, er det klart, at hele kredsløbet O F ( a ) består af heltal. Tilsvarende, hvis F ( x ) er et rationelt kort, og noget iterat F ( n ) ( x ) er et polynom med heltalskoefficienter, så er hver n- post i kredsløbet et heltal. Et eksempel på dette fænomen er kortet F ( x ) = x -d , hvis andet iterat er et polynom. Det viser sig, at dette er den eneste måde, hvorpå en bane kan indeholde uendeligt mange heltal.

Sætning. Lad F ( x ) ∈ Q ( x ) være en rationel funktion af grad mindst to, og antag, at intet iterat af F er et polynom. Lad et ∈ Q . Derefter indeholder kredsløbet O F ( a ) kun endeligt mange heltal.

Dynamisk definerede punkter, der ligger på undervarianter

Der er generelle formodninger på grund af Shouwu Zhang og andre vedrørende undervarianter, der indeholder uendeligt mange periodiske punkter, eller som skærer en bane i uendeligt mange punkter. Disse er dynamiske analoger af henholdsvis Manin – Mumford-formodningen , bevist af Raynaud, og Mordell – Lang-formodningen , bevist af Faltings . De følgende formodninger illustrerer den generelle teori i det tilfælde, at undervarieteten er en kurve.

Formodninger. Lad F  : P N → P N være en morfisme, og lad C ⊂ P N være en irreducerbar algebraisk kurve. Antag, at der er et punkt P ∈ P N, således at C indeholder uendeligt mange punkter i kredsløbet O F ( P ) . Derefter er C periodisk for F i den forstand, at der er noget iterat F ( k ) af F, der kortlægger C til sig selv.

p -adisk dynamik

Feltet med p -adic (eller nonarchimedean) dynamik er studiet af klassiske dynamiske spørgsmål over et felt K, der er komplet med hensyn til en nonarchimedean absolut værdi. Eksempler på sådanne felter er inden for p -adic rationals Q p og afslutningen af sin algebraisk lukning C s . Metricen på K og standarddefinitionen af ​​ligekontinuitet fører til den sædvanlige definition af Fatou- og Julia-sætene på et rationelt kort F ( x ) ∈ K ( x ) . Der er mange ligheder mellem de komplekse og de ikke-arkimatiske teorier, men også mange forskelle. En slående forskel er, at Fatou-sættet i nonarchimedean-indstillingen altid er uberørt, men Julia-sættet kan være tomt. Dette er det modsatte af hvad der er sandt over de komplekse tal. Nonarchimedean dynamik er blevet udvidet til Berkovich rum , som er en kompakt tilsluttet rum, der indeholder den fuldstændig afbrudt ikke-lokalt kompakt felt C s .

Generaliseringer

Der er naturlige generaliseringer af aritmetisk dynamik, hvor Q og Q p erstattes af talfelter og deres p -adiske kompletteringer. En anden naturlig generalisering er at erstatte selvkort af P 1 eller P N med selvkort (morfismer) V → V af andre affine eller projicerende sorter .

Andre områder, hvor talteori og dynamik interagerer

Der er mange andre problemer af en antal teoretisk karakter, der vises i indstillingen af ​​dynamiske systemer, herunder:

Referencelisten Aritmetic Dynamics giver en omfattende liste over artikler og bøger, der dækker en bred vifte af aritmetiske dynamiske emner.

Se også

Noter og referencer

Yderligere læsning

eksterne links