Suma de dígitos - Digit sum

En matemáticas , la suma de dígitos de un número natural en una base numérica dada es la suma de todos sus dígitos . Por ejemplo, la suma de dígitos del número decimal sería . ${\ displaystyle 9045}$ ${\ Displaystyle 9 + 0 + 4 + 5 = 18}$

Definición

Sea un número natural. Definimos la suma de dígitos para la base como lo siguiente: ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle b> 1}$ ${\ Displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}}

donde es el número de dígitos en el número en base , y ${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ ${\ Displaystyle b}$

{\ Displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

es el valor de cada dígito del número.

Por ejemplo, en base 10, la suma de dígitos de 84001 es . ${\ displaystyle F_ {10} (84001) = 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13}$

Para dos bases cualesquiera y para números naturales suficientemente grandes , ${\ Displaystyle 2 \ leq b_ {1} <b_ {2}}$ ${\ Displaystyle n}$

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} F_ {b_ {1}} (k) <\ sum _ {k = 0} ^ {n} F_ {b_ {2}} (k)}

.

La suma de los dígitos en base 10 de los enteros 0, 1, 2, ... viene dada por OEIS : A007953 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Borwein y Borwein (1992) utilizan la función generadora de esta secuencia entera (y de la secuencia análoga para las sumas de dígitos binarios) para derivar varias series que convergen rápidamente con sumas racionales y trascendentales .

Extensión a enteros negativos

La suma de dígitos se puede extender a los números enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada número entero.

Aplicaciones

El concepto de suma de dígitos decimales está estrechamente relacionado con la raíz digital , pero no es el mismo , que es el resultado de aplicar repetidamente la operación de suma de dígitos hasta que el valor restante es solo un dígito. La raíz digital de cualquier entero distinto de cero será un número en el rango de 1 a 9, mientras que la suma de dígitos puede tomar cualquier valor. Se pueden usar sumas de dígitos y raíces digitales para pruebas rápidas de divisibilidad : un número natural es divisible por 3 o 9 si y solo si su suma de dígitos (o raíz digital) es divisible por 3 o 9, respectivamente. Para la divisibilidad por 9, esta prueba se llama la regla de los nueves y es la base de la técnica de sacar los nueves para verificar los cálculos.

Las sumas de dígitos también son un ingrediente común en los algoritmos de suma de comprobación para verificar las operaciones aritméticas de las primeras computadoras. Anteriormente, en una era de cálculo manual, Edgeworth (1888) sugirió usar sumas de 50 dígitos tomados de tablas matemáticas de logaritmos como una forma de generación de números aleatorios ; si se supone que cada dígito es aleatorio, entonces, según el teorema del límite central , estas sumas de dígitos tendrán una distribución aleatoria que se aproxima mucho a una distribución gaussiana .

La suma de dígitos de la representación binaria de un número se conoce como su peso de Hamming o recuento de población; Se han estudiado los algoritmos para realizar esta operación, y se ha incluido como una operación incorporada en algunas arquitecturas informáticas y algunos lenguajes de programación. Estas operaciones se utilizan en aplicaciones informáticas, incluida la criptografía , la teoría de la codificación y el ajedrez informático .

Los números de Harshad se definen en términos de divisibilidad por sus sumas de dígitos, y los números de Smith se definen por la igualdad de sus sumas de dígitos con las sumas de dígitos de sus factorizaciones primas .

Ver también

Referencias

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Suma de dígitos" . MathWorld .
[1] Aplicaciones simples de suma de dígitos

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