Číselný součet - Digit sum

V matematice se číslice součet z přirozeného čísla v dané základní číslo je součtem všech jeho číslic . Například číselný součet desítkového čísla by byl . ${\ displaystyle 9045}$${\ displaystyle 9+0+4+5 = 18}$

Definice

Nechť je přirozené číslo. Číselný součet pro základnu definujeme takto: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$ ${\ Displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0}^{k-1} d_ {i}}$

kde je počet číslic v počtu v základu , a ${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$

${\ Displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b^{i+1}}}-n {\ bmod {b}}^{i}} {b^{i}}}}$

je hodnota každé číslice čísla.

Například v základu 10 je číselný součet 84001 . ${\ displaystyle F_ {10} (84001) = 8+4+0+0+1 = 13}$

V případě jakýchkoliv dvou základen a dostatečně velké přirozených čísel , ${\ Displaystyle 2 \ leq b_ {1} <b_ {2}}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0}^{n} F_ {b_ {1}} (k) <\ sum _ {k = 0}^{n} F_ {b_ {2}} (k)}$.

Součet základních 10 číslic celých čísel 0, 1, 2, ... je dán OEIS :  A007953 v on-line encyklopedii celočíselných sekvencí . Borwein a Borwein (1992) používají generující funkci této celočíselné sekvence (a analogické sekvence pro binární číselné součty) k odvození několika rychle konvergujících řad s racionálními a transcendentálními součty.

Rozšíření na záporná celá čísla

Číselný součet lze rozšířit na záporná celá čísla pomocí reprezentace se znaménkem pro reprezentaci každého celého čísla.

Aplikace

Pojem součtu desetinných číslic úzce souvisí s digitálním kořenem , ale není s ním stejný , což je důsledkem opakovaného použití operace součtu číslic, dokud není zbývající hodnota pouze jednou číslicí. Digitální kořen jakéhokoli nenulového celého čísla bude číslo v rozsahu 1 až 9, zatímco číselný součet může mít libovolnou hodnotu. Číselné součty a digitální kořeny lze použít pro rychlé testy dělitelnosti : přirozené číslo je dělitelné 3 nebo 9 právě tehdy, je -li jeho číselný součet (nebo digitální kořen) dělitelný 3 nebo 9. Pro dělitelnost číslem 9 se tento test nazývá pravidlo devítek a je základem techniky vylévání devítek pro kontrolu výpočtů.

Číselné součty jsou také běžnou součástí algoritmů kontrolního součtu ke kontrole aritmetických operací raných počítačů. Dříve, v éře ručního výpočtu, Edgeworth (1888) navrhl použít součty 50 číslic převzatých z matematických tabulek logaritmů jako formu generování náhodných čísel ; jestliže jeden předpokládá, že každá číslice je náhodná, pak podle centrální limitní věty budou mít tyto číselné součty náhodné rozdělení, které se blíží Gaussovu rozdělení .

Číselný součet binární reprezentace čísla je znám jako jeho Hammingova váha nebo počet obyvatel; byly studovány algoritmy pro provádění této operace a byly zahrnuty jako integrovaná operace v některých počítačových architekturách a některých programovacích jazycích. Tyto operace se používají ve výpočetních aplikacích včetně kryptografie , teorie kódování a počítačových šachů .

Harshadova čísla jsou definována z hlediska dělitelnosti jejich číselnými součty a Smithova čísla jsou definována rovností jejich číselných součtů s číselnými součty jejich hlavních faktorizací .

Viz také

• Aritmetická dynamika
• Vyhánění devítek
• Kontrolní součet
• Digitální root
• Hammingova váha
• Harshadovo číslo
• Perfektní digitální invariant
• Boční součet
• Smithovo číslo
• Souhrnné číslo produktu

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Digit Sum“ . MathWorld .
• [1] Jednoduché aplikace číslicového součtu