Harshad nummer - Harshad number

I matematik er et harshad -tal (eller Niven -tal ) i en given talbase et helt tal, der kan deles med summen af dets cifre, når det skrives i denne base. Harshad -tal i basis $n$ er også kendt som $n$ -harshad (eller $n$ -Niven ) tal. Harshad -tal blev defineret af DR Kaprekar , en matematiker fra Indien . Ordet "harshad" kommer fra sanskrit harṣa (glæde) + da (give), hvilket betyder glædesgiver. Udtrykket "Niven -tal" opstod fra et oplæg af Ivan M. Niven på en konference om talteori i 1977. Alle heltal mellem nul og $n$ er $n$ -harshad -tal.

Definition

Angivet matematisk, lad $X$ være et positivt heltal med $m$ cifre, når det skrives i basis $n$ , og lad cifrene være ( ). (Det følger heraf, at det skal være enten nul eller et positivt heltal op til .) $X$ kan udtrykkes som ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle i = 0,1, \ ldots, m-1}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle n-1}$

{\ displaystyle X = \ sum _ {i = 0}^{m-1} a_ {i} n^{i}.}

$X$ er et harshad -tal i basis $n,$ hvis:

{\ displaystyle X \ equiv 0 {\ bmod {\ sum _ {i = 0}^{m-1} a_ {i}}}.}

Et tal, der er et harshad-tal i hver talbase, kaldes et all-harshad-nummer eller et all-Niven-tal . Der er kun fire alle-harshad-tal: 1 , 2 , 4 og 6 (tallet 12 er et harshad-tal i alle baser undtagen oktal ).

Eksempler

Tallet 18 er et harshad -tal i basis 10, fordi summen af cifrene 1 og 8 er 9 (1 + 8 = 9), og 18 er delelig med 9.
Den Hardy-Ramanujan nummer (1729) er en Harshad tal i basen 10, da det er deleligt med 19, summen af dets cifre (1729 = 19 × 91).
Tallet 19 er ikke et harshad -tal i basis 10, fordi summen af cifrene 1 og 9 er 10 (1 + 9 = 10), og 19 ikke er delelig med 10.
I basis 10 er hvert naturligt tal udtrykkeligt i form 9R _n a _n , hvor tallet R _n består af n kopier af det enkelte ciffer 1, n> 0, og a _n er et positivt heltal mindre end 10 ⁿ og multiplum af n , er et hårdnummer. (R. D'Amico, 2019). Tallet 9R ₃ a ₃ = 521478, hvor R ₃ = 111, n = 3 og a ₃ = 3 × 174 = 522, er et harshad -tal; faktisk har vi: 521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314.
Harshad -tal i base 10 danner sekvensen:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 140 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198 , 200 , ... (sekvens A005349 i OEIS ).

Ejendomme

I betragtning af delbarhedstesten for 9 , kan man blive fristet til at generalisere, at alle tal, der kan deles med 9, også er hårde tal. Men med henblik på at bestemme hårdheden ved $n$ kan cifrene i $n$ kun lægges sammen én gang, og $n$ skal kunne deles med denne sum; ellers er det ikke et hårdnummer. For eksempel er 99 ikke et harshad -tal, da 9 + 9 = 18, og 99 ikke kan deles med 18.

Basisnummeret (og desuden dets beføjelser) vil altid være et hårdnummer i sin egen base, da det vil blive repræsenteret som "10" og 1 + 0 = 1.

Alle tal, hvis basis b -cifersum deler b −1, er hardad -tal i basis b .

For at et primtal også skal være et harshad -tal, skal det være mindre end eller lig med basisnummeret, ellers vil tallene i primtalet tilføje til et tal, der er mere end 1, men mindre end primtalen, og vil ikke være delelig. For eksempel: 11 er ikke harshad i base 10, fordi summen af dens cifre "11" er 1 + 1 = 2, og 11 ikke er delelig med 2; mens tallet 12 i basis 12 kan repræsenteres som "Ɛ", hvis sum af cifre også er Ɛ. Da Ɛ er delelig i sig selv, er det harshad i base 12.

Selvom sekvensen af factorials starter med harshad -tal i base 10, er det ikke alle factorials, der er harshad -tal. 432! er den første, der ikke er. (432! Har cifersum = 3897 = 3 ² × 433 i base 10 og deler dermed ikke 432!)

Mindste $k$ sådan, der er et harshad -tal, er ${\ displaystyle k \ cdot n}$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (sekvens A144261 i OEIS ).

Mindste $k$ sådan, der ikke er et hårdnummer er ${\ displaystyle k \ cdot n}$

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (sekvens A144262 i OEIS ).

Andre baser

Hardad -tallene i base 12 er:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 10, 1 ᘔ, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, ᘔ 0, ᘔ 1, Ɛ0, 100, 10 ᘔ, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1 ᘔ 0, 1Ɛ0, 1Ɛᘔ, 200, ...

hvor ᘔ repræsenterer ti og Ɛ repræsenterer elleve.

Mindste $k$ sådan, der er et basis-12 harshad-nummer, er (skrevet i base 10): ${\ displaystyle k \ cdot n}$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

Mindste $k$ sådan, der ikke er et basis-12 harshad-nummer, er (skrevet i base 10): ${\ displaystyle k \ cdot n}$

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

I lighed med base 10 er det ikke alle factorials, der er harshad -tal i base 12. Efter 7! (= 5040 = 2Ɛ00 i base 12, med cifersum 13 i base 12, og 13 deler ikke 7!), 1276! er det næste, der ikke er. (1276! Har cifersum = 14201 = 11 × 1291 i base 12, og deler dermed ikke 1276!)

Efterfølgende harshad -tal

Maksimale løb med på hinanden følgende harshad -tal

Cooper og Kennedy beviste i 1993, at ingen 21 på hinanden følgende heltal alle er harrade-tal i base 10. De konstruerede også uendeligt mange 20-tupler af på hinanden følgende heltal, der alle er 10-harshad-tal, hvoraf de mindste overstiger 10 ^44363342786 .

HG Grundman ( 1994 ) udvidede Cooper og Kennedy -resultatet til at vise, at der er 2 b, men ikke 2 b + 1 på hinanden følgende b -hårde tal. Dette resultat blev styrket for at vise, at der er uendeligt mange kørsler med 2 b på hinanden følgende b -harshad -tal for b = 2 eller 3 af T. Cai ( 1996 ) og for vilkårlige b af Brad Wilson i 1997.

I binært er der således uendeligt mange kørsler med fire på hinanden følgende harshad -tal og i ternært uendeligt mange kørsler på seks.

Generelt kører sådanne maksimale sekvenser fra N · b ^k - b til N · b ^k + ( b - 1), hvor b er basen, k er en relativt stor effekt, og N er en konstant. I betragtning af en sådan passende valgt sekvens kan vi konvertere den til en større som følger:

Indsættelse af nuller i N ændrer ikke sekvensen af digitale summer (ligesom 21, 201 og 2001 alle er 10-harshad-tal).
Hvis vi indsætter n nuller efter det første ciffer, α (værd αb ⁱ ), øger vi værdien af N med αb ⁱ ( b ⁿ - 1).
Hvis vi kan sikre, at b ⁿ - 1 er delelig med alle cifrede summer i sekvensen, bibeholdes delbarheden med disse summer.
Hvis vores indledende rækkefølge vælges således, at cifersummene er coprime til b , kan vi løse b ⁿ = 1 modulo alle disse summer.
Hvis det ikke er tilfældet, men den del af hver cifret sum, der ikke kopierer til b, deler αb ⁱ , er delbarheden stadig bevaret.
(Ubevist) Den indledende sekvens er valgt således.

Således giver vores indledende sekvens et uendeligt antal løsninger.

Første kørsler med nøjagtig $n på$ hinanden følgende 10-harshad-tal

De mindste naturals startende løber af præcis $n$ konsekutive 10-Harshad tal (dvs. mindste $x$ sådan at der harshad-tal men og er ikke) er som følger (sekvens A060159 i OEIS ): ${\ displaystyle x, x+1, \ cdots, x+n-1}$ ${\ displaystyle x-1}$ ${\ displaystyle x+n}$

$n$	1	2	3	4	5
$x$	12	20	110	510	131 052
$n$	6	7	8	9	10
$x$	12 751 220	10 000 095	2 162 049 150	124 324 220	1
$n$	11	12	13	14	15
$x$	920 067 411 130 599	43 494 229 746 440 272 890	121 003 242 000 074 550 107 423 034 × 10 ²⁰ - 10	420 142 032 871 116 091 607 294 × 10 ⁴⁰ - 4	ukendt
$n$	16	17	18	19	20
$x$	50 757 686 696 033 684 694 106 416 498 959 861 492 × 10 ²⁸⁰ - 9	14 107 593 985 876 801 556 467 795 907 102 490 773 681 × 10 ²⁸⁰ - 10	ukendt	ukendt	ukendt

I det foregående afsnit findes der ikke sådan $x$ for . ${\ displaystyle n> 20}$

Estimering af densiteten af harshad -tal

Hvis vi lader angive antallet af hardad -tal , så for enhver given , ${\ displaystyle N (x)}$ ${\ displaystyle \ leq x}$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$

{\ displaystyle x^{1- \ varepsilon} \ ll N (x) \ ll {\ frac {x \ log \ log x} {\ log x}}}

som vist af Jean-Marie De Koninck og Nicolas Doyon; endvidere beviste De Koninck, Doyon og Kátai det

{\ displaystyle N (x) = (c+o (1)) {\ frac {x} {\ log x}},}

hvor og udtrykket bruger Big O -notation . ${\ displaystyle c = (14/27) \ log 10 \ ca. 1.1939}$ ${\ displaystyle o (1)}$

Nivenmorfe tal

En Nivenmorphic nummer eller harshadmorphic nummer for et givet antal base er et helt tal $t$ , således at der findes en Harshad antal $N$ hvis Tværsum er $t$ , og $t$ , som er skrevet i denne base, ender $N$ skrevet i den samme base.

For eksempel er 18 et Nivenmorphic tal for base 10:

 16218 is a harshad number
 16218 has 18 as digit sum
    18 terminates 16218

Sandro Boscaro fastslog, at for basis 10 er alle positive heltal Nivenmorphic tal undtagen 11 . Faktisk, for et lige heltal n > 1, er alle positive heltal undtagen n +1 Nivenmorfe tal for basis n , og for et ulige heltal n > 1 er alle positive heltal Nivenmorfe tal for basis n . fx Nivenmorphic numre i bunden 12 er OEIS : A011760 (alle positive heltal undtagen 13).

Det mindste tal med basis 10 cifret sum n og slutter n skrevet i base 10 er: (0 hvis der ikke findes et sådant tal)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 2998848, ... (sekvens A187924 i OEIS )

Flere harshad -numre

Bloem (2005) definerer et multiple harshad -tal som et harshad -nummer, der, når det divideres med summen af dets cifre, frembringer et andet harshad -nummer. Han oplyser, at 6804 er "MHN-4" med den begrundelse, at

{\ displaystyle {\ begin {align} 6804/18 & = 378 \\ 378/18 & = 21 \\ 21/3 & = 7 \\ 7/7 & = 1 \ end {align}}}

(det er ikke MHN-5 siden , men 1 er ikke "et andet" harshad-nummer) ${\ displaystyle 1/1 = 1}$

og fortsatte med at vise, at 2016502858579884466176 er MHN-12. Tallet 10080000000000 = 1008 · 10 ¹⁰ , som er mindre, er også MHN-12. Generelt er 1008 · 10 ⁿ MHN- ( n +2).

Referencer

eksterne links

Weisstein, Eric W. "Harshad Number" . MathWorld .

Languages

In other projects

Harshad nummer - Harshad number

Indhold

Definition

Eksempler

Ejendomme

Andre baser

Efterfølgende harshad -tal

Maksimale løb med på hinanden følgende harshad -tal

Første kørsler med nøjagtig $n på$ hinanden følgende 10-harshad-tal

Estimering af densiteten af harshad -tal

Nivenmorfe tal

Flere harshad -numre

Referencer

eksterne links

Languages

In other projects

Harshad nummer - Harshad number

Definition

Eksempler

Ejendomme

Andre baser

Efterfølgende harshad -tal

Maksimale løb med på hinanden følgende harshad -tal

Første kørsler med nøjagtig n på hinanden følgende 10-harshad-tal

Estimering af densiteten af ​​harshad -tal

Nivenmorfe tal

Flere harshad -numre

Referencer

eksterne links

Første kørsler med nøjagtig $n på$ hinanden følgende 10-harshad-tal

Estimering af densiteten af harshad -tal