Suma cyfr - Digit sum

W matematyce , suma cyfr z liczby naturalnej w danym systemie liczbowym jest suma wszystkich jej cyfr . Na przykład suma cyfr liczby dziesiętnej to . ${\ Displaystyle 9045}$${\ Displaystyle 9 + 0 + 4 + 5 = 18}$

Definicja

Niech będzie liczbą naturalną. Definiujemy sumę cyfr dla podstawy jako następującą: ${\ Displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$ ${\ Displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle F_ {b} (n) = \ suma _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}}$

gdzie jest liczba cyfr w liczbie w bazie , a ${\ Displaystyle k = \ l piętro \ log _ {b} {n} \ r piętro +1}$${\displaystyle b}$

${\ Displaystyle d_ {i} = {\ Frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}$

to wartość każdej cyfry liczby.

Na przykład w bazie 10 suma cyfr 84001 to . ${\ Displaystyle F_ {10} (84001) = 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13}$

Dla dowolnych dwóch zasad i dla dostatecznie dużych liczb naturalnych , ${\displaystyle 2\leq b_{1}<b_{2}}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} F_ {b_ {1}} (k) < \ suma _ {k = 0} ^ {n} F_ {b_ {2}} (k)}$.

Suma cyfr o podstawie 10 liczb całkowitych 0, 1, 2, ... jest podana przez OEIS :  A007953 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Borwein i Borwein (1992) używają funkcji generującej tego ciągu liczb całkowitych (i analogicznego ciągu dla sum binarnych) do wyprowadzenia kilku szybko zbieżnych szeregów z sumami wymiernymi i transcendentalnymi .

Rozszerzenie na ujemne liczby całkowite

Suma cyfr może zostać rozszerzona do ujemnych liczb całkowitych przy użyciu reprezentacji ze znakiem cyfr do reprezentowania każdej liczby całkowitej.

Aplikacje

Pojęcie sumy cyfr dziesiętnych jest ściśle związane z pierwiastkiem cyfrowym , ale nie jest to samo , co jest wynikiem wielokrotnego stosowania operacji sumy cyfr, aż pozostała wartość będzie tylko jedną cyfrą. Cyfrowy pierwiastek dowolnej niezerowej liczby całkowitej będzie liczbą z zakresu od 1 do 9, podczas gdy suma cyfr może przyjąć dowolną wartość. Sumy cyfr i pierwiastki mogą być użyte do szybkich testów podzielności : liczba naturalna jest podzielna przez 3 lub 9 wtedy i tylko wtedy, gdy jej suma cyfr (lub pierwiastek cyfrowy) jest podzielna odpowiednio przez 3 lub 9. Dla podzielności przez 9, test ten nazywa się regułą dziewiątek i jest podstawą techniki wyrzucania dziewiątek do sprawdzania obliczeń.

Sumy cyfr są również powszechnym składnikiem algorytmów sum kontrolnych służących do sprawdzania operacji arytmetycznych wczesnych komputerów. Wcześniej, w erze ręcznego obliczania, Edgeworth (1888) zasugerował użycie sum 50 cyfr zaczerpniętych z matematycznych tablic logarytmów jako formy generowania liczb losowych ; jeśli założymy, że każda cyfra jest losowa, to według centralnego twierdzenia granicznego sumy tych cyfr będą miały losowy rozkład zbliżony do rozkładu Gaussa .

Cyfrowa suma binarnej reprezentacji liczby jest znana jako jej waga Hamminga lub liczba populacji; algorytmy wykonywania tej operacji zostały zbadane i zostały uwzględnione jako wbudowana operacja w niektórych architekturach komputerowych i niektórych językach programowania. Operacje te są wykorzystywane w aplikacjach obliczeniowych, w tym w kryptografii , teorii kodowania i szachach komputerowych .

Liczby Harshada są definiowane pod względem podzielności przez ich sumy cyfr, a liczby Smitha są definiowane przez równość ich sum cyfr z sumami cyfr ich pierwotnych faktoryzacji .

Zobacz też

• Dynamika arytmetyczna
• Wyrzucanie dziewiątek
• Suma kontrolna
• Cyfrowy korzeń
• Waga Hamminga
• Numer surowy
• Idealny niezmiennik cyfrowy
• Suma w bok
• Numer Smitha
• Suma-numer produktu

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Suma cyfr” . MatematykaŚwiat .
• [1] Proste zastosowania sumy cyfr