Somma cifre - Digit sum

In matematica , la somma delle cifre di un numero naturale in una data base numerica è la somma di tutte le sue cifre . Ad esempio, la somma delle cifre del numero decimale sarebbe . ${\displaystyle 9045}$${\displaystyle 9+0+4+5=18}$

Definizione

Sia un numero naturale. Definiamo la somma delle cifre per base come la seguente: ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}}$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

dove è il numero di cifre del numero in base , e ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

è il valore di ogni cifra del numero.

Ad esempio, in base 10, la somma delle cifre di 84001 è . ${\displaystyle F_{10}(84001)=8+4+0+0+1=13}$

Per due basi qualsiasi e per numeri naturali sufficientemente grandi , ${\displaystyle 2\leq b_{1}<b_{2}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{b_{1}}(k)<\sum _{k=0}^{n}F_{b_{2}}(k)}$.

La somma della base di 10 cifre dei numeri interi 0, 1, 2, ... è dato da OEIS :  A007953 nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Borwein & Borwein (1992) utilizzano la funzione generatrice di questa sequenza intera (e dell'analoga sequenza per somme binarie) per derivare diverse serie rapidamente convergenti con somme razionali e trascendentali .

Estensione a numeri interi negativi

La somma delle cifre può essere estesa agli interi negativi utilizzando una rappresentazione con cifre con segno per rappresentare ciascun numero intero.

Applicazioni

Il concetto di somma di cifre decimali è strettamente correlato, ma non è lo stesso della radice digitale , che è il risultato dell'applicazione ripetuta dell'operazione di somma delle cifre fino a quando il valore rimanente è solo una singola cifra. La radice digitale di qualsiasi numero intero diverso da zero sarà un numero compreso tra 1 e 9, mentre la somma delle cifre può assumere qualsiasi valore. Le somme di cifre e le radici digitali possono essere utilizzate per test di divisibilità rapidi : un numero naturale è divisibile per 3 o 9 se e solo se la sua somma di cifre (o radice digitale) è divisibile rispettivamente per 3 o 9. Per la divisibilità per 9, questo test è chiamato la regola del nove ed è la base della tecnica del lancio del nove per il controllo dei calcoli.

Le somme di cifre sono anche un ingrediente comune negli algoritmi di checksum per controllare le operazioni aritmetiche dei primi computer. In precedenza, in un'era di calcolo manuale, Edgeworth (1888) suggerì di utilizzare somme di 50 cifre prese da tabelle matematiche di logaritmi come forma di generazione di numeri casuali ; se si assume che ogni cifra sia casuale, allora per il teorema del limite centrale , queste somme di cifre avranno una distribuzione casuale che si avvicina molto a una distribuzione gaussiana .

La somma delle cifre della rappresentazione binaria di un numero è nota come peso di Hamming o conteggio della popolazione; sono stati studiati gli algoritmi per eseguire questa operazione ed è stata inclusa come operazione incorporata in alcune architetture di computer e in alcuni linguaggi di programmazione. Queste operazioni vengono utilizzate nelle applicazioni informatiche, tra cui crittografia , teoria dei codici e scacchi per computer .

I numeri di Harshad sono definiti in termini di divisibilità dalle loro somme di cifre e i numeri di Smith sono definiti dall'uguaglianza delle loro somme di cifre con le somme di cifre delle loro scomposizioni in fattori primi .

Guarda anche

• Dinamiche aritmetiche
• Lanciare i nove
• Checksum
• Radice digitale
• Hamming peso
• Numero duro
• Invariante digitale perfetto
• somma laterale
• Numero di Smith
• Numero somma-prodotto

Riferimenti

link esterno

• Weisstein, Eric W. "Digit Sum" . MathWorld .
• [1] Semplici applicazioni della somma delle cifre