Dualita (matematika) - Duality (mathematics)

V matematice , je dualita překládá pojmy, věty nebo matematické struktury do jiných pojmů, vět nebo struktur, v módě one-to-one, často (ale ne vždy) pomocí involuce provozu: v případě, že dvojí A je B , pak je dvojí B je . Takové involuce mají někdy pevné body , takže duál A je sám o sobě. Například Desarguesova věta je v tomto smyslu sebe-duální pod standardní dualitou v projektivní geometrii .

V matematických kontextech má dualita řadu významů. Byl popsán jako „velmi všudypřítomný a důležitý koncept v (moderní) matematice“ a „důležité obecné téma, které se projevuje téměř ve všech oblastech matematiky“.

Mnoho matematických dualit mezi objekty dvou typů odpovídá párování , bilineární funkce z objektu jednoho typu a jiného objektu druhého typu do některé rodiny skalárů. Například dualita lineární algebry tímto způsobem odpovídá bilineárním mapám z dvojic vektorových prostorů na skaláry, dualita mezi distribucemi a přidruženými testovacími funkcemi odpovídá párování, ve kterém jeden integruje distribuci proti testovací funkci a Poincaré dualita odpovídá podobně na průsečíkové číslo , považované za párování mezi dílčími potrubími daného potrubí.

Z hlediska teorie kategorií lze dualitu také považovat za funktor , přinejmenším v oblasti vektorových prostorů. Tento funktor přiřadí každému prostoru svůj duální prostor a konstrukce pullback přiřadí každé šipce f : V → W jeho duální f ^∗ : W ^∗ → V ^∗ .

Úvodní příklady

Podle slov Michaela Atiyah ,

Dualita v matematice není teorém, ale „princip“.

Následující seznam příkladů ukazuje společné rysy mnoha dualit, ale také naznačuje, že přesný význam duality se může případ od případu lišit.

Doplněk podmnožiny

Jednoduchý, možná nejjednodušší, dualita vzniká s ohledem na podmnožiny z pevné nastavené S . Jakoukoli podskupinu ⊆ S , The komplement ^C se skládá z jednotlivých prvků v S , které nejsou obsaženy v A . Je to opět podmnožina S . Užívání doplňku má následující vlastnosti:

• Použití dvakrát vrací na původní soubor, tj ( ^c ) ^c = A . Tomu se říká tím, že operace převzetí komplementu je involuce .
• Zahrnutí množin A ⊆ B se změní na inkluzi v opačném směru B ^c ⊆ A ^c .
• Vzhledem k tomu, dvě podmnožiny A a B z S , A je obsažen v B ^{c právě} tehdy, pokud B je obsažen v A ^c .

Tato dualita se objeví v topologii jako dualita mezi otevřenými a uzavřenými podmnožin některých pevné topologického prostoru X : podmnožina U z X, je uzavřen v případě, a pouze tehdy, když jeho doplněk v X je otevřený. Z tohoto důvodu je mnoho vět o uzavřených množinách dvojí s větami o otevřených množinách. Například jakékoli sjednocení otevřených množin je otevřené, takže duálně je uzavřen jakýkoli průsečík uzavřených množin. Interiér sady je největší otevřená množina v něm obsažených, a uzavření sady je nejmenší uzavřený soubor, který ji obsahuje. Vzhledem k dualitě, doplňkem interiéru jakýkoli soubor U se rovná uzavření komplementu U .

Dvojitý kužel

Dualitu v geometrii zajišťuje konstrukce s dvojitým kuželem . Vzhledem k množině bodů v rovině (nebo obecněji k bodům v ) je duální kužel definován jako množina skládající se z bodů splňujících ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle C ^ {*} \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$

pro všechny body v , jak je znázorněno na obrázku. Na rozdíl od výše zmíněného doplňku sad obecně neplatí, že použití dvojité kuželové konstrukce dvakrát vrátí původní sadu . Místo toho je nejmenší obsahující kužel, který může být větší než . Proto je tato dualita v tom slabší než ta výše ${\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {**}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

• Použitím operace dvakrát se vrátí možná větší sada: pro všechny , je obsažena v . (U některých , jmenovitě šišek, jsou si oba ve skutečnosti rovni.) ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {**}}$${\ displaystyle C}$

Další dvě vlastnosti se přenesou beze změny:

• Stále platí, že se inkluze změní na inkluzi v opačném směru ( ). ${\ displaystyle C \ subseteq D}$${\ displaystyle D ^ {*} \ subseteq C ^ {*}}$
• Vzhledem k tomu, dvě podmnožiny a roviny, je obsažen v právě tehdy, pokud je obsažen v . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D ^ {*}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

Duální vektorový prostor

Velmi důležitý příklad duality vzniká v lineární algebře spojením jakéhokoli vektorového prostoru V s jeho duálním vektorovým prostorem V ^* . Jeho prvky jsou lineární funkcionály , kde k je pole, nad nímž je definováno V. Tři vlastnosti duálního kuželu se přenášejí na tento typ duality nahrazením podmnožin vektorovým prostorem a inkluzí takových podmnožin lineárními mapami. To je: ${\ displaystyle \ varphi: V \ k k}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

• Použitím operace převzetí dvojitého vektorového prostoru dvakrát získáte další vektorový prostor V ^** . Vždy existuje mapa V → V ^** . Pro některé V , konkrétně pro konečně trojrozměrné vektorové prostory , je tato mapa izomorfismem .
• Lineární mapa V → W vede k mapě v opačném směru ( W ^* → V ^* ).
• Vzhledem ke dvěma vektorovým prostorům V a W odpovídají mapy z V do W ^* mapám z W do V ^* .

Zvláštním rysem této duality je to, že V a V ^* jsou izomorfní pro určité objekty, jmenovitě konečné trojrozměrné vektorové prostory. Nicméně, toto je v jistém smyslu štěstí náhoda, za to, že takové izomorfismus vyžaduje určitou možnost volby, například výběr z základu z V . To platí také v případě, že V je Hilbertův prostor , přes v zastoupení teorému Riesz .

Galoisova teorie

Ve všech výše zmíněných dualitách je duál objektu stejného druhu jako samotný objekt. Například duál vektorového prostoru je opět vektorovým prostorem. Mnoho prohlášení o dualitě není tohoto druhu. Místo toho takové duality odhalují úzký vztah mezi objekty zdánlivě odlišné povahy. Jeden příklad takové obecnější duality je z Galoisovy teorie . Pro pevné rozšíření Galois K / F lze přidružit Galoisovu skupinu Gal ( K / E ) k jakémukoli mezilehlému poli E (tj. F ⊆ E ⊆ K ). Tato skupina je podskupinou skupiny Galois G = Gal ( K / F ) . Naopak, každý takový podskupině H ⊆ G je pevné pole K ^H se skládá z prvků stanovených prvků v H .

Ve srovnání s výše uvedeným má tato dualita následující vlastnosti:

• Prodloužení F ⊆ F ' mezilehlých polí vede k zahrnutí Galoisových skupin v opačném směru: Gal ( K / F ') ⊆ Gal ( K / F ) .
• Přiřazení Gal ( K / E ) k E a K ^H až H jsou navzájem inverzní. Toto je obsah základní věty Galoisovy teorie .

Duality obrácení objednávek

Vzhledem k posetu P = ( X , ≤) (zkratka pro částečně uspořádanou množinu; tj. Množina, která má představu o uspořádání, ale do které nelze nutně umístit dva prvky vzájemně v pořadí), je duální poset P ^d = ( X , ≥) zahrnuje stejnou základní sadu, ale obrácený vztah . Mezi známé příklady dvojitých dílčích objednávek patří

• podskupina a nadřazený vztahy ⊂ a ⊃ na sbírce souborů, jako jsou například podmnožin pevné nastavené S . To dává vzniknout prvnímu příkladu duality uvedenému výše .
• se rozdělí a více ze vztahů na celá čísla .
• potomek-of a předek-of vztahů na sadu lidí.

Dualita transformace je involutive antiautomorphism f o uspořádaná množina S , To znamená, že pořadí reverzního involuce f  : S → S . V několika důležitých případech tyto jednoduché vlastnosti určují transformaci jedinečně až do několika jednoduchých symetrií. Například, pokud f ₁ , f ₂ jsou dvě dualita transformace pak jejich složení je pořadí automorphism z S ; libovolné dvě transformace duality se tedy liší pouze automatorfismem řádu. Například všechny pořadí automorfismy na napájení nastaven S = 2 ^R jsou indukovány permutace R .

Pojem definovaný pro dílčí řád P bude odpovídat dvojímu pojetí na duálním posetu P ^d . Například, minimální prvek z P bude maximální prvek z P ^d : minimality a maximality jsou duální pojmy v teorii objednávky. Další dvojice duálních konceptů jsou horní a dolní hranice , dolní sady a horní sady a ideály a filtry .

V topologii jsou otevřené množiny a uzavřené množiny dvojí pojmy: doplněk otevřené množiny je uzavřen a naopak. V teorii matroidů tvoří rodina sad doplňkových k nezávislým sadám daného matroidu další matroid, nazývaný duální matroid .

Duality obrácení dimenzí

Existuje mnoho odlišných, ale vzájemně souvisejících dualit, ve kterých geometrické nebo topologické objekty odpovídají jiným objektům stejného typu, ale s obrácením rozměrů vlastností objektů. Klasickým příkladem toho je dualita platonických pevných látek , ve kterých krychle a osmistěn tvoří dvojitý pár, dodekaedron a dvacetistěn tvoří dvojitý pár a čtyřstěn je dvojitý. Dvojí polyhedron některé z těchto mnohostěnů může být vytvořena jako konvexní obal ze středové body každé čelní prvotní mnohostěnu, takže vrcholy duálního odpovídají jedna k jedné s plochami prvotní. Podobně každá hrana duálu odpovídá hraně primalu a každá tvář duálu odpovídá vrcholu primalu. Tyto korespondence zachovávají incidenci: pokud se dvě části prvotního mnohostěnu navzájem dotýkají, udělejte to také odpovídajícím dvěma částem dvojitého mnohostěnu . Obecněji řečeno, s využitím konceptu polární reciproce odpovídá jakýkoli konvexní mnohostěn nebo obecněji jakýkoli konvexní mnohost dvojí mnohostěn nebo dvojitý mnohost, s i -dimenzionálním rysem n -dimenzionálního mnohostoru odpovídajícímu ( n - i - 1) -dimenzionální rys duálního polytopu. Povaha duality, která zachovává incidenci, se odráží ve skutečnosti, že obličejové mřížky prvotních a duálních mnohostěnů nebo polytopů jsou samy o sobě teoreticko- duálními duálními řády . Dualita polytopů a dualita teorie objednávek jsou obě involuce : duální polytop dvojitého polytopu libovolného polytopu je původní polytop a obrácení všech řádových vztahů se dvakrát vrátí k původnímu pořadí. Volba jiného středu polarity vede k geometricky odlišným duálním polytopům, ale všechny mají stejnou kombinatorickou strukturu.

Z libovolného trojrozměrného mnohostěnu lze vytvořit rovinný graf , graf jeho vrcholů a hran. Duální mnohostěn má duální graf , graf s jedním vrcholem pro každou stranu mnohostěnu a s jednou hranou pro každé dvě sousední plochy. Stejný koncept duality rovinného grafu lze zobecnit na grafy, které jsou nakresleny v rovině, ale nepocházejí z trojrozměrného mnohostěnu, nebo obecněji k vložení grafů na povrchy vyššího rodu: lze nakreslit duální graf umístěním jeden vrchol v každé oblasti ohraničený cyklem hran ve vložení a nakreslení hrany spojující jakékoli dvě oblasti, které sdílejí hraniční hranu. Významným příkladem tohoto typu je z výpočetní geometrie : dualita pro všechny konečné množiny S bodů v rovině mezi triangulace podle Delaunaye z S a Voronoiova diagramu z S . Stejně jako u duálních mnohostěnů a duálních polytopů je dualita grafů na površích dimenzionální inverzí involuce: každý vrchol v primárním vloženém grafu odpovídá oblasti duálního vložení, každá hrana v primárním je překročena hranou v duálním a každá oblast primalu odpovídá vrcholu duálu. Duální graf závisí na tom, jak je vložen primární graf: různé rovinné vložení jednoho grafu může vést k různým duálním grafům. Matroidní dualita je algebraické rozšíření duality rovinného grafu v tom smyslu, že duální matroid grafického matroidu rovinného grafu je izomorfní s grafickým matroidem duálního grafu.

V teorii optimalizace se také vyskytuje jakási geometrická dualita , ale ne ta, která obrací dimenze. Lineární program, může být specifikována jako systém reálných veličin (Souřadnice bodu v euklidovském prostoru ), soustavy lineárních omezení (s uvedením, že bod leží v poloprostoru , průsečík těchto halfspaces je konvexní mnohostěn, proveditelná oblast programu) a lineární funkce (co optimalizovat). Každý lineární program má dvojí problém se stejným optimálním řešením, ale proměnné v dvojím problému odpovídají omezením v prvotním problému a naopak. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Dualita v logice a teorii množin

V logice jsou funkce nebo vztahy A a B považovány za duální, pokud A (¬ x ) = ¬ B ( x ) , kde ¬ je logická negace . Základní dualitou tohoto typu je dualita kvantifikátorů ∃ a in v klasické logice. Jedná se o dvojí, protože ∃ x .¬ P ( x ) a ¬∀ x . P ( x ) jsou ekvivalentní pro všechny predikáty P v klasické logice: pokud existuje x, pro které P nedokáže držet, pak je nepravdivé, že P platí pro všechna x (ale konverzace neplatí konstruktivně). Z této základní logické duality vyplývá několik dalších:

• Vzorec se říká, že je v určitém modelu uspokojivý, pokud existují přiřazení jeho volným proměnným, která ho činí pravdivým; je platný, pokud je při každém přiřazení jeho volným proměnným pravdivý. Uspokojitelnost a platnost jsou dvojí, protože neplatné vzorce jsou přesně ty, jejichž negace jsou uspokojivé, a nevyhovující vzorce jsou ty, jejichž negace jsou platné. To lze považovat za zvláštní případ předchozí položky, přičemž kvantifikátory se pohybují nad interpretacemi.
• V klasické logice jsou operátory ∧ a ∨ v tomto smyslu dvojí, protože (¬ x ∧ ¬ y ) a ¬ ( x ∨ y ) jsou ekvivalentní. To znamená, že pro každou větu klasické logiky existuje ekvivalentní dvojitá věta. Zákony De Morgana jsou příklady. Obecněji ∧ (¬ x _i ) = ¬ ∨ x _i . Levá strana je pravdivá právě tehdy, když ∀ i .¬ x _i , a pravá strana právě tehdy, když ¬∃ i . x _i .
• V modální logiky , □ p znamená, že tvrzení p je „nezbytně“ pravda a ◊ p , že p je „možná“ pravda. Většina interpretací modální logiky těmto dvěma operátorům přiřazuje dvojí význam. Například v sémantice Kripkeho „ p je možná pravda“ znamená „existuje nějaký svět W takový, že p je pravdivé ve W “, zatímco „ p je nutně pravda“ znamená „pro všechny světy W , p je pravdivé ve W “. Dualita □ a ◊ pak vyplývá z analogické duality ∀ a ∃ . Podobně se chovají i další duální modální operátoři. Například časová logika obsahuje operátory, které označují „v budoucnu bude platit“ a „v budoucnu bude platit vždy“, které jsou podobně dvojí.

Z nich vyplývají další obdobné duality:

• Set-teoretický odbor a křižovatka jsou dual pod set komplementu provozovatele ⋅ ^C . To znamená, že A ^C ∩ B ^C = ( A ∪ B ) ^C , a obecněji ∩ A ^C
  _α = ( ∪ _α ) ^C . To vyplývá z duality ∀ a ∃ : prvek x je členem ∩ A ^C
  _α právě tehdy, když ∀ α .¬ x ∈ A _α , a je členem ( ∪ A _α ) ^{C právě} tehdy, když ¬∃ α . x ∈ A _α .

Duální objekty

Skupina dualit lze popsat pomocí dotování pro jakýkoli matematický objekt X , sada morfizmy Hom ( X , D ) do nějakého pevného objektu D , se strukturou podobnou tomu X . Tomu se někdy říká vnitřní Hom . Obecně platí, že toto dá skutečný dualita pouze pro konkrétní volby D , v tomto případě X ^* = Hom ( X , D ), je označován jako duální z X . Vždy existuje mapa od X po dvojitý , to znamená dvojí dvojí,

Přiřadí některým x ∈ X mapu, která přidruží jakoukoli mapu f  : X → D (tj. Prvek v Hom ( X , D ) ) hodnotu f ( x ) . V závislosti na konkrétní uvažované dualitě a také v závislosti na objektu X může tato mapa být, ale nemusí být izomorfismem.

Duální vektorové prostory byly znovu navštíveny

Konstrukce dvojitého vektorového prostoru

zmíněný v úvodu je příkladem takové duality. Sada morfismů, tj. Lineární mapy , skutečně tvoří vektorový prostor sám o sobě. Mapa V → V ^** uvedená výše je vždy injektivní. Je surjektivní, a proto izomorfismus, tehdy a jen tehdy, pokud je rozměr of V je konečný. Tato skutečnost charakterizuje konečné trojrozměrné vektorové prostory bez odkazu na základ.

Izomorfismy V a V ^∗ a vnitřní produktové prostory

Vektorový prostor V je izomorfní s V ^∗ přesně tehdy, když V je konečný rozměr. V tomto případě je takový izomorfismus ekvivalentní nedegenerované bilineární formě

V tomto případě se V nazývá vnitřní produktový prostor . Například pokud K je pole reálných nebo komplexních čísel , každá pozitivní konečná bilineární forma vede k takovému izomorfismu. V Riemannian geometrii , V je brána jako tečné prostor z potrubí a tento pozitivní bilineární formy se nazývají Riemannových metriky . Jejich účelem je měřit úhly a vzdálenosti. Dualita je tedy základním základem této větve geometrie. Další aplikací vnitřních prostorů produktů je Hodgeova hvězda, která zajišťuje korespondenci mezi prvky vnější algebry . Pro n -rozměrný vektorový prostor mapuje hvězdný operátor Hodge k -formy na ( n - k ) -formy. To lze použít k formulování Maxwellových rovnic . V této podobě si dualita vnitřní produktový prostor vyměňuje roli magnetického a elektrického pole .

Dualita v projektivní geometrii

V některých projektivních rovinách je možné najít geometrické transformace, které mapují každý bod projektivní roviny na linii a každou linii projektivní roviny do bodu způsobem zachovávajícím dopad. Pro takové roviny existuje obecný princip duality v projektivních rovinách : vzhledem k tomu, že jakákoli věta v takové rovině má projektivní geometrii, výměna výrazů „bod“ a „přímka“ všude vede k nové, stejně platné větě. Jednoduchým příkladem je, že výrok „dva body určují jedinečnou čáru, čára procházející těmito body“ má dvojí výrok, že „dvě čáry určují jedinečný bod, průsečík těchto dvou úseček“. Další příklady najdete v článku Duální věty .

Koncepční vysvětlení tohoto jevu v některých rovinách (zejména polních) nabízí duální vektorový prostor. Ve skutečnosti body v projektivní rovině odpovídají jednorozměrným subvektorovým prostorům, zatímco čáry v projektivní rovině odpovídají subvektorovým prostorům dimenze 2. Dualita v takových projektivních geometriích pramení z přiřazení jednorozměrného podprostoru skládajícího se z ty lineární mapy, které uspokojí . V důsledku rozměru vzorce z lineární algebry , tento prostor je dvojrozměrný, tedy odpovídá řádku v projektivní rovině spojené se . ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2}}$${\ displaystyle V \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}) ^ {*}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (V) = 0}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}) ^ {*}}$

(Pozitivní určitá) bilineární forma

poskytuje identifikaci této projektivní roviny s . Konkrétně dualita přiřazuje své ortogonální . Explicitní vzorce v dualitě v projektivní geometrii vznikají pomocí této identifikace. ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2}}$${\ displaystyle V \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ left \ {w \ in \ mathbb {R} ^ {3}, \ langle v, w \ rangle = 0 {\ text {pro všechny}} v \ ve V \ right \}}$

Topologické vektorové prostory a Hilbertovy prostory

V oblasti topologických vektorových prostorů existuje podobná konstrukce, která nahrazuje duální topologickým duálním vektorovým prostorem. Existuje několik pojmů topologického duálního prostoru a každý z nich vede k určité koncepci duality. Topologický vektorový prostor, který je kanonicky izomorfní se svým dvojním, se nazývá

reflexivní prostor : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X ''}$

$${\ displaystyle X \ cong X ''.}$$

Příklady:

• Stejně jako v případě konečných rozměrů, na každém Hilbertově prostoru H jeho vnitřní součin ⟨⋅, ⋅⟩ definuje mapu
  $${\ Displaystyle H \ až H ^ {*}, v \ mapsto (w \ mapsto \ langle w, v \ rangle),}$$

  
  což je bijekce v důsledku Rieszovy věty o reprezentaci . Důsledkem je, že každý Hilbertův prostor je reflexním Banachovým prostorem .
• Dvojí normed prostor z L ^p kosmická je L ^Q , kde 1 / p + 1 / q = 1 za předpokladu, že 1 ≤ p <∞ , ale dvojí L ^∞ je větší než L ¹ . Proto L ¹ není reflexivní.
• Distribuce jsou lineární funkcionály na příslušných prostorech funkcí. Jsou důležitým technickým prostředkem v teorii parciálních diferenciálních rovnic (PDE): místo přímého řešení PDE může být jednodušší nejprve vyřešit PDE ve „slabém smyslu“, tj. Najít distribuci, která vyhovuje PDE a , zadruhé, aby ukázal, že řešení musí být ve skutečnosti funkcí. Všechny standardní prostory distribucí - , , - jsou reflexní lokálně konvexní prostory. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U) '}$

Další duální objekty

Dvojí mřížka z mřížky L je dána vztahem

$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (L, \ mathbf {Z}),}$$

který se používá při konstrukci torických odrůd . Pontryagin dvojí z lokálně kompaktní topologické skupiny G je dána vztahem

$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (G, S ^ {1}),}$$

spojité skupinové homomorfismy s hodnotami v kruhu (s násobením komplexních čísel jako skupinová operace).

Duální kategorie

Hlavní článek: Dual (teorie kategorií)

Opačné kategorie a adjunkční funktory

V jiné skupině dualit jsou objekty jedné teorie přeloženy do objektů jiné teorie a mapy mezi objekty v první teorii jsou převedeny do morfismů ve druhé teorii, ale s obráceným směrem. Pomocí parlance teorie kategorií to představuje kontravariantní funktor mezi dvěma kategoriemi C a D :

F : C → D

což pro libovolné dva objekty X a Y z C dává mapu

Hom _C ( X , Y ) → Hom _D ( F ( Y ), F ( X ))

Tento funktor může, ale nemusí být rovnocenností kategorií . Existují různé situace, ve kterých takový functor je ekvivalence mezi naproti kategorie C ^op části C a D . Použitím duality tohoto typu lze každé tvrzení v první teorii přeložit do „dvojího“ tvrzení ve druhé teorii, kde musí být směr všech šipek obrácen. Proto je jakákoli dualita mezi kategoriemi C a D formálně stejná jako ekvivalence mezi C a D ^op ( C ^op a D ). Za mnoha okolností však opačné kategorie nemají žádný vlastní význam, což z duality dělá další, samostatný koncept.

Kategorie, která je ekvivalentní s jeho duální se nazývá self-dual . Příkladem kategorie self-dual je kategorie Hilbertových prostorů .

Mnoho kategorií-teoretických pojmů přichází ve dvojicích v tom smyslu, že si navzájem odpovídají, zatímco uvažují o opačné kategorii. Například karteziánské produkty Y ₁ × Y ₂ a disjunktní spojení Y ₁ ⊔ Y ₂ sad jsou navzájem dvojí v tom smyslu, že

Hom ( X , Y ₁ × Y ₂ ) = Hom ( X , Y ₁ ) × Hom ( X , Y ₂ )

a

Hom ( Y ₁ ⊔ Y ₂ , X ) = Hom ( Y ₁ , X ) × Hom ( Y ₂ , X )

Pro nějaký soubor X . Toto je konkrétní případ obecnějšího fenoménu duality, kdy limity v kategorii C odpovídají kolimitům v opačné kategorii C ^op ; dalšími konkrétními příklady jsou epimorfismy vs. monomorfismus , zejména moduly faktorů (nebo skupiny atd.) vs. submodul , přímé produkty vs. přímé součty (nazývané také koprodukty pro zdůraznění aspektu duality). V některých případech lze proto důkazy určitých tvrzení snížit na polovinu, a to pomocí takového jevu duality. Další pojmy Související takový kategorický duality jsou projektivní a injektivní moduly v homologické algebry , fibrations a cofibrations v topologii a obecněji modelu kategorie .

Dvě funktory F : C → D a G : D → C jsou adjoint , jestliže pro všechny objekty C v C a d v D

Hom _D (F ( c ), d ) ≅ Hom _C ( c , G ( d )) ,

přirozeným způsobem. Ve skutečnosti je korespondence limitů a kolimit příkladem sousedů, protože existuje adjunkce

colim: C ^I ↔ C : Δ

mezi colimit funktoru, která přiřazuje každém schématu na C indexované nějakým kategorie I jeho colimit a diagonální functor, která mapuje jakýkoliv objekt c o C do konstantní diagramu, který má C na všech místech. Duálně

Δ: C ↔ C ^I : lim .

Prostory a funkce

Gelfandova dualita je dualita mezi komutativními C * -algebrami A a kompaktními Hausdorffovými prostory X je stejná: přiřazuje X prostor spojitých funkcí (které mizí v nekonečnu) od X po C , komplexní čísla. Naopak, prostor X může být rekonstruován z A, jako je spektrum z A . Gelfandovu i Pontryaginovu dualitu lze odvodit do značné míry formálním, teoreticky teoretickým způsobem.

V podobném duchu je dualita v algebraické geometrii mezi komutativních prstenů a afinních schémat : ke každému komutativního kruhu A je zde afinní spektrum, Spec . Naopak, vzhledem k tomu, affine režimu S , dostane zpět kruhu tím, že globální úseků struktury svazek O _S . Kromě toho jsou kruhové homomorfismy v korespondenci jedna k jedné s morfismem afinních schémat, čímž dochází k ekvivalenci

(Komutativní prsteny) ^op ≅ (afinní schémata)

Afinní schémata jsou místní stavební kameny schémat . Předchozí výsledek tedy říká, že lokální teorie schémat je stejná jako komutativní algebra , studie komutativních prstenců.

Nekomutativní geometrie čerpá inspiraci z Gelfandovy duality a studuje nekomutativní C * -algebry, jako by to byly funkce v nějakém imaginovaném prostoru. Dualita Tannaka – Kerin je nekomutativní analogou Pontryaginovy ​​duality.

Galoisova spojení

V řadě situací dvě kategorie, které jsou navzájem dvojí, ve skutečnosti vycházejí z částečně uspořádaných množin, tj. Existuje určitá představa, že objekt je „menší“ než jiná. Dualita, která respektuje dotyčné uspořádání, se nazývá spojení Galois . Příkladem je standardní dualita v Galoisově teorii zmíněné v úvodu: větší rozšíření pole odpovídá - pod mapováním, které přiřadí jakékoli rozšíření L ⊃ K (uvnitř nějakého pevného většího pole Ω) Galoisovu skupinu Gal (Ω / L ) - menší skupina.

Sbírka všech otevřených podmnožin topologického prostoru X tvoří úplnou heytingovou algebru . Existuje dualita, známá jako kamenná dualita , spojující střízlivé prostory a prostorová prostředí .

• Birkhoffova věta o

reprezentaci týkající se distribučních mřížek a částečných objednávek

Pontryaginova dualita

Dualita Pontryagin dává dualitu v kategorii lokálně kompaktních abelianských skupin : vzhledem k jakékoli takové skupině G je skupina znaků

χ ( G ) = Hom ( G , S ¹ )

dán spojitými skupinovými homomorfismy z G do kruhové skupiny S ¹ může být vybaven kompaktně otevřenou topologií . Dualita Pontryagin uvádí, že skupina znaků je opět lokálně kompaktní abelian a to

G ≅ χ (χ ( G )).

Kromě toho, jednotlivé skupiny odpovídají kompaktní abelian skupin ; konečné skupiny odpovídají konečným skupinám. Na jedné straně je Pontryagin zvláštním případem duality Gelfand. Na druhou stranu je to koncepční důvod Fourierovy analýzy , viz níže.

Analytické duality

Při analýze se problémy často řeší přechodem na dvojí popis funkcí a operátorů.

Fourierova transformace přepíná mezi funkcemi ve vektorovém prostoru a jeho duálním:

$${\ displaystyle {\ widehat {f}} (\ xi): = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} \, dx,}$$

a naopak

$${\ displaystyle f (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ widehat {f}} (\ xi) \ e ^ {2 \ pi ix \ xi} \, d \ xi.}$$

Pokud f je L ² -function na R nebo R ^N , řekněme, pak tak je a . Kromě toho transformace zaměňuje operace násobení a konvoluce na odpovídajících funkčních prostorech . Koncepční vysvětlení Fourierovy transformace získá výše uvedená Pontryaginova dualita, aplikovaná na lokálně kompaktní skupiny R (nebo R ^N atd.): Jakýkoli znak R je dán ξ ↦ e ^{−2 πixξ} . Dualizační charakter Fourierovy transformace má mnoho dalších projevů, například v alternativních popisech kvantově mechanických systémů, pokud jde o reprezentace souřadnic a hybnosti. ${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$${\ displaystyle f (-x) = {\ widehat {\ widehat {f}}} (x)}$

• Laplaceova transformace je podobná Fourierově transformaci a zaměňuje operátory násobení polynomy s lineárními diferenciálními operátory s konstantním koeficientem .
• Legendrova transformace je důležitá analytická dualita, která přepíná mezi rychlostmi v Lagrangeově mechanice a momentem v Hamiltonovské mechanice .

Homologie a kohomologie

Věty ukazující, že určité objekty zájmu jsou duálními prostory (ve smyslu lineární algebry) jiných objektů zájmu, se často nazývají duality . Mnoho z těchto dualit je dáno bilineárním párováním dvou K- vektorových prostorů

⊗ B → K .

Pro dokonalé párování , je zde tedy izomorfismus od A do dual of B .

Poincaré dualita

Poincaré dualita hladkého kompaktního komplexu potrubí X je dán párování singulární kohomologie s C -coefficients (ekvivalentně svazku kohomologie z konstantní snop C )

H ⁱ (X) ⊗ H ^{2 n - i} (X) → C ,

kde n je (komplex) rozměr X . Poincaréovu dualitu lze také vyjádřit jako vztah singulární homologie a de Rhamovy kohomologie tvrzením, že mapa

${\ displaystyle (\ gamma, \ omega) \ mapsto \ int _ {\ gamma} \ omega}$

(integrace diferenciálního k -formu přes 2 n - k - (skutečný) -dimenzionální cyklus) je perfektní párování.

Poincaré dualita také obrací dimenze; odpovídá skutečnosti, že pokud je topologický varietní soubor reprezentován jako buněčný komplex , pak duál komplexu (vyšší dimenzionální zobecnění duálního planárního grafu) představuje stejný varietní soubor. V Poincaréově dualitě se tento homeomorfismus odráží v izomorfismu k té homologické skupiny a ( n  -  k ) té kohomologické skupiny.

Dualita v algebraické a aritmetické geometrii

Stejný dualita vzorec platí pro hladký projektivní řadou nad uvolnitelně uzavřené oblasti , za použití l-adic cohomology s Q _ℓ -coefficients místo. To se dále zobecňuje na možná singulární odrůdy , místo toho se používá průniková kohomologie , dualita zvaná Verdierova dualita . Serre dualita nebo koherentní dualita jsou podobné výše uvedeným tvrzením, ale místo toho platí pro kohomologii koherentních svazků .

Ukazuje se, že s rostoucí úrovní obecnosti je pro pochopení těchto vět užitečné nebo nutné zvyšovat množství technického zázemí: moderní formulaci těchto dualit lze provést pomocí odvozených kategorií a určitých přímých a inverzních obrazových funktorů snopů (s ohledem na klasická analytická topologie na varietách pro Poincarého dualitu, l-adické snopy a étalovou topologii ve druhém případě as ohledem na koherentní snopy pro koherentní dualitu).

Ještě další skupina podobných výroků duality se setkává v aritmetice : etalická kohomologie konečných , lokálních a globálních polí (také známá jako Galoisova kohomologie , protože étaleská kohomologie nad polem je ekvivalentní skupinové kohomologii (absolutní) Galoisovy skupiny pole) připustit podobné párování. Absolutní Galois skupina G ( F _q ) z konečného pole, například, je izomorfní se

profinite dokončení ze Z , celých čísel. Proto perfektní párování (pro jakýkoli G- modul M ) ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {Z}}}}$

H ⁿ ( G , M ) × H ^{1 - n} ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z

je přímým důsledkem Pontryaginovy ​​duality konečných skupin. Pro místní a globální pole existují podobné příkazy ( místní dualita a globální nebo Poitou – Tate dualita ).

Viz také

• Sdružený funktor
• Autonomní kategorie
• Dvojitá abelianská odrůda
• Duální základ
• Dual (teorie kategorií)
• Duální kód
• Dualita (elektrotechnika)
• Dualita (optimalizace)
• Dualizační modul
• Dualizace svazku
• Dvojitá mříž
• Dvojí norma
• Dvojitá čísla , určitá asociativní algebra ; termín „dual“ je zde synonymem pro double a nesouvisí s výše uvedenými pojmy.
• Koszulská dualita
• Langlands duální
• Lineární programování # Dualita
• Seznam dualit
• Matlisova dualita
• Petrie dualita
• Pontryaginova dualita
• S-dualita
• T-dualita , zrcadlová symetrie

Poznámky

Reference

Dualita obecně

• Atiyah, Michael (2007), Dualita v matematice a fyzice , poznámky k přednášce z Institut de Matematica de la Universitat de Barcelona (IMUB).
• Kostrikin, AI (2001) [1994], „Duality“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press CS1 maint: discouraged parameter ( link ) .
• Gowers, Timothy (2008), „III.19 Duality“, Princetonský společník matematiky , Princeton University Press, s. 187–190 .
• Cartier, Pierre (2001), „Práce šíleného dne: od Grothendiecka ke Connesovi a Kontsevichovi. Vývoj konceptů prostoru a symetrie“ , Bulletin of American Mathematical Society , New Series, 38 (4): 389–408, doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00913-2 , ISSN   0002-9904 , MR   1848254 (netechnický přehled několika aspektů geometrie, včetně dualit)

Dualita v algebraické topologii

• James C. Becker a Daniel Henry Gottlieb, Historie duality v algebraické topologii

Specifické duality

• Artstein-Avidan, Shiri ; Milman, Vitali (2008), „Koncept duality pro měření projekcí konvexních těles“, Journal of Functional Analysis , 254 (10): 2648–66, doi : 10,1016 / j.jfa.2007.11.008 . Také stránky autora .
• Artstein-Avidan, Shiri; Milmanova, Vitali (2007), „Provede se charakterizace pojmu duality“ , Electronic Výzkum Oznámení v matematické vědy , 14 : 42 až 59, archivovány od originálu na 2011-07-24 , vyvolány 2009-05-30 . Také stránky autora .
• Dwyer, William G .; Spaliński, Jan (1995), „Teorie homotopy

a modelové kategorie“ , Příručka algebraické topologie , Amsterdam: North-Holland, str. 73–126, MR   1361887

Fulton, William (1993), Úvod do torických odrůd , Princeton University Press , ISBN   978-0-691-00049-7

Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN   978-0-471-05059-9 , MR   1288523

Hartshorne, Robin (1966), Rezidua a dualita , Přednášky z matematiky, 20 , Springer-Verlag , str. 20–48, ISBN   978-3-540-34794-1

Hartshorne, Robin (1977), Algebraická geometrie , Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157 , OCLC   13348052

Iversen, Birger (1986), Kohomologie snopů , Universitext, Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-16389-3 , MR   0842190

Joyal, André ; Street, Ross (1991), „An Introduction to Tannaka duality and quantum groups“ (PDF) , Category theory , Lecture Notes in Mathematics, 1488 , Springer-Verlag , str. 413–492, doi : 10,1007 / BFb0084235 , ISBN   978-3-540-46435-8 , MR   1173027

Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a prstenech , Postgraduální texty z matematiky, 189 , Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-98428-5 , MR   1653294

Lang, Serge (2002), Algebra , Absolventské texty z matematiky, 211 , Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556

Loomis, Lynn H. (1953), An Introduction to Abstract Harmonic Analysis , D. Van Nostrand, pp. X + 190, hdl : 2027 / uc1.b4250788

Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro pracujícího matematika (2. vydání), Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-98403-2

Mazur, Barry (1973), „Notes on étale cohomology of number fields“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 521–552, doi : 10,24033 / asens.1257 , ISSN   0012-9593 , MR   0344254

Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN   978-0-691-08238-7

Milne, James S. (2006), Aritmetické věty o dualitě (2. vydání), Charleston, Jižní Karolína: BookSurge, LLC, ISBN   978-1-4196-4274-6 , MR   2261462

Negrepontis, Joan W. (1971), „Dualita v analýze z pohledu trojic“, Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10,1016 / 0021-8693 (71) 90105-0 , ISSN   0021-8693 , MR   0280571

Veblen, Oswald ; Young, John Wesley (1965), Projektivní geometrie. Sv. 1, 2 , Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., MR   0179666

Weibel, Charles A. (1994), An úvod do homologické algebry , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-55987-4 , MR   1269324

Edwards, RE (1965). Funkční analýza. Teorie a aplikace . New York: Holt, Rinehart a Winston. ISBN   0030505356 .