Kvocientový modul - Quotient module
V algebře , daný modul a submodul , jeden může postavit jejich kvocientový modul . Tato konstrukce, popsané níže, je analogická s tím, jak jeden, získává kroužek z celých čísel modulo celé číslo n , viz modulární aritmetiku . Jedná se o stejnou konstrukci, která se používá pro skupiny kvocientů a kruhy kvocientů .
Vzhledem k modulu A nad prstencem R a submodulu B z A je kvocientový prostor A / B definován vztahem ekvivalence
- a ~ b právě tehdy, když b - a je v B ,
pro všechny A a B v A . Prvky A / B jsou třídy ekvivalence [ a ] = { a + b : b v B }.
Operace sčítání na A / B je definována pro dvě třídy ekvivalence jako třída ekvivalence součtu dvou zástupců z těchto tříd; a stejným způsobem pro násobení prvky R . Tímto způsobem se A / B stává modulem nad R , který se nazývá kvocientový modul . V symbolech, [ ] + [ b ] = [ + b ], a r · [ ] = [ r · ], pro všechny A , B, v A a R v R .
Příklady
Předpokládejme kroužek R z reálných čísel , a R -module = R [ X ], že je polynom kruh s reálnými koeficienty. Zvažte submodul
- B = ( X 2 + 1) R [ X ]
of A , to znamená, že submodul ze všech polynomů dělitelný X 2 + 1. Z toho vyplývá, že ekvivalenční vztah určený tímto modulem bude
- P ( X ) ~ Q ( X ) právě tehdy, když P ( X ) a Q ( X ) dávají stejný zbytek, když se vydělí X 2 + 1.
Proto v kvocientovém modulu A / B je X 2 + 1 stejné jako 0; takže je možné zobrazit A / B , jak se získá z R [ X ] o nastavení X 2 + 1 = 0. Tato kvocientu modulu je izomorfní s komplexní čísla , zobrazených jako modul přes reálná čísla R .
