Dualizační svazek - Dualizing sheaf

V algebraické geometrii, dualizing svazek na řádném schématu X dimenze n přes pole K je koherentní svazek spolu s lineární funkční ${\ displaystyle \ omega _ {X}}$

${\ displaystyle t_ {X}: \ operatorname {H} ^ {n} (X, \ omega _ {X}) \ do k}$

který indukuje přirozený izomorfismus vektorových prostorů

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (F, \ omega _ {X}) \ simeq \ operatorname {H} ^ {n} (X, F) ^ {*}, \, \ varphi \ mapsto t_ {X} \ circ \ varphi}$

pro každý koherentní svazek F na X (horní index * odkazuje na duální vektorový prostor ). Lineární funkce se nazývá stopový morfismus . ${\ displaystyle t_ {X}}$

Dvojice , pokud existuje, je jedinečná až do přirozeného izomorfismu. Ve skutečnosti, v jazyce teorie kategorií , je objekt představující na contravariant funktor z kategorie soudržných kladek na X na kategorii k -vector prostorů. ${\ displaystyle (\ omega _ {X}, t_ {X})}$${\ displaystyle \ omega _ {X}}$${\ displaystyle F \ mapsto \ operatorname {H} ^ {n} (X, F) ^ {*}}$

Pro normální projektivní odrůdu X existuje dualizační svazek a ve skutečnosti jde o kanonický svazek : kde je kanonický dělitel . Obecněji řečeno, dualizační svazek existuje pro jakékoli projektivní schéma. ${\ displaystyle \ omega _ {X} = {\ mathcal {O}} _ {X} (K_ {X})}$${\ displaystyle K_ {X}}$

Existuje následující varianta Serreovy věty o dualitě : pro projektivní schéma X čisté dimenze n a snop Cohen – Macaulay F na X takové, které má čistou dimenzi n , existuje přirozený izomorfismus ${\ displaystyle \ operatorname {Supp} (F)}$

${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (X, F) \ simeq \ operatorname {H} ^ {ni} (X, \ operatorname {{\ mathcal {H}} om} (F, \ omega _ { X})) ^ {*}}$.

Zejména je-li X samo o sobě schématem Cohen-Macaulay , pak výše uvedená dualita platí pro jakýkoli lokálně volný svazek.

Relativní dualizační svazek

Vzhledem k tomu, správné konečně prezentovány morfismus schémat , ( Kleiman 1980 ) definuje relativní dualizing svazek nebo jako svazek tak, že pro každý otevřený podmnožinu a kvazi-koherentní svazek o , je kanonický izomorfismus ${\ displaystyle f: X \ až Y}$chyba harv: žádný cíl: CITEREFKleiman1980 ( nápověda ) ${\ displaystyle \ omega _ {f}}$${\ displaystyle \ omega _ {X / Y}}$${\ displaystyle U \ podmnožina Y}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle (f | _ {U}) ^ {!} F = \ omega _ {f} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {Y}} F}$,

který je funkční a dojíždí s otevřenými omezeními. ${\ displaystyle F}$

Příklad : Pokud jde o lokální morfismus úplného průniku mezi schématy konečného typu nad polem, pak (podle definice) má každý bod otevřeného sousedství a faktorizaci , pravidelné zakotvení codimenze následované hladkým morfismem relativní dimenze . Pak ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f | _ {U}: U {\ overset {i} {\ to}} Z {\ overset {\ pi} {\ to}} Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ omega _ {f} | _ {U} \ simeq \ wedge ^ {r} i ^ {*} \ Omega _ {\ pi} ^ {1} \ otimes \ wedge ^ {k} N_ {U / Z}}$

kde je svazek relativních Kahler diferenciálů a je normální svazek na . ${\ displaystyle \ Omega _ {\ pi} ^ {1}}$${\ displaystyle N_ {U / Z}}$${\ displaystyle i}$

Příklady

Dualizace svazku uzlové křivky

Pro hladkou křivku C může být její dualizační svazek dán kanonickým svazkem . ${\ displaystyle \ omega _ {C}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {C} ^ {1}}$

U uzlové křivky C s uzlem p můžeme uvažovat o normalizaci se dvěma identifikovanými body x , y . Nechť je svazek racionálních 1 forem na s možnými jednoduchými póly na x a y , a nechť je podnoží skládající se z racionálních 1 forem s součtem zbytků na x a y rovných nule. Potom se přímo obrázek definuje dualizing svazek pro uzlového křivky C . Konstrukci lze snadno zobecnit na uzlové křivky s více uzly. ${\ displaystyle \ pi: {\ tilda {C}} \ do C}$${\ displaystyle \ Omega _ {\ tilda {C}} (x + y)}$${\ displaystyle {\ tilde {C}}}$${\ displaystyle \ Omega _ {\ tilde {C}} (x + y) _ {0}}$${\ displaystyle \ pi _ {*} \ Omega _ {\ tilda {C}} (x + y) _ {0}}$

To se používá při konstrukci Hodgeova svazku na prostoru kompaktifikovaných modulů křivek : umožňuje nám rozšířit relativní kanonický svazek přes hranici, která parametrizuje uzlové křivky. Svazek Hodge je poté definován jako přímý obraz relativního dualizačního svazku.

Dualizace svazku projektivních schémat

Jak bylo uvedeno výše, dualizační svazek existuje pro všechna projektivní schémata. Pro X uzavřený podprogram z P ⁿ o codimension r , jeho dualizing svazek může být podáván . Jinými slovy, jeden používá dualizing svazek na okolní P ⁿ konstruovat dualizing svazek na X . ${\ displaystyle {\ mathcal {Ext}} _ {\ mathbf {P} ^ {n}} ^ {r} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbf {P} ^ { n}})}$

Viz také

• koherentní dualita
• reflexní svazek
• Gorensteinův prsten
• Dualizační modul

Reference

• E. Arbarello, M. Cornalba a PA Griffiths, Geometrie algebraických křivek. Sv. II, s příspěvkem Josepha Daniela Harrise, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, sv. 268, Springer, Heidelberg, 2011. MR-2807457
• Kleiman, Steven L. Relativní dualita pro kvazikoherentní snopy. Složení matematiky. 41 (1980), č. 1. 1, 39–60.
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational geometry of algebraic variety , Cambridge Tracts in Mathematics, 134 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63277-5, MR  1658959
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraická geometrie , Postgraduální texty z matematiky , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157

externí odkazy

• http://math.stanford.edu/~vakil/0506-216/216class5354.pdf
• Relativní dualizační svazek (reference, chování)

Tento článek týkající se algebraické geometrie je útržek . Wikipedii můžete pomoci rozšířením . proti t E