Kategorie modelu - Model category

V matematiky , zejména v homotopie teorii , je kategorie modelu je kategorie s předními tříd morphisms ( ‚šipky‘), se nazývají ‚ slabé ekvivalence ‘, ‚ fibrations ‘ a ‚ cofibrations ‘ splňující určité axiomy je v souvislosti. Tito abstrahují od kategorie topologických prostorů nebo řetězových komplexů ( odvozená teorie kategorií ). Koncept představil Daniel G. Quillen  ( 1967 ).

V posledních desetiletích byl jazyk modelových kategorií používán v některých částech algebraické K- teorie a algebraické geometrie , kde homotopy-teoretické přístupy vedly k hlubokým výsledkům.

Motivace

Kategorie modelů mohou poskytnout přirozené prostředí pro teorii homotopie : kategorie topologických prostorů je kategorií modelů, přičemž homotopie odpovídá obvyklé teorii. Podobně objekty, o kterých se uvažuje jako o mezerách, často připouštějí strukturu modelové kategorie, jako je kategorie zjednodušených množin .

Další kategorií model je kategorie komplexů řetězu z R -modules pro komutativním kruhu R . Teorie homotopy je v tomto kontextu homologická algebra . Na homologii lze potom pohlížet jako na typ homotopie, která umožňuje zobecnění homologie na jiné objekty, jako jsou skupiny a R- algebry , jedna z prvních hlavních aplikací teorie. Z důvodu výše uvedeného příkladu týkajícího se homologie je studium uzavřených modelových kategorií někdy považováno za homotopickou algebru .

Formální definice

Definice daná původně Quillenem byla definice uzavřené modelové kategorie, jejíž předpoklady se v té době zdály silné, což ostatní motivovalo k oslabení některých předpokladů k definování modelové kategorie. V praxi se rozlišení neprokázalo jako významné a nejnovější autoři (např. Mark Hovey a Philip Hirschhorn) pracují s uzavřenými modelovými kategoriemi a jednoduše upustí od adjektiva „uzavřeno“.

Definice byla oddělena od definice modelové struktury pro kategorii a poté další kategorické podmínky pro tuto kategorii, jejichž nutnost se na první pohled může zdát nemotivovaná, ale později se stane důležitou. Následující definice vyplývá z definice dané Hoveym.

Struktura modelu na kategorii C se skládá ze tří významných tříd morphisms (ekvivalentně podkategorie): slabé ekvivalence , fibrations a cofibrations a dvě functorial factorizations a výhradou těchto axiomů. Fibrace, která je také slabou ekvivalencí, se nazývá acyklická (nebo triviální ) fibrace a kofibrace, která je také slabou ekvivalencí, se nazývá acyklická (nebo triviální ) kofibrace (nebo někdy nazývaná anodynový morfismus ).

Axiomy
  1. Zatahuje : pokud g je morfizmus patřící do jedné z významných tříd, a f je navinout na g (jako objekty v kategorii šipky , kde 2 je uspořádaná množina 2-prvek), pak f patří do stejné rozlišující třídy. Výslovně požadavek, že f je zatažení g, znamená, že existují i , j , r a s , takže dojíždí následující diagram:
    Kategorie modelu retract.png
  2. 2 ze 3 : jsou-li f a g mapy v C , takže je definováno gf a jakékoli dvě z nich jsou slabé ekvivalence, pak také třetí.
  3. Zvedání : acyklické kofibrace mají vlastnost zdvihu vlevo vzhledem k fibracím a cofibrace mají vlastnost zdvihu vlevo vzhledem k acyklickým fibracím. Výslovně, v případě, že vnější čtverec Následující schéma dojíždění, kde i je cofibration a p je fibration, a i , nebo p je acyklická, potom existuje h dokončení diagramu.
    Zvedací kategorie modelu.png
  4. Faktorizace :
    • každý morfismus f v C lze zapsat jako pro fibraci p a acyklickou kofibraci i ;
    • každý morfismus f v C lze psát jako pro acyklickou fibraci p a kofibraci i .

Kategorie Model je kategorie, který má modelovou strukturu a všechny (malé) limity a kolimity , tj kompletní a cocomplete kategorii s vzorové struktury.

Definice prostřednictvím slabých faktorizačních systémů

Výše uvedenou definici lze stručně formulovat následující ekvivalentní definicí: modelová kategorie je kategorií C a třemi třídami (tzv.) Slabých ekvivalentů W , fibrací F a kofibrací C, takže

  • C má všechny limity a kolimity,
  • je slabý faktorizační systém
  • splňuje vlastnost 2 ze 3.

První důsledky definice

Axiomy naznačují, že kteroukoli ze tří tříd map určují třetí (např. Kofibrace a slabé ekvivalence určují fibrace).

Definice je také sebe-duální: je-li C modelová kategorie, pak její opačná kategorie připouští také modelovou strukturu tak, aby slabé ekvivalence odpovídaly jejich protikladům, fibračním protikladům kofibrací a kofibračním protikladům fibrací.

Příklady

Topologické prostory

Kategorii prostorů topological , Vrchol , připouští standardního modelu kategorie strukturu s obvyklými (Serre) fibrations a se slabými rovnocennosti jsou slabé homotopických ekvivalence. Kofibrace nejsou obvyklým pojmem, který se zde nachází , ale spíše užší třídou map, které mají vlastnost levého zvedání s ohledem na acyklické Serreovy fibrace. Ekvivalentně se jedná o zatažení relativních komplexů buněk, jak je vysvětleno například v Hovey's Model Categories . Tato struktura není jedinečná; obecně může v dané kategorii existovat mnoho struktur modelových kategorií. Pro kategorii topologických prostorů je další taková struktura dána Hurewiczovými fibracemi a standardními kofibracemi a slabými ekvivalencemi jsou (silné) homotopické ekvivalence .

Řetězové komplexy

Kategorie (nonnegatively tříděné) komplexy řetězcem z R -modules nese alespoň dvě modelové struktury, které obě leží v centru homologické algebře:

nebo

To vysvětluje, proč lze Ext-skupiny R- modulů vypočítat buď projektivním řešením zdroje, nebo injekčním řešením cíle. Jedná se o náhrady cofibrantů nebo fibrantů v příslušných modelových strukturách.

Kategorie libovolných řetězových komplexů R- modulů má modelovou strukturu, kterou definuje

  • slabé ekvivalence jsou řetězové homotopické ekvivalence řetězových komplexů;
  • kofibrace jsou monomorfismy, které jsou rozděleny jako morfizmy podkladových R- modulů; a
  • fibrace jsou epimorfismy, které jsou rozděleny jako morfizmy podkladových R- modulů.

Další příklady

Mezi další příklady kategorií přijímajících modelové struktury patří kategorie všech malých kategorií, kategorie zjednodušených množin nebo zjednodušených předvoleb na jakémkoli malém místě Grothendieck , kategorie topologických spekter a kategorie zjednodušujících spekter nebo předvoleb zjednodušujících spekter na malých Grothendiecků stránky.

Zjednodušené objekty v kategorii jsou častým zdrojem kategorií modelů; například zjednodušené komutativní prstence nebo zjednodušené R- moduly připouštějí přirozené modelové struktury. Toto následuje, protože existuje adjunkce mezi jednoduchými množinami a zjednodušenými komutativními kruhy (daná zapomnětlivými a volnými funktory), a v pěkných případech lze zvednout modelové struktury pod adjunkcí.

Simplicial modelu kategorie je simplicial kategorie s modelovou strukturu, která je kompatibilní s simpliciální strukturou.

Vzhledem k jakékoli kategorii C a modelové kategorii M je za určité extra hypotézy také kategorie funktorů Fun ( C , M ) (nazývaná také C -diagramy v M ) modelovou kategorií. Ve skutečnosti, tam jsou vždy dva kandidáty na různých modelových struktur: v jedné, tzv projektivní struktury modelu, fibrations a slabými ekvivalence jsou tyto mapy funktorů, které jsou fibrations a slabé ekvivalence při hodnocení v každém objektu C . Dvojitě je struktura injektivního modelu podobná s kofibracemi a slabou ekvivalencí. V obou případech je třetí třída morfismů dána podmínkou zvedání (viz níže). V některých případech, když kategorie C je kategorie Reedy , existuje třetí modelová struktura mezi projektivním a injektivním.

Proces vynucení určitých map, aby se staly slabými ekvivalencemi v nové struktuře modelové kategorie ve stejné základní kategorii, je známý jako Bousfieldova lokalizace . Například kategorii zjednodušených svazků lze získat jako Bousfieldovu lokalizaci modelové kategorie zjednodušených předsazenek .

Denis-Charles Cisinski vyvinul obecnou teorii modelových struktur na kategoriích presheaf (zevšeobecňující zjednodušené množiny, které jsou preshey v kategorii simplex ).

Pokud C je kategorie modelu, pak tak je kategorie Pro ( C ) z pro-objektů v C . Nicméně, model struktury na Pro ( C ) může být také konstruován uložení slabší sadu axiomů na C .

Některé stavby

Každá kategorie uzavřených modelů má úplný objekt terminálu a počáteční objekt cocompleteness, protože tyto objekty jsou limitem a kolimitem prázdného diagramu. Vzhledem k tomu, že objekt X v kategorii modelu je jedinečnou mapou z počátečního objektu do X kofibrace, pak se o X říká, že je kofibrant . Analogicky, pokud je jedinečnou mapou z X do terminálního objektu fibrace, pak se říká, že X je fibrant .

Pokud Z a X jsou objekty kategorie modelu tak, že Z je cofibrant a tam je slabý ekvivalence od Z do X, pak Z je říká, že je cofibrant náhrada pro X . Podobně, jestliže Z je fibrant a tam je slabý ekvivalence z X k Z pak Z je říká, že je fibrant náhrada pro X . Obecně platí, že ne všechny objekty jsou fibrantní nebo cofibrantní, i když tomu tak někdy je. Například všechny objekty jsou spolufinancovány ve standardní modelové kategorii zjednodušených sad a všechny objekty jsou fibrantní pro strukturu standardní modelové kategorie uvedenou výše pro topologické prostory.

Levá homotopie je definována s ohledem na objekty válce a pravá homotopie je definována s ohledem na objekty prostoru cesty . Tyto pojmy se shodují, když je doména cofibrant a codomain je fibrant. V takovém případě homotopie definuje relaci ekvivalence na domovských sadách v modelové kategorii, která vede k třídám homotopie.

Charakterizace fibrací a kofibrací pomocí zvedacích vlastností

Kofibrace lze charakterizovat jako mapy, které mají vlastnost zvedání vlevo s ohledem na acyklické fibrace, a acyklické kofibrace jsou charakterizovány jako mapy, které mají vlastnost zvedání vlevo s ohledem na fibrace. Podobně lze fibrace charakterizovat jako mapy, které mají správnou vlastnost zvedání s ohledem na acyklické kofibrace, a acyklické fibrace jsou charakterizovány jako mapy, které mají správnou vlastnost zvedání s ohledem na kofibrace.

Homotopy a kategorie homotopy

Kategorie homotopy z modelu kategorie C je lokalizace z C s ohledem na třídu slabých ekvivalencí. Tato definice kategorie homotopy nezávisí na volbě fibrací a kofibrací. Třídy fibrací a kofibrací jsou však užitečné při popisu kategorie homotopy jiným způsobem a zejména při vyhýbání se množinovým teoretickým problémům vznikajícím v obecných lokalizacích kategorií. Přesněji řečeno, „základní věta modelových kategorií“ uvádí, že kategorie homotopie C je ekvivalentní kategorii, jejíž objekty jsou objekty C, které jsou jak vláknité, tak kofibrující, a jejichž morfismy jsou levá homotopická třída map (ekvivalentně vpravo homotopy tříd map), jak je definováno výše. (Viz například Kategorie modelů od Hovey, Thm 1.2.10)

Aplikujeme-li to na kategorii topologických prostorů s výše uvedenou strukturou modelu, výsledná kategorie homotopy je ekvivalentní kategorii komplexů CW a tříd homotopy spojitých map, odkud název pochází.

Quillenovy doplňky

Dvojice adjunkčních funktorů

mezi dvěma modelovými kategoriemi C a D se nazývá Quillenova adjunkce, pokud F zachovává kofibrace a acyklické kofibrace nebo, ekvivalentně uzavřenými modelovými axiomy, tak, že G zachovává fibrace a acyklické fibrace. V tomto případě F a G indukují adjunkci

mezi kategoriemi homotopy. Existuje také výslovné kritérium pro to, aby byla rovnocennost ( F a G se pak nazývají Quillenova ekvivalence ).

Typickým příkladem je standardní přídavek mezi zjednodušenými množinami a topologickými prostory:

zahrnující geometrickou realizaci zjednodušené množiny a singulárních řetězců v nějakém topologickém prostoru. Kategorie sSet a Top nejsou ekvivalentní, ale jejich kategorie homotopy jsou. Proto se zjednodušené sady často používají jako modely pro topologické prostory kvůli této rovnocennosti kategorií homotopy.

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení

externí odkazy