Prstencový prostor - Ringed space

V matematice , je prstencové prostor je rodina ( komutativního ) kroužky parametrized otevřených podmnožin jednoho topologického prostoru spolu s kruhovými homomorfismů , které hrají roli omezení . Přesně se jedná o topologický prostor vybavený svazkem prstenů, který se nazývá svazek struktur . Jde o abstrakci konceptu prstenců spojitých (skalárně hodnotných) funkcí na otevřených podmnožinách.

Mezi prstencovými prostory je obzvláště důležitý a prominentní místně prstencový prostor : prstencový prostor, ve kterém platí analogie mezi stopkou v bodě a prstencem zárodků funkcí v bodě.

Prstencové mezery se objeví v analýze , stejně jako komplexní algebraické geometrie a teorie schématu z algebraické geometrie .

Poznámka : V definici prstencového prostoru má většina expozic tendenci omezovat prstence na komutativní prstence , včetně Hartshorne a Wikipedia. „ Éléments de géométrie algébrique “ naproti tomu neukládá předpoklad komutativity, ačkoli kniha se většinou zabývá komutativním případem.

Definice

Prstencové prostor je prostor topological spolu se svazkem z kroužků na . Hromádku se nazývá svazek strukturu a . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$

Místně ringed prostor je prstencové prostor tak, že všechny stonky ze jsou lokální kruhy (to znamená, že mají jedinečné maximální ideál ). Všimněte si, že není nutné, aby to byl místní ring pro každou otevřenou sadu ; ve skutečnosti to téměř nikdy neplatí. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$

Příklady

Libovolný topologický prostor lze považovat za lokálně prstencovaný prostor tím, že se jedná o svazek reálných (nebo komplexních ) spojitých funkcí na otevřených podmnožinách . Stonek v místě si lze představit jako soubor všech zárodků spojitých funkcí na ; jedná se o místní prsten s jedinečným maximálním ideálem, který se skládá z těch zárodků, jejichž hodnota je . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$

Pokud je potrubí s nějakou zvláštní strukturou, můžeme také vzít svazek diferencovatelných nebo komplexně analytických funkcí. Oba způsobují vznik místně prstencovaných prostor. ${\ displaystyle X}$

Pokud jde o algebraickou odrůdu nesoucí Zariskiho topologii , můžeme definovat lokálně prstencovaný prostor tím, že se staneme prstenem racionálních mapování definovaných na Zariski-otevřené množině, která uvnitř nevybuchne (nestane se nekonečnou) . Důležitým zobecněním tohoto příkladu je spektrum libovolného komutativního kruhu; tato spektra jsou také místně prstencovými prostory. Schémata jsou místně prstencové prostory získané spektrem komutativních prstenů „slepením dohromady“. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

Morfismy

Morfismus z až je dvojice , kde je kontinuální mapa mezi podkladovým topologických prostorů, a je morfismus od struktury svazek do přímého obraz z konstrukce svazek X . Jinými slovy, morfismus od do je dán následujícími údaji: ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$${\ displaystyle (f, \ varphi)}$${\ displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {O}} _ {Y} \ až f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$

• kontinuální mapa ${\ displaystyle f: X \ až Y}$
• rodina kruhových homomorfismů pro každý otevřený soubor z nichž dojíždět s mapami omezení. To znamená, že pokud jsou dvě otevřené podmnožiny , musí dojíždět následující diagram (vertikální mapy jsou homomorfismy omezení): ${\ displaystyle \ varphi _ {V}: {\ mathcal {O}} _ {Y} (V) \ až {\ mathcal {O}} _ {X} (f ^ {- 1} (V))}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle V_ {1} \ subseteq V_ {2}}$${\ displaystyle Y}$

Existuje další požadavek na morfismy mezi místně prstencovými prostory:

• homomorfismy prstenců indukované mezi stonky a stonky musí být lokální homomorfismy , tj. pro každý maximální ideál místního kruhu (stonku) at je mapován na maximální ideál místního kruhu at . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle f (x) \ v Y}$${\ displaystyle x \ v X}$

Dva morfismy mohou být složeny tak, aby vytvořily nový morfismus, a získáme kategorii prstencových prostorů a kategorii lokálně prstencovaných prostorů. Izomorfismy v těchto kategoriích jsou definovány jako obvykle.

Tečné mezery

Místně prstencové prostory mají jen dostatečnou strukturu, aby umožnily smysluplnou definici tečných prostor . Nechť je místně prstencový prostor se strukturou svazku ; chceme definovat tečný prostor v bodě . Vezměte místní prstenec (stopku) v bodě s maximálním ideálem . Pak je pole a je vektorovým prostorem nad tímto polem ( kotangensní prostor ). Tečný prostor je definován jako duál tohoto vektorového prostoru. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle T_ {x}}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle R_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}}$${\ displaystyle k_ {x}: = R_ {x} / {\ mathfrak {m}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} / {\ mathfrak {m}} _ {x} ^ {2}}$${\ displaystyle T_ {x}}$

Myšlenka je následující: vektor tečny v by vám měl říci, jak „odlišit“ „funkce“ v , tj. Prvky . Nyní stačí vědět, jak rozlišovat funkce, jejichž hodnota je nula, protože všechny ostatní funkce se od nich liší pouze konstantou a my víme, jak rozlišovat konstanty. Musíme tedy jen zvážit . Dále, pokud jsou dány dvě funkce s nulovou hodnotou at , pak jejich součin má derivaci 0 at podle pravidla produktu . Musíme tedy vědět, jak přiřadit „čísla“ prvkům , a to je to, co dělá duální prostor. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle R_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} / {\ mathfrak {m}} _ {x} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ - moduly

Vzhledem k místně prstencovanému prostoru se v aplikacích, v -modulích, vyskytují určité svazky modulů . Je definovat, uvažovat svazek F na abelovských skupin na . Pokud F ( U ) je modul nad kruhem pro každý otevřený soubor v a restrikční mapy jsou kompatibilní se strukturou modulu, pak nazýváme je -module. V tomto případě bude stonek at pro každý modul přes místní kruh (stonek) . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle R_ {x}}$${\ displaystyle x \ v X}$

Morfismus mezi dvěma takovými moduly je morfismus snopů, který je kompatibilní s danými strukturami modulů. Kategorie -modulů nad pevně umístěným místně prstencovaným prostorem je abelianská kategorie . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Důležitým podkategorie kategorie -modules je kategorie kvazi-ucelených snopy na . Svazek -modulů se nazývá kvazi-koherentní, pokud je místně izomorfní k jádru mapy mezi volnými moduly. Koherentní svazek je kvazi-koherentní svazek, který je lokálně konečných typu a pro každou otevřenou dílčí části jádra jakéhokoli morfismu z přímého volného -modules konečných pozice k je také konečného typu. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U}}$${\ displaystyle F_ {U}}$

Citace

Reference

• Oddíl 0.4 Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas“ . Publikace Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10,1007 / bf02684778 . MR   0217083 .
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraická geometrie , Postgraduální texty z matematiky , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157

externí odkazy

• Onishchik, AL (2001) [1994], „Prstencový prostor“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press