Domácí funktor - Hom functor

V matematice , konkrétně v teorii kategorií , hom-množiny , tj. Množiny morfismů mezi objekty, dávají vzniknout důležitým funktorům do kategorie množin . Tyto funktory se nazývají hom Funktory a mají mnoho aplikací v teorii kategorií a dalších oborech matematiky.

Formální definice

Nechť C je lokálně malá kategorie (tj. Kategorie, pro kterou jsou hom-třídy vlastně množinami a nikoli správnými třídami ).

Pro všechny objekty A a B v C definujeme dva funktory do kategorie množin následovně:

Hom ( A , -): C → Nastavit	Hom (-, B ): C → Nastavit
Toto je kovariantní funktor daný: Hom ( A , -) mapuje každý objekt X v C na množinu morfismů , Hom ( A , X ) Hom ( A , -) mapuje každý morfismus f : X → Y na funkci Hom ( A , f ): Hom ( A , X ) → Hom ( A , Y ) dané ${\ displaystyle g \ mapsto f \ circ g}$ pro každé g v Hom ( A , X ).	Toto je kontravariantní funktor daný: Hom (-, B ) mapuje každý objekt X v C na množinu morfismů , Hom ( X , B ) Hom (-, B ) mapuje každý morfismus h : X → Y na funkci Hom ( h , B ): Hom ( Y , B ) → Hom ( X , B ) dané ${\ displaystyle g \ mapsto g \ circ h}$ pro každé gv Hom ( Y , B ).

Funktor Hom (-, B ) se také nazývá funktor bodů objektu B .

Všimněte si, že oprava prvního argumentu Hom přirozeně vede k kovariantnímu funktoru a oprava druhého argumentu přirozeně dává kontravariantní funktor. Toto je artefakt způsobu, jakým člověk musí skládat morfismy.

Dvojice funktorů Hom ( A , -) a Hom (-, B ) jsou spojeny přirozeným způsobem . Pro jakoukoli dvojici morphisms f : B → B 'a h : A ' → A Následující schéma dojíždí :

Obě cesty posílají g : A → B do f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′.

Z komutativity výše uvedeného diagramu vyplývá, že Hom (-, -) je bifunktor z C × C na Set, který je v prvním argumentu kontrariantní a ve druhém kovariantní. Ekvivalentně můžeme říci, že Hom (-, -) je kovariantní bifunktor

Hom (-, -): C ^op × C → Set

kde C ^op je kategorie opačný k C . Označení Hom _C (-, -) se někdy používá pro Hom (-, -), aby se zdůraznila kategorie tvořící doménu.

Yonedovo lemma

S odkazem na výše uvedený komutativní diagram lze pozorovat, že každý morfismus

h : A '→ A

vede k přirozené transformaci

Hom ( h , -): Hom ( A , -) → Hom ( A ', -)

a každý morfismus

f : B → B ′

vede k přirozené transformaci

Hom (-, f ): Hom (-, B ) → Hom (-, B ')

Yonedovo lemma naznačuje, že každá přirozená transformace mezi funktory Hom má tuto formu. Jinými slovy, funktory Hom vedou k plnému a věrnému začlenění kategorie C do kategorie funktorů Set ^{C ^op} (kovariantní nebo kontrariantní v závislosti na tom, který funktor Hom je použit).

Interní funktor Hom

Některé kategorie mohou mít funktor, který se chová jako funktor Hom, ale má hodnoty v samotné kategorii C , nikoli Set . Takový funktor se označuje jako interní funktor Hom a často se píše jako

{\ displaystyle \ left [- \ - \ right]: C ^ {\ text {op}} \ krát C \ až C}

zdůraznit jeho produktovou povahu nebo jako

{\ displaystyle \ Rightarrow: C ^ {\ text {op}} \ krát C \ až C}

zdůraznit jeho funkcionální povahu, nebo někdy pouze malými písmeny:

{\ displaystyle \ operatorname {hom} (-, -): C ^ {\ text {op}} \ krát C \ až C.}

Příklady najdete v kategorii vztahů .

Kategorie, které mají interní funktor Hom, se označují jako uzavřené kategorie . Jeden to má

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} (I, \ operatorname {hom} (-, -)) \ simeq \ operatorname {Hom} (-, -)}

,

kde I je jednotkový objekt uzavřené kategorie. V případě uzavřené kategorie monoidů se to vztahuje na pojem kari , konkrétně na to

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} (X, Y \ Rightarrow Z) \ simeq \ operatorname {Hom} (X \ ot Y, Z)}

kde je bifunktor , vnitřní funktor produktu definující monoidní kategorii . Izomorfismus je přirozené jak v X a Z . Jinými slovy, v uzavřené monoidní kategorii je vnitřní funktor Hom adjunkčním funktorem s vnitřním funktorem produktu. Objekt se nazývá vnitřní Hom . Když je kartézský součin , objekt se nazývá exponenciální objekt a často se píše jako . ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle \ times}$ ${\ displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$

Internal Homs, when chained together, form a language, called the internal language of the category. Nejznámější z nich jsou jednoduše zadaný lambda kalkul , který je vnitřním jazykem kartézských uzavřených kategorií , a systém lineárního typu , který je vnitřním jazykem uzavřených symetrických monoidních kategorií .

Vlastnosti

Všimněte si, že funktor formuláře

Hom (-, A): C ^op → Nastavit

je presheaf ; podobně, Hom (A, -) je copresheaf.

Funktor F : C → Sada, která je přirozeně izomorfní s Hom (A, -) pro některá A v C , se nazývá reprezentovatelný funktor (nebo reprezentativní copresheaf); podobně lze kontraktorariantní funktor ekvivalentní Hom (-, A) nazvat corepresentable.

Všimněte si, že Hom (-, -): C ^op × C → Set je oznamovatel a konkrétně jde o oznamovatele identity . ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {C} \ dvojtečka C \ nrightarrow C}$

Interní hom funktor zachovává limity ; to znamená, že posílá limity do limitů, zatímco odesílá limity do , to je colimits , do limitů . V určitém smyslu to lze brát jako definici limitu nebo kolimitu. ${\ displaystyle \ operatorname {hom} (X, -): C \ až C}$ ${\ displaystyle \ operatorname {hom} (-, X): C ^ {\ text {op}} \ do C}$ ${\ displaystyle C ^ {\ text {op}}}$ ${\ displaystyle C}$

Další vlastnosti

Pokud je abelian kategorie a je předmětem A , pak Hom ( , -) je kovariantní vlevo přesná functor od A do kategorie Ab z abelovských skupin . Je přesné, zda a pouze v případě, že A je projektivní .

Nechť R je prsten a M levý R - modul . Funktor Hom _R ( M , -): Mod - R → Ab je přímo adjoint na tensor produktu funktoru - _R M: Ab → Mod - R . ${\ displaystyle \ otimes}$

Viz také

Poznámky

^ Jacobson (2009), str. 149, Prop. 3.9.

Reference

Mac Lane, Saunders (září 1998). Kategorie pro Working Mathematician (druhé vydání). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, kategoriální analýza logiky (přepracované vydání). Dover Publications . ISBN 978-0-486-45026-1. Citováno 2009-11-25 .
Jacobson, Nathan (2009). Základní algebra . 2 (2. vydání). Doveru. ISBN 978-0-486-47187-7.

externí odkazy

Hom funktor v nLab
Interní Hom v nLab

[1] Jacobson (2009), str. 149, Prop. 3.9.

Languages

In other projects