Dualizační modul - Dualizing module

V algebře , je dualizing modul , také nazýván kanonické modul , je modul přes komutativní prsten , který je analogický s kanonické svazku jednoho hladkého odrůdy . Používá se v místní dualitě Grothendieck .

Definice

Dualizační modul pro noetherovský kruh R je konečně generovaný modul M takový, že pro jakýkoli maximální ideální m je vektorový prostor R / m Ext n
R.( R / m , M ) zmizí, pokud n  ≠ výška ( m ), a je 1-rozměrný, pokud n  = výška ( m ).

Dualizační modul nemusí být jedinečný, protože tenzorový produkt libovolného dualizačního modulu s projektivním modulem hodnosti 1 je také dualizační modul. Toto je však jediný způsob, kterým dualizační modul není jedinečný: vzhledem k tomu, že jakýkoli dva dualizační moduly je jeden isomorfní s tenzorovým produktem druhého s projektivním modulem hodnosti 1. Zejména pokud je prsten lokální, je dualizační modul jedinečný až po izomorfismus.

Noetherian ring nemusí nutně mít dualizační modul. Jakýkoli prsten s dualizačním modulem musí být Cohen – Macaulay . Naopak, pokud je prsten Cohen – Macaulay kvocientem prstenu Gorenstein , má dualizační modul. Zejména jakýkoli úplný místní prsten Cohen – Macaulay má modul pro vizualizaci. U prstenů bez dualizačního modulu je někdy možné použít dualizační komplex jako náhradu.

Příklady

Pokud R je Gorensteinův prsten, pak R považovaný za modul nad sebou je dualizační modul.

Pokud R je Artinianův lokální kruh, pak je modul Matlis R ( injective hull of the resid field) dualizační modul.

Artinian místní kruh R  =  K [ x , y ] / ( x 2 , y 2 , xy ) má jedinečný dualizing modul, ale není isomorfní R .

Prsten Z [ √ –5 ] má dva neizomorfní dualizační moduly, které odpovídají dvěma třídám invertibilních ideálů.

Místní kruh k [ x , y ] / ( y 2 , xy ) není Cohen – Macaulay, takže nemá dualizační modul.

Viz také

Reference

  • Bourbaki, N. (2007), komutativní Algèbre. Chapitre 10 , Éléments de mathématique (ve francouzštině), Springer-Verlag, Berlin, ISBN  978-3-540-34394-3 , MR  2333539
  • Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulay ring , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39 , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-41068-7 , MR  1251956