tek güç - Unipotent

Gelen matematik bir unipotent elemanı r a halka R böyle bir yani r  1 a, - nilpotenttir elemanı ; başka bir deyişle, ( r  − 1) ⁿ , bazı n için sıfırdır .

Özellikle, bir kare matris , M , bir unipotent matristir , ancak ve ancak onun karakteristik polinomu , P ( t ) t  − 1'in bir gücü ise , tek potansiyelli bir matrisin tüm özdeğerleri 1'dir.

Terimi, yarı-unipotent bir güç örneğin, unipotent olan araçlar köşegenleştirilebilir matris ile eigen hepsi birlik kökleri .

Bir unipotent afin cebirsel grupta , tüm elemanlar unipotenttir (böyle bir grupta bir öğenin unipotent tanımı için aşağıya bakın).

Tanım

matrislerle tanım

Köşegen boyunca 'ler bulunan üst üçgen matrisler grubunu düşünün , bu nedenle bunlar matris grubudur${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\görüntüleme stili 1}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{A={\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}|\det(A)\neq 0\right\}}$

o zaman, bir unipotent grup , bazılarının bir alt grubu olarak tanımlanabilir . Şema teorisini kullanarak grup , grup şeması olarak tanımlanabilir.${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{ \text{det}}}\sağ]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\sağ)}$

ve bir afin grup şeması, eğer bu şemanın bir kapalı grup şeması ise, unipotenttir.

Halka teorisi ile tanım

Bir öğe, X , bir benzeşik bölgesinin cebirsel grubu bağlantılı doğru çeviri operatörü ne zaman unipotent olan R _x ile, afin halka koordinat A [ G ] ve G doğrusal Endomorfizma halkasının bir eleman olarak da unipotent olan bir [ G ] . (Yerel olarak unipotent, A [ G ] 'nin herhangi bir sonlu boyutlu kararlı alt uzayına kısıtlamasının olağan halka anlamında unipotent olduğu anlamına gelir.)

Tüm elemanları unipotent ise , bir afin cebir grubuna unipotent denir . Herhangi bir unipotent cebirsel grup, köşegen girişleri 1 olan üst üçgen matrisler grubunun kapalı bir alt grubuna izomorfiktir ve bunun tersine, bu tür herhangi bir alt grup unipotenttir. Özellikle herhangi bir unipotent grup, tersi doğru olmasa da bir nilpotent gruptur (karşı örnek: GL _n ( k )' nin köşegen matrisleri ).

Örneğin, standart bir temsilidir ilgili standart esasına sabit vektörü . ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\görüntüleme stili k^{n}}$${\displaystyle e_{i}}$${\görüntüleme stili e_{1}}$

Temsil teorisi ile tanım

Unipotent bir grup, afin bir varyete üzerinde hareket ederse, tüm yörüngeleri kapalıdır ve sonlu boyutlu bir vektör uzayında doğrusal olarak hareket ederse, sıfır olmayan bir sabit vektöre sahiptir. Aslında, ikinci özellik, unipotent grupları karakterize eder. Özellikle, bu önemsiz olmayan yarı basit gösterimlerin olmadığı anlamına gelir .

Örnekler

u _{, n}

Tabii ki, matrisler grubu unipotenttir. Alt Merkez Serisini Kullanma${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb { U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

nerede

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$ ve ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

ilişkili unipotent gruplar vardır. Örneğin, üzerinde , merkezi seriler matris gruplarıdır.${\görüntüleme stili n=4}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right \}}$, , Ve${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\ sağ\}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\sağ\} }$${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\sağ\}}$

unipotent grupların bazı uyarılmış örnekleri verildi.

G _bir ⁿ

Katkı grubu , gömme yoluyla unipotent bir gruptur.${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Matris çarpımının verdiğine dikkat edin

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1 \end{bmatris}}}$

dolayısıyla bu bir grup yerleştirmedir. Daha genel olarak, haritadan bir yerleştirme var${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\ cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatris}}}$

Şema teorisini kullanarak , functor tarafından verilir${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\text{Sch}}^{op}\to {\text{Sets}}}$

nerede

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

Frobenius'un Çekirdeği

Alt kategorideki functor'u düşünün, burada alt fonksiyon var.${\görüntüleme stili {\matematiksel {O}}}$${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

bu yüzden Frobenius endomorfizminin çekirdeği tarafından verilir .

Karakteristik 0 üzerinden unipotent grupların sınıflandırılması

Karakteristik Üzeri açısından unipotent cebirsel grupların güzel bir sınıflandırma yapılır nilpotentlik yalan cebirlerin . Nilpotent bir yalan cebrinin, yinelenen birleşik eylemin sonunda sıfır haritada sona ereceği şekilde bazılarının bir alt cebiri olduğunu hatırlayın . Matrisleri açısından, bu bir alt cebiri demektir ait olan matrisleri, için . ${\görüntüleme stili 0}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i\leq j}$

Daha sonra, sonlu boyutlu sıfırdan güçlü Lie cebirleri ve tek güçlü cebirsel gruplar kategorilerinin bir denkliği vardır ^{sayfa 261} . Bu, Baker-Campbell-Hausdorff serisi kullanılarak oluşturulabilir , burada sonlu boyutlu bir sıfır potansiyelli Lie cebiri verilir, harita${\görüntüleme stili H(X,Y)}$

${\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ nerede }}(X,Y)\mapsto H(X,Y) }$

üzerinde bir Unipotent cebirsel grup yapısı verir . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Diğer yönde üstel harita , herhangi bir nilpotent kare matrisi bir unipotent matrise alır. Ayrıca, eğer U değişmeli unipotent grubu, üstel indükler Lie cebir bir izomorfizm olan U için U kendisi.

Uyarılar

Herhangi bir boyutun cebirsel olarak kapalı bir alanı üzerindeki tek potansiyelli gruplar prensipte sınıflandırılabilir, ancak pratikte sınıflandırmanın karmaşıklığı boyutla birlikte çok hızlı artar, bu nedenle insanlar 6. boyut civarında bir yerden vazgeçme eğilimindedir.

unpotent radikal

Kökü unipotent bir bölgesinin cebirsel grup G içinde unipotent elemanları seti olan kökü arasında G . G'nin bağlı bir unipotent normal alt grubudur ve bu tür diğer tüm alt grupları içerir. Bir grup, unipotent radikali önemsiz ise indirgeyici olarak adlandırılır. Eğer G indirgeyici o zaman radikal bir simit olup.

Cebirsel grupların ayrıştırılması

Cebirsel gruplar, unipotent gruplara, çarpımsal gruplara ve değişmeli varyetelere ayrıştırılabilir, ancak bunların nasıl ayrıştırıldığı, temel alanlarının özelliklerine bağlıdır.

karakteristik 0

Karakteristik üzerinde bir cebirsel grubunun iyi bir ayrışma teoremi orada bir yapısına yapısını ilgili cebirsel grubu ve Abel çeşitli . Grupların kısa bir tam sırası var, ^{sayfa 8}${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili G}$

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

nerede bir değişmeli çeşittir, çarpımsal tiptedir, anlamı vardır ve unipotent bir gruptur. ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili U}$

karakteristik p

Temel alanın karakteristiği olduğu zaman, cebirsel bir grup için benzer bir ifade vardır: en küçük bir alt grup vardır, öyle ki ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili H}$

1. ${\görüntüleme stili G/H}$ unipotent bir gruptur
2. ${\görüntüleme stili H}$bir çarpımsal tür grubu tarafından değişmeli bir çeşitliliğin bir uzantısıdır .${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili M}$
3. ${\görüntüleme stili M}$özgü kadar Commensurability içinde ve benzersiz kadar Isogeny .${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili A}$

Ürdün ayrışması

Mükemmel bir alan üzerindeki herhangi bir lineer cebirsel grubun g elemanı , g = g _u g _s değişken tek potansiyelli ve yarıbasit elemanların g _u ve g _s çarpımı olarak benzersiz bir şekilde yazılabilir . GL _n ( C ) grubu söz konusu olduğunda , bu, esasen, herhangi bir ters çevrilebilir karmaşık matrisin, bir diyagonal matrisin ve bir üst üçgen matrisin çarpımına eşlenik olduğunu söyler; bu, (az ya da çok) Jordan-Chevalley'nin çarpımsal versiyonudur. ayrışma .

Gruplar için Jordan ayrıştırmasının bir versiyonu da vardır: mükemmel bir alan üzerindeki herhangi bir değişmeli lineer cebirsel grup , bir unipotent grubun ve bir yarıbasit grubun ürünüdür.

Ayrıca bakınız

• indirgeyici grup
• tek güçlü temsil
• Deligne-Lusztig teorisi

Referanslar

• A. Borel, Lineer cebirsel gruplar , ISBN  0-387-97370-2
• Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82 , doi : 10.2307/1969949 , JSTOR  1969949
• Popov, VL (2001) [1994], "unipotent element" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Popov, VL (2001) [1994], "unipotent grup" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "unipotent matris" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press