Jednomocny - Unipotent

W matematyce , A unipotentne elementem r z pierścieniem R jest takie, że R  - 1 jest elementem nilpotent ; innymi słowy, ( r  − 1) ⁿ jest zerem dla pewnego n .

W szczególności macierz kwadratowa , M , jest unipotentne matrycę , tylko wtedy, gdy jego charakterystyka wielomian , P ( t ) jest moc t  - 1. W ten sposób wszystkie wartości własne unipotencjalnych matrycy są: 1.

Termin quasi-unipotentny oznacza, że ​​pewna władza jest unipotentna, na przykład dla diagonalizowalnej macierzy z wartościami własnymi, które są pierwiastkami jedności .

W unipotentnej afinicznej grupie algebraicznej wszystkie elementy są unipotentne (zobacz poniżej definicję elementu będącego unipotentnym w takiej grupie).

Definicja

Definicja z macierzami

Rozważmy grupę macierzy górnego trójkąta z 's wzdłuż przekątnej, więc są one grupą macierzy${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ lewo \ {A = {\ zacząć {bmatrix} 1 & * & \ cdots & * & * \ \ 0 & 1 & \ cdots & * & * \ \ \ vdots & \ vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}|\det(A)\neq 0\right\}}$

wtedy grupa unipotentów może być zdefiniowana jako podgrupa niektórych . Wykorzystując teorię schematów grupę można zdefiniować jako schemat grupowy${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ Displaystyle {\ tekst {spec}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C}} \ lewo [x_ {11}, x_ {12}, \ ldots, x_ {nn}, {\ Frac {1} { \text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

a schemat grup afinicznych jest unipotencjalny, jeśli jest zamkniętym schematem grupowym tego schematu.

Definicja z teorią pierścieni

Element x afinicznej grupy algebraicznej jest unipotentny, gdy skojarzony z nim prawy operator translacji r _x na afinicznym pierścieniu współrzędnych A [ G ] z G jest lokalnie unipotencjalny jako element pierścienia liniowego endomorfizmu A [ G ] . (Lokalnie unipotentny oznacza, że ​​jego ograniczenie do dowolnej skończenie wymiarowej stabilnej podprzestrzeni A [ G ] jest unipotentne w zwykłym sensie pierścieniowym.)

Afiniczna grupa algebraiczna nazywana jest unipotentną, jeśli wszystkie jej elementy są unipotentne. Każda unipotencjalna grupa algebraiczna jest izomorficzna z zamkniętą podgrupą grupy górnych macierzy trójkątnych z wejściami diagonalnymi 1 i odwrotnie każda taka podgrupa jest unipotencjalna. W szczególności każda grupa unipotentna jest grupą nilpotentną , chociaż odwrotność nie jest prawdą (kontrprzykład: macierze diagonalne GL _n ( k )).

Na przykład standardowa reprezentacja on with standard base ma stały wektor . ${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ Displaystyle k ^ {n}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{1}}$

Definicja z teorią reprezentacji

Jeśli grupa unipotentna działa na odmianę afiniczną, wszystkie jej orbity są zamknięte, a jeśli działa liniowo na skończenie wymiarową przestrzeń wektorową, to ma niezerowy wektor stały. W rzeczywistości ta ostatnia właściwość charakteryzuje grupy unipotentne. W szczególności oznacza to, że nie ma nietrywialnych półprostych reprezentacji .

Przykłady

U _n

Oczywiście grupa matryc jest unipotentna. Korzystanie z dolnej serii środkowej${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ mathbb {U} _ {n} ^ {(0)} \ zdziwiony \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)} \ zdziwiony \ mathbb { U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

gdzie

${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)} = [\ mathbb {U} _ {n}, \ mathbb {U} _ {n}]}$ oraz ${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {n} ^ {(2)} = [\ mathbb {U} _ {n}, \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)}]}$

istnieją powiązane grupy unipotentów. Na przykład w dniu środkowym szeregiem są grupy macierzowe${\displaystyle n=4}$

${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {4}= \ lewo \ {{\ zacząć {bmatrix} 1 & * & * & * \ \ 0 & 1 & * & * \ \ 0 & 0 & 1 & * \ \ 0 & 0 & 0 & 1 \ koniec {bmatrix}} \ prawo \}}$, , , i${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {4} ^ {(1)} = \ lewo \ {{\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i * i * \ \ 0 i 1 i 0 i * \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} \ Prawidłowy\}}$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {4} ^ {(2)} = \ lewo \ {{\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i * \ \ 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} \ prawo \} }$${\ Displaystyle \ mathbb {U} _ {4} ^ {(3)} = \ lewo \ {{\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} \ w prawo \}}$

biorąc pod uwagę kilka indukowanych przykładów grup unipotentnych.

G ⁿ

Grupa dodatków jest grupą unipotencjalną poprzez osadzanie${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

${\ Displaystyle a \ mapsto {\ zacząć {bmatrix} 1 & a \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$

Zauważ, że mnożenie macierzy daje

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 & a \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} \ cdot {\ zacząć {bmatrix} 1 & b \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} = {\ zacząć {bmatrix} 1 & a+ b \ \ 0 i 1 \end{bmatryca}}}$

stąd jest to osadzanie grupowe. Mówiąc ogólniej, istnieje osadzanie z mapy${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a} ^ {n} \ do \ mathbb {U} _ {n + 1}}$

${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto {\ zacząć {bmatrix} 1 i a_ {1} i a_ {2} i \ cdots i a_ {n-1} i a_ {n} \ \ 0 i 1 i 0 i \ kropki &0&0\\\vkropki &\vkropki &\vkropki &&\vkropki &\vkropki \\0&0&0&\ckropki &1&0\\0&0&0&\ckropki &0&1\end{bmatrix}}}$

Stosując teorię schematów, podaje funktor${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}: {\ tekst {Sch}} ^ {op} \ do {\ tekst {zestawy}}}$

gdzie

${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) \ mapsto {\ mathcal {O}} _ {X} (X)}$

Jądro Frobenius

Rozważmy funktor w podkategorii , istnieje podfunktor gdzie${\ Displaystyle {\ Mathcal {O}}}$${\ Displaystyle {\ tekst {Sch}} / \ mathbb {F} _ {p}}$${\ Displaystyle \ alfa _ {p}}$

${\ Displaystyle \ alfa _ {p} (X) = \ {x \ w {\ mathcal {O}} (X): x ^ {p} = 0 \}}$

tak jest podane przez jądro endomorfizmu Frobeniusa .

Klasyfikacja grup unipotentnych nad charakterystyką 0

Ponad charakterystyką jest ładna klasyfikacja jednomocnych grup algebraicznych w odniesieniu do nilpotentnych algebr kłamstwa . Przypomnijmy, że nilpotentna algebra kłamstwa jest podalgebrą niektórych takich, że iterowane połączone działanie ostatecznie kończy się na mapie zerowej. Pod względem matryc, to znaczy jest to podalgebrą na matryce z o . ${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {n}}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i\leq j}$

Następnie istnieje równoważność kategorii skończenie wymiarowych nilpotentnych algebr Liego i unipotentnych grup algebraicznych ^str . ²⁶¹ . Można to skonstruować za pomocą szeregu Bakera–Campbella–Hausdorffa , gdzie przy danej skończenie wymiarowej algebrze nilpotentnego Liego, mapa${\ Displaystyle H (X, Y)}$

${\ Displaystyle H: {\ mathfrak {g}} \ razy {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g}} {\ tekst {gdzie}} (X, Y) \ mapsto H (X, Y) }$

daje strukturę grupy algebraicznej Unipotent na . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

W przeciwnym kierunku mapa wykładnicza przenosi dowolną nilpotentną macierz kwadratową do macierzy unipotentnej. Co więcej, jeśli U jest przemienną grupą unipotentną, odwzorowanie wykładnicze indukuje izomorfizm z algebry Liego z U do samego U.

Uwagi

Grupy jednomocne nad ciałem algebraicznie domkniętym o dowolnym wymiarze można w zasadzie sklasyfikować, ale w praktyce złożoność klasyfikacji rośnie bardzo szybko wraz z wymiarem, więc ludzie mają tendencję do poddawania się gdzieś w okolicach wymiaru 6.

Jednomocny rodnik

Unipotentne rodnik o algebraicznej grupie G jest zestaw elementów unipotentne w The rodnik o G . Jest to połączona unipotentna normalna podgrupa G i zawiera wszystkie inne takie podgrupy. Grupę nazywamy redukcyjną, jeśli jej niepotężny rodnik jest trywialny. Jeśli G jest redukcyjne, to jego pierwiastek jest torusem.

Rozkład grup algebraicznych

Grupy algebraiczne można rozłożyć na grupy unipotentne, grupy multiplikatywne i rozmaitości abelowe, ale stwierdzenie ich rozkładu zależy od charakterystyki ich pola bazowego.

Charakterystyka 0

Ponad charakterystyczną cechą jest ładne twierdzenie o dekompozycji grupy algebraicznej, które wiąże jej strukturę ze strukturą liniowej grupy algebraicznej i rozmaitości abelowej . Istnieje krótka dokładna sekwencja grup ^{strona 8}${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle 0 \ do M \ razy U \ do G \ do A \ do 0}$

gdzie jest odmianą abelową, jest typem multiplikatywnym, znaczeniem i jest grupą unipotentną. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle U}$

Charakterystyka p

Gdy charakterystyką ciała podstawowego jest to, to istnieje analogiczne zdanie dla grupy algebraicznej : istnieje najmniejsza podgrupa taka, że ${\displaystyle p}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$

1. ${\ Displaystyle G/H}$ jest grupą unipotentną
2. ${\ Displaystyle H}$jest rozszerzeniem odmiany abelowej o grupę typu multiplikatywnego.${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M}$
3. ${\ Displaystyle M}$jest unikalny do współmierności w i jest unikalny do Isogeny .${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle A}$

Rozkład Jordana

Każdy element g liniowego grupy algebraicznej na doskonały pola mogą być zapisywane jednoznacznie jako produkt g = g _u g _y z dojazdy unipotentne i półprosty elementy g _U a g _s . W przypadku grupy GL _n ( C ) zasadniczo mówi się, że każda odwracalna macierz złożona jest sprzężona z iloczynem macierzy diagonalnej i macierzy trójkątnej, która jest (mniej więcej) multiplikatywną wersją macierzy Jordana-Chevalleya. rozkład .

Istnieje również wersja rozkładu Jordana dla grup: każda przemienna liniowa grupa algebraiczna nad ciałem idealnym jest iloczynem grupy unipotentnej i grupy półprostej.

Zobacz też

• Grupa redukcyjna
• Reprezentacja jednomocna
• Teoria Deligne-Lusztiga

Bibliografia

• A. Borel, Liniowe grupy algebraiczne , ISBN  0-387-97370-2
• Borel, Armand (1956), „Groupes linéaires algébriques”, Roczniki Matematyki , Druga seria Roczniki Matematyki , 64 (1): 20-82, doi : 10.2307/1969949 , JSTOR  1969949
• Popov, VL (2001) [1994], "jednomocny pierwiastek" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Popov, VL (2001) [1994], "grupa unipotentna" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "macierz unipotentnej" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press