Yksipuolinen - Unipotent

On matematiikka , joka on unipotent elementti r on renkaan R on yksi sellainen, että r  - 1 on nilpotent elementti ; toisin sanoen ( r  - 1) ⁿ on nolla joillekin n .

Erityisesti neliömatriisi , M , on unipotent matriisi , jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi , P ( t ), on voima t  - 1. Siten kaikki ominaisarvot on unipotent matriisin ovat 1.

Termi kvasi-voimakas tarkoittaa, että jokin voima on voimakas, esimerkiksi diagonaalisille matriiseille, joiden ominaisarvot ovat kaikki ykseyden juuret .

Eräässä unipotent affine algebrallinen ryhmä , kaikki elementit ovat unipotent (katso alla määritelmän elementin ollessa unipotent tällaisessa ryhmässä).

Määritelmä

Määritelmä matriiseilla

Tarkastellaan ylempien kolmion matriisien ryhmää , joilla on 's pitkin diagonaalia, joten ne ovat matriisiryhmä${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ vasen \ {A = {\ begin {bmatrix} 1 &*& \ cdots &*&*\\ 0 & 1 & \ cdots &*&*\\\ vdots & \ vdots && \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 &*\\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix}} | \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

silloin epävakaa ryhmä voidaan määritellä joidenkin alaryhmäksi . Käyttäen järjestelmässä teorian ryhmä voidaan määritellä ryhmän järjestelmään${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ text {Spec}} \ vasen ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [x_ {11}, x_ {12}, \ ldots, x_ {nn}, {\ frac {1} { \ text {det}}} \ right]} {(x_ {ii} = 1, x_ {i> j} = 0)}} \ oikea)}$

ja affiiniryhmäjärjestelmä on yksipuolinen, jos se on tämän järjestelmän suljettu ryhmäjärjestelmä.

Määritelmä rengasteorian kanssa

Elementti, x , affiini algebrallinen ryhmä on unipotent kun siihen liittyvä oikeus käännös operaattorin, r _x , on affiiniset koordinoida rengas [ G ] ja G on paikallisesti unipotent osana renkaan lineaarisen endomorphism on [ G ] . (Paikallisesti ei-voimakas tarkoittaa, että sen rajoittaminen mihin tahansa A [ G ]: n rajalliseen ulottuvuuteen, on vakaa tavallisessa rengasmerkityksessä.)

Affiinista algebrallista ryhmää kutsutaan unipotentiksi, jos kaikki sen elementit ovat yksipuolisia. Mikä tahansa unipotentti algebrallinen ryhmä on isomorfinen ylempien kolmionmuotoisten matriisien ryhmän suljetulle alaryhmälle, jossa on diagonaaliset merkinnät 1, ja päinvastoin mikä tahansa tällainen alaryhmä on yksipuolinen. Erityisesti ne unipotent ryhmä on nilpotent ryhmä , vaikka käänteinen ei pidä paikkaansa (counterexample: lävistäjä matriisit GL _n ( k )).

Esimerkiksi standardi esitys on standardin perusteella on kiinteä vektori . ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$${\ displaystyle k^{n}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle e_ {1}}$

Määritelmä esitysteorian kanssa

Jos yksipotentti ryhmä vaikuttaa affiiniseen lajikkeeseen, kaikki sen kiertoradat ovat kiinni ja jos se toimii lineaarisesti äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa, sillä on nollasta poikkeava kiinteä vektori. Itse asiassa jälkimmäinen ominaisuus luonnehtii voimattomia ryhmiä. Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että ei-triviaalisia puoliksi yksinkertaisia esityksiä ei ole .

Esimerkkejä

U _n

Tietenkin matriisiryhmä on mahdoton. Lower Central -sarjan käyttäminen${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ mathbb {U} _ {n}^{(0)} \ supset \ mathbb {U} _ {n}^{(1)} \ supset \ mathbb { U} _ {n}^{(2)} \ supset \ cdots \ supset \ mathbb {U} _ {n}^{(m)} = e}$

missä

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}^{(1)} = [\ mathbb {U} _ {n}, \ mathbb {U} _ {n}]}$ ja ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}^{(2)} = [\ mathbb {U} _ {n}, \ mathbb {U} _ {n}^{(1)}]}$

niihin liittyy voimattomia ryhmiä. Esimerkiksi, keskeiset sarjat ovat matriisiryhmiä${\ displaystyle n = 4}$

${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} = \ vasen \ {{\ begin {bmatrix} 1 &*&*&*\\ 0 & 1 &*&*\\ 0 & 0 & 1 &*\\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ oikea \}}$, , , Ja${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(1)} = \ vasen \ {{\ begin {bmatrix} 1 & 0 &*&*\\ 0 & 1 & 0 &*\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ oikea \}}$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(2)} = \ left \ {{begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 &*\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ oikea \} }$${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4}^{(3)} = \ left \ {{begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ oikea \}}$

annettiin joitakin indusoituja esimerkkejä voimattomista ryhmistä.

G _a ⁿ

Lisäaineryhmä on upotuksen kautta voimakas ryhmä${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

${\ displaystyle a \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Huomaa matriisin kertolasku

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

siksi tämä on ryhmän upottaminen. Yleisemmin kartalta on upotus${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}^{n} \ to \ mathbb {U} _ {n+1}}$

${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 & a_ {1} & a_ {2} & \ cdots & a_ {n-1} & a_ {n} \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Käyttämällä kaavioteoriaa, antaa functor${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}}: {\ text {Sch}}^{op} \ to {\ text {Sets}}}$

missä

${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) \ mapsto {\ mathcal {O}} _ {X} (X)}$

Frobeniuksen ydin

Harkitse alaluokan funktiota, jossa on alitoiminto${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle {\ text {Sch}}/\ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {p} (X) = \ {x \ in {\ mathcal {O}} (X): x^{p} = 0 \}}$

niin sen antaa Frobenius -endomorfismin ydin .

Voimattomien ryhmien luokittelu ominaisuuden 0 yli

Ominaisuuksien yläpuolella on hieno luokitus unipotentteista algebrallisista ryhmistä suhteessa nilpotentteihin valhealgebreihin . Muista, että nollapotentiaalinen valheen algebra on joidenkin alialgebra , joten iteroitu liitännäistoiminto päättyy lopulta nollakarttaan. Suhteen matriiseja, tämä tarkoittaa, että se on subalgebra on , matriisien kanssa varten . ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {n}}$${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$${\ displaystyle i \ leq j}$

Sitten on olemassa rajallisten ulottuvuuksien nollapotentiaalisten Lie algebras -luokkien ja yksipuolisten algebrallisten ryhmien luokkien vastaavuus ^{sivu 261} . Tämä voidaan rakentaa käyttämällä Baker – Campbell – Hausdorff -sarjaa , jossa annetaan rajallinen ulottuvuus nilpotentti Lie algebra, kartta${\ displaystyle H (X, Y)}$

${\ displaystyle H: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ - {\ mathfrak {g}} {\ text {where}} (X, Y) \ mapsto H (X, Y) }$

antaa Unipotent algebrallisen ryhmärakenteen päälle . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Toiseen suuntaan eksponentiaalinen kartta vie minkä tahansa potentiaalisen neliömatriisin unipotenttiin matriisiin. Lisäksi, jos U on kommutatiivinen unipotent ryhmä, eksponentiaalinen kartta indusoi isomorfismi päässä Lie algebran U ja U itse.

Huomautukset

Minkä tahansa ulottuvuuden algebrallisesti suljetun kentän yläpuolella olevat yksipuoliset ryhmät voidaan periaatteessa luokitella, mutta käytännössä luokituksen monimutkaisuus kasvaa erittäin nopeasti ulottuvuuden myötä, joten ihmiset luopuvat jostakin ulottuvuudesta 6.

Voimakas radikaali

Unipotent radikaali , joka algebrallinen ryhmä G on joukko unipotent elementtien radikaali ja G . Se on yhdistetty unipotentti normaali G -alaryhmä ja sisältää kaikki muut tällaiset alaryhmät. Ryhmää kutsutaan pelkistäväksi, jos sen voimakas radikaali on triviaali. Jos G on pelkistävä, sen radikaali on torus.

Algebrallisten ryhmien hajoaminen

Algebralliset ryhmät voidaan hajottaa unipotentteihin ryhmiin, multiplikatiivisiin ryhmiin ja abelilajeihin, mutta lausunto siitä, miten ne hajoavat, riippuu niiden peruskentän ominaisuuksista.

Ominaisuus 0

Ominaisuuksien yli on mukava algebrallisen ryhmän hajoamislause, joka yhdistää sen rakenteen lineaarisen algebrallisen ryhmän ja abelilaisen lajikkeen rakenteeseen . Ryhmissä on lyhyt tarkka sarja ⁸${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle 0 \ to M \ times U \ to G \ to A \ to 0}$

jossa on aabelin lajike, on kertoimen tyyppinen, merkityksellinen ja yksipuolinen ryhmä. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$

Tyypillinen s

Kun peruskentän ominaisuus on, on olemassa vastaava lauseke algebralliselle ryhmälle : on olemassa pienin alaryhmä , joka ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$

1. ${\ displaystyle G/H}$ on mahdoton ryhmä
2. ${\ displaystyle H}$on aabelialaisen lajikkeen jatke moninkertaistavan tyypin ryhmällä .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$
3. ${\ displaystyle M}$on ainutlaatuinen jopa Commensurability vuonna ja on ainutlaatuinen jopa Isogeny .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$

Jordanian hajoaminen

Minkä tahansa elementin g lineaarisen algebrallisen ryhmä yli täydellinen kenttä voidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti kuin tuote g = g _u g _t Työmatkatapaturman unipotent ja semisimple elementit g _u ja g _s . Ryhmän GL _n ( C ) tapauksessa tämä sanoo olennaisesti, että mikä tahansa käänteinen kompleksimatriisi on konjugoitu diagonaalimatriisin ja ylemmän kolmion matriisin tuloon, joka on (enemmän tai vähemmän) Jordanin ja Chevalleyn moninkertainen versio hajoaminen .

On myös versio Jordanin hajoamisesta ryhmille: mikä tahansa kommutoiva lineaarinen algebrallinen ryhmä täydellisen kentän päällä on yksipuolisen ryhmän ja puoliksi yksinkertaisen ryhmän tuote.

Katso myös

• Pelkistävä ryhmä
• Voimakas edustus
• Deligne -Lusztig -teoria

Viitteet

• Borel, Lineaariset algebralliset ryhmät , ISBN  0-387-97370-2
• Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics , Toinen sarja, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi : 10.2307/1969949 , JSTOR  1969949
• Popov, VL (2001) [1994], "unipotent element" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Popov, VL (2001) [1994], "unipotent group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "unipotent matrix" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press